基于Pythagorean模糊熵的風險型決策方法
——考慮后悔與失望規避

李 娜，高雷阜，王 磊

(1.遼寧工程技術大學 運籌與優化研究院,遼寧 阜新 123000; 2.遼寧工程技術大學 基礎教學部,遼寧 葫蘆島 125105)

0 引言

多屬性決策是指具有多個屬性的有限方案排序和選擇問題，其理論與方法在經濟、管理、工程和軍事等諸多領域具有廣泛的應用[1]。自Yager[2,3]提出了Pythagorean模糊決策以來，眾多學者對Pythagorean模糊多屬性決策進行了研究。Peng[4]定義了Pythagorean模糊集一些新的相似測度和距離測度，并將他們應用到Pythagorean模糊決策環境。Chen[5]構建了Pythagorean模糊VIKOR決策模型。劉衛鋒等[6]提出了Pythagorean模糊Hamacher加權平均算子，Pythagorean模糊Hamacher有序加權平均算子，Pythagorean模糊Hamacher加權幾何算子以及Pythagorean模糊Hamacher有序加權幾何算子，并應用到多屬性決策問題。Wei等[7]提出了一些Pythagorean模糊冪集結算子，李娜等[8]提出誘導型廣義Pythagorean模糊Choquet積分算子，并將其應用到多屬性群決策問題。考慮到隸屬度和非隸屬度的相互作用，Wei[9]提出了交互式Pythagorean模糊集結算子。Biswas 和 Sarkar[10]將傳統的TOPSIS方法拓展到Pythagorean模糊決策環境。李娜等[11]提出了區間Pythagorean模糊AQM決策方法。Garg[12]提出對數形式的Pythagorean模糊集結算子并應用到多屬性決策問題，Liu等[13]提出了帶有可能度的區間Pythagorean模糊決策方法。李鵬等[14]在Pythagorean模糊群決策環境下，提出了一種灰色關聯決策方法。Ilbahar等[15]提出了Pythagorean 模糊AHP決策方法，并用于健康安全評價。

作為決策理論與方法中的重要內容，風險型多屬性決策問題考慮了不同狀態的概率可預估，備選方案的選擇具有一定的風險的排序問題。考慮到決策者的心理行為，譚春橋和張曉丹[16]提出了基于后悔理論[17,18]的風險型決策方法。張浩[19]在應急方案選擇與調整過程中既考慮了決策者后悔行為也考慮到了失望行為[20,21]。目前，在Pythagorean模糊環境下的風險型決策方法較少，Liang等[22]基于前景理論提出了Pythagorean模糊TODIM多屬性決策方法，Peng等[23]分別利用前景理論和后悔理論研究了Pythagorean模糊風險型多屬性決策問題，并利用算例對兩種方法進行比較分析。

模糊熵刻畫了模糊集的不確定程度，Joshi和Kumar[24]提出了直覺模糊熵，刻畫了直覺模糊集的不確定程度，Li等[25]研究了直覺模糊集的相似測度和熵的關系，Hussain和Yang[26]提出了猶豫模糊熵，刻畫了猶豫模糊集的不確定程度，王堅強等[27]提出了語言D數模糊熵，刻畫了語言D數的不確定程度。目前，模糊熵并未完全擴展到Pythagorean模糊集中[10,28]。

風險決策過程中決策者常常表現出風險規避、后悔規避和失望規避等行為，其中，后悔行為是由于備選方案比決策者主觀選擇的方案要好時產生的；失望行為是同一選擇有多個可能結果時，外在環境導致決策者選擇的實際結果較差時產生的[29]。決策者在選擇備選方案時會追求后悔最小化或失望最小化，因此，風險決策需要考慮決策者的后悔與失望行為[19]。鑒于此，本文考慮到決策者的后悔與失望規避心理行為，針對屬性值為Pythagorean模糊數的風險型多屬性決策問題進行探究，定義了新的Pythagorean模糊熵，由此獲得不同狀態下屬性權重，并通過加權求和獲得綜合屬性權重。同時將決策者的后悔心理和失望心理行為特征加以考慮，提出一種基于Pythagorean模糊熵的考慮后悔與失望規避的決策方法。最后，通過算例分析驗證了本文方法的有效性和優點。同時，分析了后悔規避系數δ和失望規避系數τ對決策結果的影響。

1 預備知識

1.1 Pythagorean模糊集

若μQ(xi)≥vQ(xi),則μP(xi)≥μQ(xi),vP(xi)≤vQ(xi);

若μQ(xi)≤vQ(xi),則μP(xi)≤μQ(xi),vP(xi)≥vQ(xi)。

1.2 后悔與失望理論

后悔理論是由Bell[17]和Loomes等[18]分別提出來的，基本思想是決策者會將自己考慮選擇方案的結果與其他方案可能獲得的結果進行比較，如果發現選擇其他方案可以獲得更好的結果，那么其心中會感到后悔；反之，則會感到欣喜。在悔理論提出后Bell又提出了失望理論[20]，其基本思想是決策者會把實際的決策結果與期望進行比較，當實際決策結果小于期望值時，決策者會感到失望；反之，則會感到愉悅。在決策過程中，決策者會對潛在的結果有所預期，并且避免選擇會使其感到后悔和失望的方案[17,18,20]，即決策者在決策過程中是后悔和失望規避的。

令x1，x2和x3分別表示選擇方案A1，A2和A3所能帶來的結果。依據后悔理論和失望理論[17,20]，決策者的感知價值由三部分組成，即關于當前選擇方案的效用值、后悔-欣喜值和失望-愉悅值，于是決策者對方案A1的感知價值[19,21]為

u(x1,x2,x3)=u(x1)+kR·R(Δv)+kD·D(Δθ)

(1)

其中，kR和kD分別表示后悔和失望對決策的影響程度。Δv=v(x1)-v(x2)，v(x1),v(x2)分別表示決策者從選擇備選方案A1和A2的結果中獲得的效用值，R(Δv)表示后悔-欣喜值，當R(Δv)>0時，R(Δv)為欣喜值，表示決策者對選擇方案A1而放棄選擇方案A2感到欣喜的值； 當R(Δv)<0時，R(Δv)為后悔值，表示決策者對選擇方案A1而放棄選擇方案A2感到后悔的值；D(Δθ)表示失望-愉悅值，Δθ=v(x1)-v(x3)，v(x1),v(x3)分別表示決策者從選擇備選方案A1和A3的結果中獲得的效用值，當D(Δθ)>0時，D(Δθ)為愉悅值，表示決策者對選擇方案A1而放棄選擇方案A3感到愉悅的值；當D(Δθ)<0時，D(Δθ)為失望值，表示決策者對選擇方案A1而放棄選擇方案A3感到失望的值。

2 模型的構建與方法設計

2.1 決策問題描述

表1 決策矩陣

2.2 Pythagorean模糊風險型決策方法

針對屬性值由Pythagorean模糊數表示的風險型多屬性決策問題，下面利用后悔與失望理論提出一種新的決策方法。基本思路如下：

(2)

(3)

其中，α為決策者的風險規避系數，滿足0<α<1。α越大，則相同屬性值的效用值越大，表明決策者對該屬性的偏好程度越大。

(4)

若x服從正態分布，則

i∈M,j∈N,t∈H

(5)

(6)

R(Δv)=1-exp(-δΔv)

(7)

其中，δ為決策者的后悔規避系數[16]，δ越大，決策者的后悔規避程度越大，Δv為兩個方案的效用之差。

根據式(7)，確定狀態St下方案Yi針對屬性Cj相對于理想點的后悔-欣喜值，表達式如下:

(8)

再次，計算每個方案下，各個狀態針對各個屬性相對于理想點的失望值。 這里，首先確定失望-愉悅函數D(Δθ)，由于決策者對于失望和愉悅都是風險規避的，因此，函數D(Δθ)是單調遞增的凹函數[19,20]，滿足D′(Δθ)≥0且D″(Δθ)≤0,D(0)=0。本文采用如下的函數[19,21]:

D(Δθ)=1-τΔθ

(9)

其中，τ為決策者的失望規避系數[19]，τ越大，決策者的失望規避程度越大。

根據式(9)，確定方案Yi下狀態St針對屬性Cj相對于理想點的失望-愉悅值，表達式如下

(10)

注1式(8)中的理想點是在同一狀態同一屬性下，由不同方案的決策信息相互比較確定的；式(10)中的理想點是在同一方案同一屬性下，由不同狀態所對應的決策信息相互比較確定的。

在上述基礎上，根據式(1)建立狀態St下方案Yi針對屬性Cj的感知效用

(11)

最后，利用屬性權重獲得方案Ai的綜合感知效用:

(12)

其中，pt為狀態St發生的概率，ωj(j∈N)為屬性Cj的權重，通常情況下屬性的權重信息并不已知。依據綜合感知效用ρi對方案進行比較排序，確定最優方案。

2.3 求解屬性權重

由于決策情形的復雜性，屬性權重信息常常難以確定。在每一狀態下，屬性信息越模糊越不確定，表明決策者對該屬性的了解程度相對越少，則賦予較小權重。反之，則賦予較大權重。而這種屬性信息的模糊性和不確定性可以用模糊熵來衡量。

(13)

下面，利用Pythagorean模糊熵確定屬性權重。

(14)

進一步，簡單的加權得到屬性Cj的權重

(15)

其中，由于pt為狀態St發生的概率，t∈H。

2.4 決策方法步驟

Step5利用式(14)-(15)求解屬性權重ω=(ω1,ω2,…,ωn)。

Step6利用式(12)得到備選方案的綜合感知效用ρi(i∈M)，依據ρi越大，方案越佳，確定最佳方案。

3 算例分析

某計算機圖書出版社要出版一本暢銷書(改編自文獻[23])。有4個方案可供選擇，分別為：《機器學習》A1；《數據挖掘》A2；《大數據》A3；《深度學習》A4；主要評價指標(屬性)有：普及性C1；創新性C2；圖書價值C3。根據市場預測，在出版期間有3種可能的狀態S={S1,S2,S3}分別表示好、中和差，對應發生的概率分別為p1=0.2,p2=0.5,p3=0.3。該出版社給出4個備選方案關于3個評價指標的評價結果如表2所示。在上述條件下，試確定最佳的出版書籍。

表2 決策矩陣

3.1 計算過程

表3 效用值矩陣

表4 后悔-欣喜值矩陣

表5 失望-愉悅值矩陣

表6 感知效用矩陣

Step5利用式(14)～(15)求得屬性權重ω=(0.4100,0.3006,0.2894)T。

Step6利用式(12)求得備選方案的綜合感知效用值:ρ1=0.4874,ρ2=0.4768,ρ3=0.4958,ρ4=0.4957。由于，ρ3>ρ4>ρ1>ρ2，獲得方案排序：A3?A4?A1?A2。故，最佳方案為A3，即最佳出版書籍為《大數據》。

3.2 參數δ和τ的變化對決策結果的影響

下面，討論后悔規避系數δ和失望規避系數τ對決策結果的影響。

首先，固定一個參數，分析另一個參數的變化對決策結果影響。固定后悔規避系數δ，取δ=0.3，分析失望規避系數τ在區間[0.1,0.9]變化，獲得排序結果如表7所示。

表7 δ=0.3時不同τ對應的排序結果

由表7可以看出，失望規避系數τ取較小值時，如：0.1,0.2，排序結果為：A4?A3?A1?A2，當失望規避系數τ超過0.2后，排序結果變為A3?A4?A1?A2。方案A3和A4的排序發生改變。

接下來，固定失望規避系數τ，取τ=0.3，分析后悔規避系數δ在區間[0.1,0.9]變化，獲得排序結果如表8所示。

表8 τ=0.3時不同δ對應的排序結果

由表8可以看出，后悔規避系數δ取較小值時，如：0.1,0.2，排序結果為：A4?A3?A1?A2，當后悔規避系數δ超過0.2后，排序結果變為A3?A4?A1?A2。同樣，方案A3和A4的排序發生改變，如圖1所示。

圖1 不同δ下的綜合感知效用

由圖1反映出，隨著后悔規避系數δ的增加，4個方案的綜合感知效用都在遞減，方案A1和A2的排序不變，方案A3和A4排序發生改變。

圖2 4個決策區域

接下來分析當2個參數δ，τ同時變化對決策結果的影響。經分析計算得，在(τ,δ)的允許取值范圍G={0<τ<1,0<δ<1}內，存在4個不同的區域G1={0<τ≤0.193,0<δ<1},G2,G3,G4={0.37≤τ<1,0<δ<1}，如圖2所示。其中，區域G2和G3的分界曲線表達式為δ=-0.0002335e18.08τ+7.824e-10.66τ,0.193<τ<0.37，進一步的分析獲得如下結果：

當參數(τ,δ)在區域G1或G3變化時，排序結果為：A4?A3?A1?A2，最佳方案為A4，當(τ,δ)在區域G2或G4變化時，排序結果為：A3?A4?A1?A2，最佳方案為A3。表明當失望規避系數τ較小且滿足0<τ<0.193時，無論后悔規避系數δ取多大的值，排序結果始終為：A4?A3?A1?A2。當失望規避系數τ較大且滿足0.37≤τ<1時，無論后悔規避系數δ取值多小，排序結果始終為：A3?A4?A1?A2。

當參數(τ,δ)按照關系式δ>-0.0002335e18.08τ+7.824e-10.66τ,0.193<τ<0.37變化時，排序結果為：A3?A4?A1?A2，而當參數(τ,δ)按照關系式δ<-0.0002335e18.08τ+7.824e-10.66τ,0.193<τ<0.37變化時，排序結果為：A4?A3?A1?A2。 說明參數(τ,δ)的變化對決策結果具有重要影響。實際決策過程中后悔規避系數δ和失望規避系數τ的取值通常都較大些，這樣避免決策過程中出現較大可能的后悔行為和失望行為。

3.3 對比分析

(1)可行性分析

表9 前景決策矩陣

其中， 參數α=β=0.88,θ=2.25,γ=0.61,δ=0.72。取屬性權重ω=(0.4100,0.3006,0.2894),利用Pythagorean加權平均算子獲得每個方案的綜合前景值：V1=(0.3028,0.0055),V2=(0.3412,0.0034),V3=(0.3500,0.0042),V4=(0.3323,0.0062)，在此基礎上計算得分函數[23],S(V1)=0.5743,S(V2)=0.5965,S(V3)=0.6020,S(V4)=0.5910，進而獲得方案排序：A3?A2?A4?A1，最佳方案為A3，與本文的一致，表明本文方法的可行性。

(2)優點分析

本文的決策方法既體現了后悔規避又體現了失望規避，相比文獻[5,10,14,15]中的決策結果更符合決策者的心里特征，同時相比文獻[19,23,29]，本文方法更適合復雜的模糊決策環境。具體分析如表10所示。

表10 不同方法特征比較

4 結論

本文針對屬性權重完全未知且屬性值為Pythagorean模糊數的風險型多屬性決策問題進行了研究，提出一種基于Pythagorean模糊熵的考慮決策者后悔與失望規避心理行為的決策方法。該方法的特點是決策過程中同時考慮了決策者可能出現的后悔行為與失望行為，更符合決策者的心理特征。運用Pythagorean模糊熵獲得的屬性權重減少了權重確定的主觀性，而且該Pythagorean模糊熵既考慮了隸屬度與非隸屬度的偏差對其影響，又考慮了猶豫度對其影響。算例分析表明了本文決策方法的可行性和優點，同時也說明后悔與失望規避系數(τ,δ)的變化對決策結果具有重要影響。