2020年河北省高考數學試卷作答情況分析與教學啟示

>>>孫 邈 張生春

新冠病毒疫情下的2020 年高考具有鮮明的歷史特征， 同時又處于中國高考綜合改革進程中的關鍵時刻， 所以2020 年高考注定是不同尋常的高考：試卷的命制既要考慮高考核心功能的實現，又要考慮疫情對備考的影響，意義非同一般。 總體上，2020 年高考數學全國I 卷給予了較為完美的回答。 試卷很好地落實了“立德樹人、服務選才、引導教學”的核心功能，突出考查“核心價值、學科素養、關鍵能力、必備知識”的同時，也對“基礎性、綜合性、應用性、創新性”要求進行了科學合理的“排兵布陣”，較好地處理了穩定與創新的關系。

一、試卷總體分析

1.關注四個基礎，難度科學合理

總體上來講，2020 年高考數學全國I 卷的選擇題和填空題以及解答題的第一問，都在考查基礎知識，難度不大。 試題關注了考生考場上心理的變化和疫情給備考帶來的不利影響。同時，關注了對“基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”的考查，這是對三年高中數學學習的檢驗，也是進一步學習的基礎。 但解答題的最后一問均有一定的難度，尤其是解析幾何題和導數題的第二問，這也是高校選拔人才的需要。

（1）求E 的方程；

（2）證明：直線CD 過定點.

2.注重理性思維，突出關鍵能力

高考數學試卷既是對數學知識的考查， 又是對理性精神和思維品質的深度考查， 是將數學能力與“理性思維、數學應用、數學探究”等學科素養統一在理性思維主線下的考查。

如，理科第12 題是以指數和對數構成的等式為背景考查不等關系。 這里既有相等關系，又有不等關系，是由相等關系得到不等關系。 不僅考查考生運用所學知識分析和解決問題的能力，同時也考查考生的觀察能力、運算能力、推理判斷能力和靈活運用知識的綜合能力。

理科第16 題是立體幾何中的折疊問題，考查了幾何體中的線面位置關系和解三角形問題，考查了考生分析和解決問題的能力，同時也考查了空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力。

（1）當a=1 時，討論f（x）的單調性；

第一問研究一個具體初等函數的單調性問題，求得原函數的一階導函數，并發現一階導函數是單調遞增函數，而且注意到f'（0）=0，得到準確結論并不難，屬于中等難度的水平。

第二問是不等式恒成立，求變量范圍問題。這類問題是高中階段比較常見的， 解決這類問題的方法很多，但是常考常新，要想得到正確的結論，對考生的理性思維還是有較高要求的，極具創新，富有挑戰，區分度較高。 下面對比幾種解題思路：

思路一：這類問題最容易想到的方法就是“參變分離”，即當x＞0 時，分離出參數a 得到，只需a≥g（x）max即可。 需要對函數g（x）的單調性作進一步的研究，求得函數g（x）的導函數g'（x）接下來要對g'（x）的分子，即函數的性質作進一步的分析研究。 雖然這是一個初等函數，但構成很復雜，這就對考生的思維能力提出了嚴峻的考驗。 解決這個問題有兩種方案。

方案一：對函數h（x）的導函數作進一步的研究，這是一種比較傳統的思維方式，具有一貫性。

方案二：通過觀察發現，函數h（x）的表達式結構特點可以作進一步的整理，使函數h（x）變為然后，再作進一步的分析研究。

顯然，這兩種方案都可以得到準確的結論，但是，對考生能力的要求有所不同的。 方案二在求解過程中通過觀察提出創造性的方案， 用這種思維方式得到準確結論較方案一的思路更有價值。

思路二：當x≥0 時觀察發現， 不等式的左邊可以理解為函數y=ex和函數y=ax2-x（a≠0）的組合，右邊是函數+1。由這些函數構成的不等式恒成立，如果直接構造函數進行研究的話，是件非常困難的事情。如果對原不等式的結構進行變形整理， 可以使問題的難度降低， 但這種方法對思維能力的要求很高。這些函數中y=ex是最耀眼的函數，該函數的導函數是其本身，函數值水遠大于0，對整個不等式起到了主導作用， 我們要削弱其主導作用，所以要對原不等式左右兩邊同時除以ex，這樣就得到了不等式

思路二是完美的， 完美的背后是優秀的思維品質，優秀的思維品質能夠創造更大的價值。

思路三：由原不等式整理得-x-1≥0（x≥0），構造函數-x-1（x≥0），研究函數g（x）的最小值［g（x）］min，使得［g（x）］min≥0，使問題得到解決。 有以下兩種方案：

列寧之所以認為馬克思主義是科學的意識形態，是社會主義意識形態教育的內容，是因為馬克思主義是無產階級爭取自身和全人類解放的思想武器，是科學性和革命性的有機統一。他認為：

方案一：函數g（x）的一階導數和二階導數，以及在x=0 處的函數值和導函數值， 對a 進行分類討論研究。 這種方案的思路一般，在進行深入研究時會非常困難。 這恰恰體現出數學學科的價值，如果思路比較容易想到，那么往往是深入起來比較困難，所以遇到問題就要多思考，要在解決問題的過程中不斷優化和完善思維過程。 由此可見，數學學科是培養人的思維能力、優化思維品質的一門學科。

方案二：先通過g（2）≥0，即然后再對結論的必要性和充分性進行論證。 方案二的思路是通過特值將參量的取值范圍縮小，然后再進行論證。 這是一種由特殊到一般、先猜測后論證的思路， 也是數學研究問題常用的思維方式。

文科第20 題也是函數與導數問題， 題目為：已知函數f（x）=ex-a（x+2）.

（1）當a=1 時，討論f（x）的單調性；

（2）若f（x）有兩個零點，求a 的取值范圍.

第二問是已知函數零點個數，求參量取值范圍。此類問題的解決方法與以上理科21 題類似。

思路一：將問題轉化為兩個函數圖象有兩個交點的問題，有兩種方案：

方案二：函數與函數y=a 有兩個交點。

思路二：直接對原函數的性質進行分析研究，即對參量a 進行分類討論。 在這個過程中，還會遇到很多意想不到的困難， 這就要求考生及時調整解題思路，思維轉換要快。 其實，這就實現了這道題的價值， 區分出了考生不同的思維品質，為高校的選拔奠定好了基礎。

通過以上解題思路的分析可以看出，2020 年高考數學全國I 卷，對考生的理性思維進行了深入的考查，同時也對觀察、運算、邏輯推理、表達、動手操作、記憶、空間想象等能力進行了全方位的考查，這就是高考數學的學科價值。

3.落實立德樹人，體現育人價值

數學試卷同樣也會關注數學的育人價值，也會關注德智體美勞全面育人的要求。 高考數學試卷通過以考促教，引導育人目標的落實，確保立德樹人這一教育根本任務的實現。

高考數學試卷通過選取日常生活、 工業生產、國家發展、社會進步中的實際問題，本著貼近時代、貼近社會、貼近生活的原則，科學地設計問題的背景，從而考查考生運用所學知識、能力和素養解決實際問題的能力， 讓考生充分感受所學內容中蘊含的應用價值。

第3 題以世界建筑奇跡古埃及胡夫金字塔為背景，設計了正四棱錐的計算問題，將立體幾何的基本知識與世界文化遺產有機結合， 讓考生體會到古人的智慧和數學知識的力量。

第5 題以種子發芽率和溫度的關系為背景，設計出兩個相關變量間的關系問題。

文科第17 題是以加工業務為背景，以平均利潤為依據的決策問題， 讓考生感受到數學能夠解決生活中的實際問題，數學是有用的，引導學生熱愛數學，熱愛生活。

理科第19 題以甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽為背景， 將概率問題融入常見的羽毛球比賽中，以參賽人的獲勝概率設問，重在考查考生的邏輯思維能力、 處理實際問題的方法和措施。 試題考查考生對事件進行分析、分解和轉化的能力，以及對概率基礎知識，特別是相互獨立事件的概率模型、事件間的關系和運算、事件獨立性等內容的掌握。

“健康情感”要求考生具有健康意識，注重增強體質、健全人格、錘煉意志。 身心健康是素質教育的重要內容， 數學試卷設計了以體育運動為問題情境的試題，體現了積極的導向作用。

4.文科理科趨于相同，為新高考作好準備

從2020 年高考數學全國I 卷理科與文科必考試題的21 個題目對比發現， 相同題目有：第3 題、第5 題、第7 題、第13 題、第10 題（文科12 題）、第20 題（文科21 題）。 相似度很高的題目有：理科6 題與文科15 題都是考查函數切線方程問題；理科11 題與文科6 題都是考查直線與圓的位置關系問題；理科12 題與文科8 題都是考查指數與對數運算問題；理科18 題與文科19 題都是以圓錐為載體考查空間線面位置關系問題； 理科21 題與文科20 題都是以指數函數y=ex和含有一個參量的二次函數（一次函數） 構成的初等函數為載體考查函數單調性和參量取值范圍問題。 考點相同、試題不同的有：集合、復數、平面向量和雙曲線均有一個小題。

2020 年是山東、 海南實行高考綜合改革后的首次高考，數學不分文理科。 由2020 年高考數學全國I 卷的文科和理科可以看出， 試卷為新高考做好了準備，起到了過渡的作用。

二、教學啟示

通過對2020 年高考數學全國I 卷的分析，對數學教學得到如下啟示。

1.要注重立德樹人

習近平總書記在全國教育大會上強調，要把立德樹人融入教育各環節，貫穿教育各領域。數學的教學不僅僅是知識的教學、解題的教學、思想方法的教學，更是育人的教學。 在教學過程中必須明確，“為誰培養人、怎樣培養人、培養什么人”，圍繞“一核四層四翼”的高考改革導向，落實全面育人的目標。

2.培養理性思維

在數學教學過程中， 要注重知識產生的背景、發展變化、推理論證、應用實踐、探究發現等環節的過程，這些環節都蘊含著理性思維，都是理性思維形成的關鍵環節， 都是科學精神和個人智力發展的重要過程，所以，一定要注重過程的教學。 特別是要把握數學的本質，啟發學生探究思考，突出“四基四能”，激發學習興趣，培養良好的學習習慣。

3.注重核心素養的形成

數學的核心素養是學生通過對數學知識的學習，逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力，是學生繼續學習發展的基石。 要逐步提升學生的核心素養， 引導學生學會用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界。