基于塊正交匹配追蹤預處理的米波多輸入多輸出雷達測高方法研究

鄭桂妹 宋玉偉 胡國平 李檳檳 張 棟

①(空軍工程大學防空反導學院 西安 710051)

②(空軍預警學院 武漢 430019)

③(中國人民解放軍66135部隊 北京 100041)

1 引言

米波雷達一般指工作頻率在米波段的雷達，典型的有甚高頻(Very High Frequency,VHF)波段雷達，米波雷達的發展由來已久，可追述到二戰中，用于防空預警扮演著重要角色。但米波雷達受限于波段太低、波束寬、波束掠地、地面反射回波幅度強，進而在低空目標測高時遇到相干多徑、低信噪比的問題[1,2]，最終導致米波雷達仰角測量精度差，無法滿足制導精度要求(眾所周知，雷達目標高度實質是通過測量目標仰角后根據目標距離計算得到)。故米波雷達的低仰角目標測高問題一直是陣列雷達信號處理中的重要問題之一。常規陣列的米波雷達測高目前有較為豐富的研究成果。其中有兩類方法是研究的重點，一類是傳統超分辨算法的移植和改進[3,4]，這里地形因素是考慮重點[5]；另一類則是基于人工智能的應用[6]。

將多輸入多輸出 (Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)體制應用到米波雷達中，研究米波MIMO雷達低仰角目標的波達方向估計問題受到廣泛關注[7—11]。考慮平坦陣地光滑表面的鏡面反射，不同于常規陣列雷達一個目標對應于兩條接收路徑，一個目標對應的4條傳輸路徑[12,13]，具體為發射直達波-接收直達波、發射直達波-接收反射波、發射反射波-接收直達波、發射反射波-接收反射波。此時MIMO雷達不僅要面對相干源入射的問題，還要面臨導向矢量相互滲透，或者有專家學者稱之為錐角兼并的問題。故傳統的相干源目標波達方向(Direction Of Arrival,DOA)估計或者雙基地的DOA和DOD角度聯合估計方法不能直接應用于MIMO陣列雷達的測高[12]，如以多重信號分類(MUltiple SIgnal Classification,MUSIC)為代表的超分辨算法技術在MIMO陣列雷達測高中無法直接應用。最大似然算法可直接處理相干信號，是米波MIMO雷達測角問題中常用的算法，但是涉及到多維搜索的問題，使得本身就因MIMO陣列雷達自由度大而導致計算量大的問題進一步加劇。鑒于此，文獻[12]提出了一種降維的最大似然估計算法，該算法通過預先得到的目標距離和天線高度等先驗信息，利用直達波信號與反射波信號之間存在的幾何關系，進行直達波和反射波的合并，使得最大似然只需進行一維搜索便可完成對目標仰角的估計，大大減少了運算量。此外，文獻[14]提出用極化平滑后接廣義MUSIC算法來解決低仰角目標相干的問題，能夠解決常規陣列米波雷達測高在一些極端條件下的應用問題。

可看出最大似然和廣義MUSIC是兩種行之有效的MIMO雷達測高方法，但其計算量大。雖然利用直達波和反射波關系來降低搜索維數，但仍涉及到整個空域的搜索，計算量仍然較大。本文提出基于塊正交匹配追蹤(Block Orthogonal Matching Pursuit,BOMP)[15]預處理的方法來降低計算量。首先對MIMO陣列接收數據稀疏化處理，將其變形至適合于BOMP算法的信號模型，然后利用粗柵格搜索得到角度粗估計。以此為初始值中心，取MIMO雷達波束寬度作為搜索范圍。這樣處理的好處是既能保證最大似然和廣義MUSIC高精度估計的優點，同時能大大降低其計算量。

2 信號模型

假設該MIMO雷達是一個收發共置的系統，其陣元有M個，且發射陣列為垂直均勻線陣，發射信號矢量為：φ(t)∈CM×1，假設該發射信號為正交信號(這是MIMO雷達區別于傳統相控陣雷達的重要特征)，則有其中，IM是大小為M的單位陣，Tp為雷達一個脈沖持續時間，即脈沖寬度。對于連續波雷達則需要整個發射時間段的發射信號之間相互正交。假設MIMO雷達系統的低仰角反射區域是光滑平坦反射面，如圖1所示。

假設該系統的發射信號為水平極化信號，則其到達目標的信號可表示為

其中，θd為直達波角度，θs為反射波角度。at(θ)為發射陣列導向矢量等于

圖1 米波MIMO雷達低仰角測高鏡面反射模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of height measurement of low elevation target with meter wave MIMO radar under specular reflection model

d為陣元間隔。δ為直達波和反射波波程差所引起的相位差，其值等于其中ha為天線高度，ht為目標高度，λ為入射波長，R為目標垂直投影到地面的點到雷達的距離。需要注意的是波程差小于一個距離分辨單元，故在距離上區分不了直達和反射波。ρh為水平極化波的反射系數，其值等于

ε為表面復介電常數，通常可由相對介電常數εr和表面物質傳導率σe表示εεr?j60λσe。另外，β(τ)αexp(j2πfdτ)為單個目標不同脈沖之間的復反射系數，是一個未知確定復常數，假設它服從Swelling 2型分布。則第m個接收陣元的接收數據為

假設收發共置，接收導向矢量與發射導向矢量相等。根據上式，則整個陣列的接收數據可寫成

利用發射信號對上式做匹配濾波可得

對上述數據進行矢量化操作可得

首先假設原始噪聲是零均值高斯隨機過程，則有E[n(t1,τ)n(t2,τ)H]σ2IMω(t1?t2)，其中ω為沖擊函數，σ2為噪聲功率。則匹配濾波后噪聲等于

根據文獻[13]的結論，可得到經過匹配濾波、矢量化操作之后，噪聲仍然是白噪聲。

3 最大似然和廣義MUSIC的米波MIMO雷達測高

研究表明常規相控陣列中的“相干信號”與“多徑信號”的關系基本可以等同，所有對相干信號處理有效的算法均可應用于多徑信號，如典型的空間平滑解相干算法。但MIMO雷達中“相干信號”與“多徑信號”的關系不等效，因為MIMO雷達存在信號相互滲透的現象，導致傳統空間平滑無法利用，進而導致傳統基于子空間的經典超分辨算法旋轉不變子空間算法(Estimation of Signal Parameter via Rotational Invariance,ESPRIT)和MUSIC無法直接利用。故無需解相干類的超分辨算法如最大似然算法和廣義MUSIC算法在MIMO雷達測高得到充分使用，是兩種行之有效的測高算法。下面簡要回顧這兩種算法。

3.1 最大似然

最大似然估計是陣列信號處理中最常用和最有效的參數估計方法之一。從其參數選取準則中可以看出，其算法并不受信號間相關性的影響。具體推導請詳見參考文獻[16]的第148頁式(5)、式(2)和式(10)。最大似然估計準則可表示為

將式(7)中MIMO雷達接收數據中的信號源和導向矢量重新組合成如式(11)的形式

則可將式(7)中的接收數據寫成如式(12)的形式

式(10)中的最大似然估計求解過程涉及兩維非線性搜索，其計算量很大。可采用直達波和反射波的數學關系式來降低搜索維度，其關系式為

3.2 廣義MUSIC

傳統MUSIC算法是利用信號子空間和噪聲子空間的正交性而建立。但在MIMO雷達中，受相干信號的影響，導致導向矢量與噪聲子空間并不正交。即使采用某種方法去相干，其中導向矢量信號相互滲透，即at(θd)?ar(θs)，從而導致導向矢量與噪聲子空間并不正交，故傳統MUSIC算法無法直接應用。廣義MUSIC亦建立在信號子空間和噪聲子空間正交基礎上。但并沒有利用導向矢量而是利用導向矩陣與噪聲子空間正交的原理。這里面需要注意“導向矢量”、“導向矩陣”、“噪聲子空間”之間的相互關系，總結如表1所示。

表1 陣列雷達噪聲子空間和導向矢量、導向矩陣的正交性Tab.1 Orthogonality of noise subspace of array radar and steering vector,manifold matrix

從表1中可清晰看出，對于MIMO陣列雷達，傳統MUSIC不可用，而廣義MUSIC可用。對MIMO陣列雷達匹配濾波后接收數據協方差矩陣進行特征分解，得到噪聲子空間En和信號子空間Es，根據文獻[16]的推導，廣義MUSIC譜為

其中，det[·]表示求其行列式，上式同樣涉及兩維搜索，可采用3.1節中的降維方法得到一維搜索譜估計。

4 基于BOMP的米波MIMO雷達測高粗估計

式(9)和式(14)的最大似然和廣義MUSIC算法需全空域搜索，搜索范圍太大。下面介紹一種單快拍條件下即可得到仰角粗估計的方法來縮小搜索范圍，以此減少計算量。首先令式(12)中的τ1，即單快拍。對導向矢量和接收信號源采用稀疏表示。首先構造稀疏過完備矩陣A(ψ),ψ(θd,θs)，如此構造過完備矩陣，則需要構造兩維矩陣，其計算量很大，這里同樣可利用直達波和反射波之間的關系式(13)來降低過完備字典的維數，即ψ(θd),L表示字典的長度，其中L遠大于目標個數，這里設目標個數為K(事實上對于測高模型，目標為1)。則式(12)可以寫成

其中z表示K塊稀疏矢量。其中塊的長度等于4。式(15)可利用BOMP算法去尋找支撐位置，從而計算出角度。下面簡單給出BOMP算法與式(15)的對應關系。

目標則轉化為找出塊稀疏矢量z中目標的K個支撐位置，支撐位置就是目標的稀疏字典中仰角的位置。現將優化問題轉化為

其中，V表示構造稀疏字典中的間隔度數。當快拍數多時，可用上述方法取得的結果求平均，事實上這里的結果僅作為粗估計的結果，為減少計算量可直接采用單快拍BOMP算法。

5 米波MIMO雷達測高的精確估計

此時，米波MIMO雷達的仰角初始估計值已經得到。在最大似然和廣義MUSIC算法中以此為中心來確定搜索范圍。下面給出搜索范圍的基本原則。首先定義搜索范圍為：θ(θcoarse+θ1,θcoarse?θ1)核心是確定θ1取值。這里的準則定為半波束寬度，，此時搜索范圍等于一個波束寬度。如果目標功率降為波束寬度之外是檢測不到目標的，故在單個波束寬度內搜索是合理的。MIMO雷達的波束寬度為：表示MIMO雷達的等效孔徑陣元數，對于收發共置的MIMO雷達，有效孔徑陣元數N2M ?1，對于非等距線陣亦容易計算得到，這里不再贅述。測高的步驟如下：

步驟1 利用BOMP得到初始估計，并確定搜索范圍。這里利用一個表格給出BOMP算法的計算流程，如表2所示。

步驟2 利用步驟1搜索范圍，使用第3節中最大似然和廣義MUSIC，得到最終角度估計值，然后根據目標距離轉化成目標高度值。

本算法需要注意的有：對于米波MIMO陣列雷達模型，當目標的仰角小于波束寬度時，Rank(A)4,Rank(y)1，其中Rank(·)表示秩。如果按照常規陣列信號處理的角度考慮，可認為是4個目標，且相互相干。但是仔細觀察會發現導向矩陣中存在信號相互滲透的現象，實際上只有兩個不一樣的角度入射到陣列，從參數估計的角度來考慮，可認為是2個信號源，故上面所提到的最大似然算法和廣義MUSIC算法，均涉及到兩維搜索。同樣是因為相互滲透的原因導致信號的空間平移性不存在，進而導致空間平滑解相干算法不可用。既然不具備空間平移不變性，則傳統超分辨算法ESPRIT亦不可用。對于經典超分辨算法MUSIC亦不可直接應用，作者會在另外一文中報道無需解相干的經典超分辨算法MUSIC在米波MIMO雷達測高中的應用。另一方面，本文算法是建立在平坦陣地模型之上。對于粗糙反射表面、地形起伏等復雜陣地條件下的米波MIMO雷達測高，本文算法不能直接應用。關于米波MIMO雷達復雜陣地條件下的研究，已有的成果[17]有地面反射系數未知的交替搜索MUSIC算法、反射面高度未知和多徑數未知的條件下利用縮放字典逐層逼近的方法、以及基于秩1約束與壓縮感知的低角目標測高算法等算法。這些算法能夠解決部分復雜場景下的米波雷達測高問題。后續作者將在此基礎上，研究不同陣元對應不同反射點高度即同一陣列雷達反射點起伏的測高估計問題，這也是測高最為復雜的問題之一。

表2 BOMP算法的計算流程Tab.2 Calculation process of BOMP algorithm

6 計算機仿真

仿真1 BOMP預處理的支撐位置恢復情況。考慮該米波MIMO陣列雷達的發射陣元數M10，陣元間距為半波長布置。入射頻率為300 MHz，入射波長λ1 m，目標直達波角度為5°，反射角角度根據式(14)計算得到。信噪比SNR0 dB。其中天線高度ha5 m，目標高度ht7000 m，設置淡水場景，則可設置反射系數中的介電常數εr80和表面物質傳導率σe0.2。其中[:n?:]表示每間隔n?取一個數值來構造稀疏字典，這里設n1，則目標的理論仰角值的第1 個支撐位置為5×4+121。圖2給出了其中一次獨立實驗的支撐位置估計結果。可看出該BOMP算法能夠正確估計出目標仰角值。

仿真2 搜索范圍選擇的正確性驗證。考慮該米波MIMO雷達的發射陣元數M10，入射頻率為300 MHz，入射波長λ1 m，陣元間距為半波長布置。目標直達波角度為5°，反射角角度根據式(14)計算得到。信噪比SNR5 dB，快拍數10個，天線高度ha5 m，目標高度ht7000 m，設置淡水場景，則可設置反射系數中的介電常數εr80和表面物質傳導率σe0.2。圖3給出最大似然和廣義MUSIC的全空域搜索的一次估計結果。圖4給出10次獨立實驗的基于BOMP預處理后最大似然的搜索范圍結果。圖5給出10次獨立實驗的基于BOMP預處理后廣義MUSIC的搜索范圍結果。從圖中可以看出本文算法能夠正確的縮小搜索范圍，從而降低計算量。

圖2 基于BOMP稀疏恢復的支撐位置估計結果Fig.2 Support position estimation results based on BOMP sparse recovery algorithm

仿真3 最大似然和廣義MUSIC算法仰角和高度估計結果。考慮該米波MIMO雷達的發射陣元數M10，入射頻率為300 MHz，入射波長λ1 m。陣元間距為半波長布置。目標直達波角度為5°，反射角角度根據式(14)計算得到。信噪比變化，快拍數10個，天線高度ha5 m，目標高度ht7000 m，設置淡水場景，則可設置反射系數中的介電常數εr80和表面物質傳導率σe0.2。完成1000次蒙特卡洛實驗，并定義衡量估計性能的均方根誤差(Root Mean Squared Error,RMSE)為：RMSE其中，直達波角度估計值，αθd為目標角度真實值。當目標高度估計值，αht為目標高度真實值。圖6和圖7中給出基于BOMP預處理后的最大似然和廣義MUSIC算法的角度估計RMSE和高度測量RMSE，可以看出這兩種算法能夠正確應用在MIMO雷達對目標的測高領域。

圖3 最大似然和廣義MUSIC的全空域搜索估計結果Fig.3 Estimation results of maximum likelihood and generalized MUSIC under whole airspace searching

圖4 10次獨立實驗的基于BOMP預處理后最大似然的搜索范圍結果Fig.4 10 independent experiments results based on maximum likelihood after BOMP preprocessing

仿真4 預處理和非預處理算法運算時間的比較。考慮該米波MIMO雷達的發射陣元數從10變化到20，入射頻率為300 MHz，入射波長λ1 m，陣元間距為半波長布置。目標直達波角度為5°，反射角角度根據式(14)計算得到。信噪比SNR5 dB，快拍數10個，天線高度ha5 m，目標高度ht7000 m，設置淡水場景，則可設置反射系數中的介電常數εr80和表面物質傳導率σe0.2。圖8給出最大似然和廣義MUSIC的全空域搜索的運算時間和基于BOMP預處理后最大似然和廣義MUSIC的運算時間對比。從圖8中可以看出，本文算法能夠有效降低計算量，陣元數越多，本文算法的優勢越明顯。

圖5 10次獨立實驗的基于BOMP預處理后廣義MUSIC的搜索范圍結果Fig.5 10 independent experiments results based on generalized MUSIC after BOMP preprocessing

圖6 最大似然和廣義MUSIC算法的角度估計RMSEFig.6 RMSE of angle estimation with maximum likelihood and generalized MUSIC algorithms

圖7 最大似然和廣義MUSIC算法的高度測量RMSEFig.7 RMSE of height measurement with maximum likelihood and generalized MUSIC algorithms

圖8 預處理和非預處理算法運算時間比較結果Fig.8 Comparison results of run time of preprocessing and non-preprocessing algorithms

7 結論

本文研究了基于BOMP預處理的米波MIMO雷達的低仰角測高問題。首先給出傳統最大似然和廣義MUSIC算法的回顧。接著提出利用非解相干的稀疏恢復算法BOMP來粗測目標角度，然后縮小傳統算法的角度搜索范圍，從而降低了計算量。事實上，若不考慮計算量，BOMP亦可用。