人力資源約束下的項目群調度問題建模與求解

陳俊杰，同淑榮，王 曜，聶亞菲，張靜文

(1.西北工業大學 管理學院，陜西 西安 710072; 2.中山大學 管理學院，廣東 廣州 510275)

0 引言

在高新技術公司保持如火如荼良好發展態勢的過程中，行業競爭程度進一步加劇，大量同質化、雷同化的項目相繼涌現出來，公司欲實現穩健、長效發展，應在充分考慮各方面因素的基礎上制定一套嚴謹合理且具有良好可行性的戰略計劃，而這即意味著公司應結合戰略目標和實施計劃，梳理并采取科學合理的多項目管理方法，有很多業內人士將其稱作為項目群管理。在此發展格局下，高新技術公司往往需要同步開展若干個技術改造項目，不僅對管理水平提出了更高要求，也在很大程度上加大了資源調配難度。若資源結構本身不科學，或者資源配置能力比較差，那么很容易出現資源浪費或者資源不足等極端情況。學者Suvi Elonen在研究過程中，以項目群管理為切入點，通過各種合理方法對現有問題展開了深入細致地研究，不僅明確了主要影響因素，并且對其具體影響程度予以了合理確定，其中，“資源不足及調配不科學”的權重為25%，屬于第二大影響因素[1]。因此，公司在運營和發展中需要考慮采取何種措施或者是手段合理配置資源，確保多個項目有條不紊地正常開展，盡量以最小的投入獲得較高產能，創造可觀效益。研發項目群不僅需要投入大量資金和人力，還面臨著各種各樣的風險，能否成功主要取決于科研工作者。所以，高新技術公司應在綜合考慮各方面因素的前提下深入挖掘并合理配置攸關企業生死存亡的科研力量資源。

項目群人員優化配置問題從根本上來講是一類典型的資源受限項目調度問題，目前，各國學者紛紛對其展開了全面深入地探討，屬于國際重點研究課題。不過在對和項目調度問題相關的研究資料進行梳理和分析后發現，大部分學者未分別針對可更新、不可更新資源進行獨立分析，而是不加以區分地綜合分析，另外，大多數學者在研究過程中忽略了人力資源的柔性特征。其實，人力資源限制下的項目調度問題屬于柔性資源約束項目調度問題[2](FRCPSP)，由于人力資源是一種涵蓋多種不同能力屬性的柔性資源，所以，應將其以柔性資源約束項目調度問題的拓展進行探討和分析；抑或是將其視為一個多技能項目調度問題[3,4](MSPSP)，即可將人力資源能力、可行時間這兩個要素作為評估指標，由此對其可行性、有效性進行衡量，所有工作者都具備一項或者數項技能，所有工作都需安排一名或者若干名技術工作者共同完成，不可出現優先搶占的現象。

無論是理論界，還是在實務界，柔性資源受限項目調度等相關問題均尤為關鍵，所以，越來越多的學者將目光聚焦于此類問題并對其展開全面深入地探討。其中，學者喻小光[5]在進行深入調查和細致分析后梳理了柔性資源約束的資源水平項目調度問題，在分析問題的過程中，創建了一個嚴謹合理、簡單易懂的數學模型。王一帆等學者[6]在進行深入研究之后率先設計出了具有良好實用性的兩階段算法。學者付芳[7]在對基于人力資源限制的多項目多模式進度管理問題進行探討和分析時，采用了當前應用比較廣泛且備受業內人士青睞的列生成法，設計了一個比較完善合理的數學模型。通過免疫遺傳算法等多種嚴謹合理且運算效率高的方法進行計算。任逸飛等學者[8]在研究過程中將總工期最短定義為目標，由于施工進度、建設周期會受到資源等相關因素的約束，所以他們通過雙層決策等多種方法進行計算。關于多技能項目調度問題，Wang等學者[9]在借鑒前人研究成果的基礎上通過深入細致地分析表示，可通過基于知識的多目標果蠅優化算法進行處理。鄧富民等學者[10]在研究過程中表示，鑒于會受到手術臺等各種不同資源的限制，創建了一個基于多目標函數、嚴謹合理且便于理解的模糊調度數學模型，同時就如何優化和完善非支配排序遺傳算法提出了合理建議。Chen等學者[11]通過當前應用比較普遍的蟻群算法對人力資源部署和利用等相關問題展開了全面深入地研究。Zheng等學者[12]在對工期最短的資源調度問題進行研究和分析時，設計出了一種以教學為基礎、科學嚴謹的優化算法。根據以上綜述能夠了解到，學者們傾向于對成本或者工期等單目標優化問題的研究，針對多目標調度優化問題展開探討和分析的文獻較少。

Naber等學者[2,13]在進行廣泛深入地研究之后率先提出了柔性資源負荷概念，著重探討了柔性資源的調配情況和工作完成周期之間所具有的關系。之前，人們對多模式資源受限項目調度問題進行調查分析時忽略了人資本身涵蓋數種不同能力的柔性特征，大部分學者只分析了柔性資源分配量的多少和工作完成周期之間的關系，并未深入分析柔性資源分配計劃和工作完成周期或者工作投入資金之間的關系。譬如，人們在研究過程中，只分析如果一項工作安排兩個人，那么此項工作需要15天才能夠完成，但若安排三個人負責，那么此項工作需要10天完成。但是大部分人沒有考慮到如果安排A、B兩人負責一項工作，可能需要耗時20天，若安排C、D兩人負責工作，其耗時可能為30天甚至更多。特別是對于知識型工作者來講，人力資源配置方案是否嚴謹合理將直接關系到工作周期和工作投入費用。

先前，大部分學者表示，研發工作者績效水平的高低主要取決于兩大因素：一是個人技能，二是工作能力，因此，很多學者在研究過程中側重于探討員工技能水平或者工作能力和工作完成周期之間的關系。Heimerl等學者[14]在進行研究時，鑒于員工工作效率的高低直接關系到工作周期的長短，所以在多項目協同開展的背景下，創建了一個科學合理的數學模型，同時借助性能優良、操作便捷的優化軟件進行計算分析，不過需要明確一點，該模型并未對各員工完成工作量的多少進行合理估測。Chen等學者[15]全面深入地探討了員工工作效率對工作完成周期所產生的影響，以工時定額為指標實現了對員工工作量的合理量化。呂學志等學者[16]在對項目調度問題進行廣泛深入地研究之后，明確了柔性資源能力差異和工作周期間所具有的關聯，基于此探尋出了以活動序列為基礎的粒子群算法。文獻[5,7～9,12]獨辟蹊徑，以技能級別來表示資源能力方面所存在的差別，并通過合理方法創建分析模型。不過隨著研究深度和廣度的不斷提高，有學者表示，科研工作者技能水平的高低并不對其績效產生較大影響，影響績效的主要因素是科研工作者的勝任力[17～19]。

鑒于員工勝任力的高低不僅會對工作完成周期產生顯著影響，并且也直接關系到物料投入的多少，本文選取了能夠合理客觀評估員工勝任力的指標，創建了一個嚴謹完善且簡單易懂的數學優化模型。有別于傳統的多模式資源受限項目調度問題，其實也是對傳統MRCPSP的拓展，其問題規模和求解難度更大。根據問題特征，采用加權求和法將項目工期和項目成本雙目標優化轉化為綜合指標單目標優化問題，并設計遺傳算法求解。大量研究證實對于此類問題，無論是考慮勝任力差異的數學優化模型，抑或是當前備受業內人士推崇的遺傳算法，它們均表現出較強適用性。

1 模型構建

1.1 問題界定

本文研究內容是以最小的經濟投入、最短的時間高質完成數個協同開展的項目，應通過何種方法制定一套嚴謹合理且具有良好可行性的項目進度計劃，通過何種措施合理明確同步實現多目標的人資調度問題。簡單來講，公司目前存在并行研發項目群，內部員工均被安排了相應的工作，已明確了各項目工作間的關系，已明確了各項工作的工時定額，已經明確了各項工作的人員安排數量、資金投入量。需要解決的問題是通過何種方式提出一種嚴謹合理且具有良好可行性的多項目工作的開展模式，如何選取合適的起始時間，由此實現以最小的經濟投入、最短的時間高質完成數個協同開展的項目工作的目標。

為進一步簡化問題，本文提出以下假設：(1)被分配工作的所有員工其工作起始、終止時間完全一致，不可出現工作未完成而員工就離開的現象；(2)每一項工作消耗物料的種類(不包括員工在內)保持完全統一；(3)員工在不同工作開展過程中對同種物料的消耗率保持完全一致；(4)多項目總費用僅計算工作產生的物料成本；(5)不同員工在工作完成時間、投入的費用等方面存在較大區別；(6)不同員工的工作完成質量比較統一，基本上都符合公司標準。

1.2 員工工時系數

大量研究證實，在項目群背景相對比較復雜的情況下，科研工作者工作績效水平的高低會受到多重因素的影響，比如員工專業能力、工作效率、工作態度等。專業能力的高低并非影響績效水平的唯一因素，唯有和動機聯系在一起方可對績效水平產生深刻影響[17～19]。所以，可通過提高員工勝任力的方式促其績效水平進一步改善。作為一種量化型外顯行為，勝任力能夠在一定程度上反映員工專業水平、工作態度等，可作為區分一般績效、優良績效的重要參考因素[20]。

本文選取了人員工時系數這一變量，希望能夠通過此指標對員工的勝任力水平進行客觀合理地評估。文獻[15]詳細闡述了員工工時系數的具體推導過程和估算式。

1.3 問題建模

1.3.1 原問題模型

為高效解決此問題，本節在借鑒前人研究成果的基礎上創建了一個科學合理、嚴謹完善的混合整數規劃模型。符號定義如表1所示。

表1 符號定義

(1)目標函數

(3)

(4)

(2)約束條件

?t=0,…,T,i=1,…,NR

(5)

(6)

(7)

(8)

?aj′k′∈Pjk

(9)

yjkmt∈{0,1},

?j=1,…,NP,k=1,…,Nj,t=0,…,T,m∈H(j,k)

(10)

根據式(1)能夠了解到，活動的員工組合實際完成的工作總量至少要大于活動的額定工作量。工作完成周期通常按照向上取整的方式進行確定。根據式(2)能夠了解到，員工在開展工作過程中使用的物料應小于工作限制量，通常按照向下取整的方式進行確定。根據式(3)能夠了解到，核心目標是多項目總工期最小化。根據式(4)能夠了解到，次要目標是多項目最經濟化，以最少的經濟投入快速保質地完成項目。根據式(5)能夠了解到，所有員工在某時間范圍內只能開展一項工作。根據式(6)能夠了解到，所有活動只能選擇一種模式并且僅在某一個時段開始。公式(7)規定同一時段可分配的員工數量上限。公式(8)規定分配給項目j活動k的員工數。根據式(9)能夠了解到，各項工作之間存在一定的邏輯次序關系。根據式(10)能夠了解到，模型的決策變量有其特定的取值范圍，為0～1決策變量。

1.3.2綜合指標模型

評價函數法主要指的是為高效順利地解決多目標優化問題，結合決策人員提供的各種資料、數據等自行構建一個科學合理的實函數，由此將問題轉化成便于理解和分析的單目標優化問題。簡單來講，這是一種結合人們偏好和提供的數據來解決多目標優化問題的方法。它能夠根據人們提供的各項決策數據和資料高效便捷地推導出滿足決策條件的優化結果。

本文采用線性加權綜合法將項目工期和成本雙目標優化轉化為單目標優化問題，具體通過如下步驟將原問題模型轉化為綜合指標模型：

首先，采用專家調查法、模糊綜合評價法等對指標賦權。對于軟件項目而言，實際往往對項目工期的要求比對項目成本的要求更加嚴格，因此工期的權重應大于成本的權重。

其次，由于工期和成本均是費用性指標，因此指標值越小表示解越好，但適應度函數值越大表示個體越優。同時考慮到工期和成本的單位不統一，須進行無量綱化處理[21]。

項目總工期T的無量綱化公式為:

TS=({maxT}-T+1)/({maxT}-{minT}+1)

(11)

項目總成本C的無量綱化公式為:

CS=({maxC}-C+1)/({maxC}-{minC}+1)

(12)

式中，TS、CS分別表示項目工期、項目成本無量綱化后的指標值。

最后，綜合指標模型的目標函數公式為:

maxCI=ω×TS+(1-ω)×CS

(13)

式中，ω表示工期的權重。CI為綜合指標值。綜合指標模型的約束條件同原模型中公式(5)～(10)，不再贅述。

2 算法設計

2.1 問題復雜性解析

本文研究的特殊的多模式資源受限項目調度問題(S-MRCPSP)，由于研究對象是考慮勝任力水平差異的人力資源，不僅會令傳統MRCPSP的決策因素規模進一步增大，也會使得約束數量大幅增加，由此而造成的后果是問題模型比之前更復雜，可行解數量也會大幅增多，導致問題求解難度進一步增大。

在本研究中，工作開展時間并不固定，換言之，工作包含了“多個不同的工作模式”，所以，或許會有人將本文問題歸為傳統的一類。其實，S-MRCPSP與MRCPSP的主要區別在于：

其一，在MRCPSP中，各項工作開展周期內的資源分配量一般是統一且基本固定的。關于“多個不同的工作模式”是在各項目工作量、投入費用等相關要素的前提下進行合理明確。

其二，模式數量方面存在差異，從工作模式方面來講，前者數量或許明顯超過后者。MRCPSP的工作模式數量通常并不是很多，譬如，公司目前有6名員工可供調遣安排，時間取整，在MRCPSP中項目a只包含四種工作模式，即{(6天,1人),(3天,2人),(2天,3人),(1天,6人)}。但是在本文S-MRCPSP中，由于6名員工的工時系數存在一定差異，所以對項目a安排1名員工時即存在6種工作模式(即)；為項目a安排2名員工時存在15種工作模式(即)；項目a安排3名員工時存在20種工作模式(即)；為項目a安排6名員工時存在1種工作模式。基于以上分析能夠了解到，在工時系數不同的情況下，工作模式數量明顯增多。本文最后9個實活動的實例中，人員組合可行解集合中可行解數量已達到百億數量級。這無疑對傳統的優化調度方法產生了很大沖擊。

其三，在S-MRCPSP問題中，唯有制定嚴謹合理的人資分配方案之后，才能夠準確確定工作周期，這和MRCPSP之間存在明顯差異。譬如，在項目a中，MRCPSP方法求得工期是7個時間單位，但是如果安排了勝任力突出的員工，那么工期可能減少到4個時間單位。

包括MRCPSP調度方法[22～24]等在內的多種分析方法在使用過程中難免會出現誤判活動起始時間的問題，導致解碼質量不盡人意。所以，對于S-MRCPSP，本文應探尋高效合理的方法進行計算。

2.2 遺傳算法的設計

2.2.1 編碼

本文采用雙鏈表結構的編碼方式，兩條鏈表分別代表任務鏈表和執行模式鏈表[25]。若I表示一個雙鏈表結構的染色體：

其中，L=(j1，j2，…，jJ)為任務鏈表，是滿足任務緊前關系約束的全部任務的一個排列，M=(m1，m2，…，mjJ)為模式鏈表，表示任務鏈表中各任務對應的執行模式向量。

(1)任務鏈表L的生成

各項任務之間往往具有既定的時序優先關系，隨機地組織任務或許會出現不可行解。在算法中，科學合理地明確優先關系的任務編碼方式至關重要，可通過下述流程進行確定：

1)給總網絡圖中的各任務進行初次編碼，將多個單項目網絡圖，通過添加開始虛工序和結束虛工序，將其繪制成一個總網絡圖，給總網絡圖中的各任務編號。

2)用鄰接矩陣描述單代號網絡圖的時序邏輯關系。詳情可參考以下兩圖。

圖1 具有9個任務的項目單代號網絡圖

圖2 鄰接矩陣

3)任意獲取任務優先權值列表。無論是哪些工作任務，均有其特定且獨一無二的優先權值，不過它并不能保證一定符合時序邏輯關系。假設圖1中的任務項目其優先權值如表2所示。優先權值大者優先執行。

表2 隨機生成的任務優先權值列表

4)生成符合時序優先關系要求的任務編碼，其生成步驟可參考下圖。

圖3 滿足時序關系的任務編碼生成過程

根據上圖能夠清晰直觀地了解到，最重要的一環是準確鎖定合格任務，即指的是每一項緊前任務均已完成的任務[26,27]。

以圖1描述的實例為例進行說明。向量A[·]的主要功能是安全可靠地保存已形成的編碼排序。一開始，A[1]=1，合格任務特別少，只有一個即任務2，此時A[2]=2。在對鄰接矩陣進行梳理分析后發現，合格任務分別是3,4,5，它們三個都有可能成為A[3]，查表可知，其優先權值依次是7,1,6。在上述任務中，3享有最高的優先權，故A[3]=3。接下來，任務4,5,6共同競爭A[4]。任務5競爭勝出，得到A[4]=5。再按照下述兩個流程進行操作：

a.結合鄰接矩陣得到合格任務集合；

b.按照隨機優先權值確定優先級最高的任務并將其所在位置進行固定，一直持續到每一項任務都得到規范合理地執行。與表1相對應的任務編碼可參考表3。如果優先權值發生變化，那么勢必會導致任務編碼方案有所改變，所以，此編碼可以反映已知單代號網絡圖潛在的各種編碼[27]。

表3 滿足時序關系的任務編碼

值得注意的是，生成的任務鏈表僅僅滿足了時序優先關系，尚未考慮資源約束。

(2)模式鏈表M的生成

模式鏈表M表示任務鏈表中各任務對應的可行模式向量，模式鏈表M與任務鏈表L兩條鏈表各基因位一一對應。j1活動對應的可行模式為m1，m1可取j1活動對應的可行模式集合中任一種模式。生成的模式鏈表僅考慮了可更新資源約束中活動規定的人員數這一條，也考慮了不可更新資源約束。

2.2.2 解碼

所有基于優先級的啟發式算法都需要進度生成機制(Schedule Generation Scheme, SGS)[28]。SGS有串行進度生成機制(SSGS)和并聯進度生成機制(PSGS)。基于任何優先規則并采用PSGS生成的單模式資源約束項目調度問題(SRCPSP)的調度計劃均為非延遲調度計劃。基于任何優先規則并采用SSGS生成的SRCPSP的調度計劃均為積極調度計劃，它既縮小了搜索范圍，又不會錯過最優解[25]。當各個活動的執行模式被指定，并且指定的模式滿足不可更新資源約束時，MRCPSP就退化為SRCPSP，因此，MRCPSP也滿足SRCPSP的性質和定理[25]。鑒于此，本文采用串行調度生成機制。當任務的調度順序和對應的可行模式給定后，采用串行調度生成機制進行解碼時，考慮全部可更新資源約束，就得到一個可行解。

2.2.3 種群初始化和適應度函數

(1)初始種群

初始種群應選擇合適的種群規模，研究顯示，個體能在解空間中均勻分布的初始種群被認為是一個好的初始種群。所以在剛開始生成種群的優先規則序列號時，我們采用電腦隨機生成的方式。但是在后面的解碼過程中，可以看到，有些解不滿足問題的約束條件，因此我們先根據問題的約束條件將人員滿足任務要求的所有組合求解出來，讓遺傳算法只在問題的可行解空間內進行搜索，并且在用算法選擇人員時，我們選取活動的關鍵人員和隨機人員的組合，這樣既滿足了遺傳算法的要求，又可縮短解決問題耗費的時間。

在生成初始種群時，要優先考慮個體能否均勻覆蓋整個解空間。本文采用電腦隨機生成的方式，產生了滿足時序優先關系的染色體任務編碼。染色體的模式編碼也是采用各任務的可行模式的編碼，即滿足了資源約束的人員組合可行模式的編碼?？尚心Ｊ降倪x擇是采用關鍵人員和隨機選擇人員組合的方式，一個活動的關鍵人員是指人力資源庫中執行該活動時員工工時系數最大的人員。因此遺傳算法只是在滿足問題的可行解空間內進行搜索，這樣既提高了搜索效率，又滿足了個體均勻覆蓋整個解空間的要求。

(2)適應度函數

工期和成本均是費用性指標，其指標值越小表示解越好，但適應度函數應該是適應值越大表示個體越優。又考慮到工期和成本的單位不統一，應該進行無量綱化處理，使得無量綱化后的指標值均在0～1范圍內。因此設計的適應度函數為:

CI=ω×TS+(1-ω)×CS

(14)

式中ω為工期的權重系數。TS、CS分別為個體的項目總工期、總成本無量綱化后指標值，無量綱化處理詳見公式(11)、公式(12)。

2.2.4 選擇操作

選擇操作是在對個體的適應度進行評價的基礎之上，通過科學合理的算法選取父代群體中的部分個體轉移至下一代群體內。在綜合考慮各方面因素之后，本文最終選取了當前應用比較廣泛且備受業內人士青睞的輪盤賭方法，其作用機制是各個體被選取的可能性和其適應度之間成顯著正相關關系。如果群體規模用n表示，個體i的適應度是Fi，那么i被成功選取的可能性可通過下式進行計算:

(15)

2.2.5 交叉操作

交叉算子擬通過文獻[29～31]中介紹的單點交叉算子完成對染色體任務基因的交叉操作，其中，模式基因發生交叉變動，其可能性用Pc進行表示。假設父體和母體在進行一系列交叉運算之后形成兩個子代是兒子、女兒。在1～N之間任意形成一個整數n，兒子前n個位置的任務基因繼承父體，但是n+1～N的后N-n個位置的任務基因繼承母體，對于其中的已有任務，本文不再對其進行分析，同時確保各任務的分布與母體中對應一致。同理可確定女兒基因。文獻[30]表示，基于交叉算子獲得的子代個體中各工作的排列順序依舊符合緊前緊后關系。交叉過程如圖4所示。

圖4 一點交叉

2.2.6 變異操作

變異算子將通過科學合理的方法對染色體的模式基因展開一系列規范合理地變異操作，在此過程中，任務基因不會發生任何變化。本文通過均勻變異算子明確變異點處等位變異基因值，即每個個體編碼串中模式基因座為可能變異點，先以變異概率Pm選出進行變異操作的基因座，再對每個變異基因座，從與該基因座對應的可行模式集合內隨機選取一個符合均勻概率分布的可行模式來替代原可行模式。變異過程如圖5所示。

圖5 變異過程

2.2.7 算法流程

基于前文介紹能夠梳理出遺傳算法解決本文問題的主要流程：

第1步初始化算法參數，比如變異概率Pm、種群規模Popsize等。

第2步選取雙鏈表結構的編碼方式。任務鏈表符合時序優先關系，模式鏈表是任務鏈表中各任務對應的可行人員組合模式集合。

第3步采用串行調度生成機制進行解碼，得到滿足時序約束和資源約束的可行解。

第4步將任意生成的Popsize個染色體定義為初始染色體群體；

迭代次數Gen=1；

While(Gen

第5步基于多目標加權求和的適應度函數，計算種群中個體適應度值。

第6步遺傳操作。

(1)通過當前應用比較普遍的輪盤賭方法完成選擇操作；

(2)以Pc概率為準，通過單點交叉算子進行交叉操作；

(3)按Pm概率采用均勻變異算子進行變異操作。

第7步若Gen≥Genmax，則結束程序；否則，Gen=Gen+1；

End While：輸出種群中最優的染色體作為問題的全局滿意解。

3 算例研究

3.1 實例分析

某多晶硅光伏產品生產公司，為順利完成訂單任務，需要同時啟動兩個技術改造項目，以期借助改善、優化工藝的方式促進產能進一步提升。本文擬通過此實例全面深入地檢驗本文提出的算法。關于項目A、B的主要參數可參考表4，關于內部員工的物料消耗率情況可參考表5，多晶硅料片(物料1)、金剛線(物料2)的單價分別是3元/片、5元/米。企業明確了負責各項工作的人員數量。公司內部當前可供調遣的員工總數為12人，鑒于項目在開展過程中難免受到各種因素的干擾和影響，所以，明確要求各時段的員工總數應控制在7名以內。

測試算例采用的硬件平臺為Windows 7操作系統，Intel(R)Core i7處理器，3.6GHz主頻，4G內存，MATLAB 7.0仿真軟件。本文算法的各項參數設置如下：種群規模Popsize=200，Pc=0.8，Pm=0.05，最大進化代數Genmax=400。

表4 項目A、B的相關參數

表5 各人員物料消耗率表

在不同權重下的綜合指標滿意解如表6所示，可以看出隨著工期權重的增大，項目工期越來越短，項目成本越來越高。多次用遺傳算法迭代求解，項目總工期最小值41天在ω=0.8時取得。因此，本文綜合指標模型中工期權重取值為0.8，成本權重取值為0.2。

表6 不同權重下的綜合指標滿意解

將傳統MRCPSP和本文研究的最優調度計劃展開全面深入地比較分析。表7表示在忽略員工勝任力水平差異這一因素的前提下制定的最優調度計劃(對應傳統MRCPSP)，其對應的結果是多項目總工期是46，總成本是19360。表8則表示在分析員工勝任力水平差異的基礎上而制定的最優調度計劃，即本文運用遺傳算法求解的S-MRCPSP，多項目總工期縮短至41，總成本降至17284。通過對比，本文研究的S-MRCPSP將總工期縮短約11%；總成本節省約11%。數據結果表明：相較于傳統的MRCPSP來講，S-MRCPSP能夠進一步縮短項目總工期、總成本，更合理地配置人力資源。

表7 傳統MRCPSP最優調度計劃

表8 S-MRCPSP最優調度計劃

3.2 實例算法對比

原模型與綜合指標模型都屬于S-MRCPSP。文獻[32]中將最短工期作為模型約束條件來求解最低成本，基于動態規劃的精確算法求得本文實例的精確解為項目總工期40天、總成本16335元。表9中基于遺傳算法求解原模型時，也是將最短工期作為模型約束條件來求解最低成本。從表9可看出，基于遺傳算法求解原模型與求解綜合指標模型得到的恰好是同一個滿意解，即項目總工期41天(與精確解工期的偏差約2.5%)、總成本17284元(與精確解成本的偏差約5.8%)。由此可見，當工期賦權為0.8、成本賦權為0.2時，原問題模型采用線性加權評價函數法的優化結果等同于采用分層序列法，求得滿意解的誤差可以接受。此外，本實例中人員組合可行解數量已達到百億數量級，使用商業優化軟件CPLEX內存溢出無法求解，文獻[32]的精確算法求解耗時需1830秒，本文的遺傳算法求解僅耗時113秒，表明遺傳算法求解S-MRCPSP效率較高。

表9 求解S-MRCPSP算法對比

4 結論

最新研究表明，員工勝任力水平的高低會對工作績效產生較為深刻的影響。本文以MRCPSP為基礎，對特殊“多模式”項目人力資源調度問題展開了全面深入地探討和分析。為客觀準確地評估員工勝任力水平，本文選取了員工工時系數這一指標，項目總成本只強調研發工作開展過程中產生的物料消耗，以總工期和總成本加權求和后的綜合指標值最大為優化目標。由于原來的方法不完善、不嚴謹，所以，本文決定通過遺傳算法對綜合指標進行單目標優化。通過一個項目實例，將S-MRCPSP模型與MRCPSP模型進行全面細致地比較分析后發現，前者不僅總工期明顯縮短，并且總成本大幅減少。它在研發項目群管理方面表現出良好的適用性和實用性。同時，數據結果表明，遺傳算法對求解中小規模的S-MRCPSP問題具有良好性能。不過，在采用該模式時，工作組合模式數量明顯增多，既增加了分析難度，也容易出現NP-hard現象，所以，遺傳算法用于分析和處理本文問題時依舊有其自身不完善之處，后期應加大研究力度，不斷優化算法，或者探尋出更合理、更嚴謹、更有效的算法。