考慮輸入飽和的車輛隊列協同巡航控制算法

何友國，田肖肖，袁朝春

（江蘇大學 a.汽車與交通工程學院；b.汽車工程研究院，江蘇 鎮江 212013）

隨著社會經濟的高速發展，機動車輛保有量日益增加，城市機動化程度越來越高，各市區間聯合發展越來越密切，交通安全、交通擁堵、環境污染等問題也隨之日益突出。而智能交通系統（intelligent transporation system，ITS）能更為經濟、有效地應對上述問題。作為智能交通系統的典型技術之一，協同式自適應巡航控制（cooperative adaptive cruise control，CACC）與傳統的自適應巡航控制（adaptive cruise control，ACC）系統相比，不僅借助于車間信息交互技術把同一車道內跟隨車輛連接成一維隊列，直接獲取前方車輛的運動狀態，如位置坐標、航向、速度和加速度等；而且還可以通過車車協同控制策略，在保證跟車安全性的基礎上，實現CACC系統更快的控制響應和更短的跟車間距，同時抑制跟隨車輛的速度波動沿隊列的傳播放大，對提高交通安全性、減少交通能耗、提高交通通行效率發揮了重要作用。

CACC作為ACC系統的功能擴展，其相比于ACC的功能優勢是增強了車輛跟車的安全性和穩定性。隊列穩定性（string stability）：一維車輛隊列是隊列穩定的，當且僅當隊列中的擾動沿隊列傳播過程中不被放大［8］。如果不滿足隊列穩定性，那么后車CACC系統的控制強度會逐車遞增，從而降低駕乘人員的舒適性，嚴重時隊列會失去安全性，從而發生追尾碰撞事故。文獻［2-3］指出車輛隊列異質性存在的因素，如通信拓撲結構、隊列幾何構型，建模不確定性和參數不確定性以及通信延遲等；然后分別對參數不確性和通信延遲下的異質車輛隊列進行控制器的設計，而文獻［2］只研究異質線性隊列系統魯棒穩定性的控制器求解方法，忽略了隊列穩定性，同時仿真表明增大控制器增益雖能減少收斂時間，卻易導致加速度的飽和；而文獻［3］僅僅用相鄰兩車加速度的拉普拉斯變換評價隊列穩定性，而忽略了跟車誤差和相對速度的評價指標。文獻［4-5］基于頻域模型，分別提出隊列穩定性的不同定義，進行仿真和試驗驗證；文獻［4］建立線性勻質隊列模型，在輸入輸出拉普拉斯變化的基礎上提出線性級聯系統LP隊列穩定性的條件；文獻［5］采用跟車距離定義隊列穩定性傳遞函數，同時為了避免加速度過大影響乘坐舒適性，簡單對加速度進行限制處理而忽略了系統的穩定性。文獻［6］表明當隊列幾何構型采用恒定時距型時，異質車輛隊列在前車跟隨式結構下同樣可以保證隊列穩定性，但隨著隊列規模的增加，控制器的增益也會隨之增加，從而容易導致執行器的飽和。文獻［7-9］研究基于頻域模型的勻質和異質隊列穩定性。然而，由于約束的存在，上述文獻并沒有同時兼顧CACC系統的閉環穩定性和隊列穩定性；現有的文獻多是在頻域中研究隊列穩定性，但是時域中的研究依然很重要。

因此，本文將隊列穩定性和執行器飽和作為飽和約束條件，建立單一車輛節點縱向動力學模型，基于最優控制和Riccati方程構造低增益狀態反饋控制律，設計CACC系統控制器，在保證系統閉環穩定性的同時保證了隊列穩定性；最后通過Matlab／Simulink進行仿真，驗證隊列協同巡航控制算法的有效性。

1 車輛隊列節點運動學模型

1.1 車輛節點的縱向運動學

從控制角度，隊列可視為由多個單一車輛節點，通過節點間的信息交互對車輛個體進行控制，進而相互耦合組成的一種動態系統［8］。因此本文將隊列分解為多個子系統，即單一車輛節點，針對車輛節點設計分布式控制器以實現整體性能要求。

如圖1所示，隊列中有m輛車，di是車輛i保險杠與其前方車輛i-1后保險杠的距離，vi車輛i的速度。隊列幾何構型能夠改善隊列穩定性和安全性［9］。本文選取恒定時距型的隊列幾何構型。隊列中每輛車的控制目的之一是以期望的車間距de，i跟隨前車：

其中：τh，i是車間時距；d0是車輛i停止后與前方車輛i-1的最小安全距離。

車輛隊列中前后兩車之間的縱向運動學關系如下：

式中：Δdi為車間距誤差；Δvi為相對速度；di、de，i分別是實際車間距和期望車間距。

車輛i的實際加速度ai和期望加速度ai，e的關系如下：

式中τi為時間常數。

聯合式（1）～（3）得到車輛隊列節點縱向動力學三階狀態空間模型：

式中：

將Δi＝ai-1看作系統擾動。其中KL，i為系統增益，控制輸入ui（t）＝ai，e。

對式（4）進行離散化，得到離散線性時不變系統：

式中：

其中Ts為采樣周期。

1.2 隊列系統中飽和約束

大量研究表明，隊列穩定性與減少隊列跟車間距和提高交通安全密切相關。近年來，已有大量文獻提出各種隊列穩定性的定義，設計多種類型的控制器從而保證隊列穩定性，如滑模控制器、自適應控制器、H∞控制器等。然而現有的文獻對隊列穩定性大多是分類研究，如針對勻質隊列和異質隊列提出了不同隊列穩定性的定義，此外少有文獻將車輛隊列系統的閉環穩定性與隊列穩定性結合分析，而更多的是關注頻域模型的隊列穩定性。相比于傳統的動態系統穩定性概念，隊列穩定性與系統狀態變量和時間密切相關。隊列穩定性重點關注的是系統的響應沿車輛隊列的傳播，例如當車輛隊列是不穩定的，系統跟車誤差與干擾將沿隊列傳播放大。

隊列穩定性：隊列穩定性的要求如下式所述：

其中：ei是兩相鄰車輛跟車誤差；是跟車誤差傳遞函數。上式表明，一維車輛隊列的隊列穩定性是削弱跟車誤差沿隊列縱向傳播的能力，即跟車誤差沿隊列不被放大，而上述隊列穩定性的定義被許多文獻采用。

實際的高速公路上，當同一車道內前方領航車輛出現緊急減速時，后方車輛的減速度將沿隊列向后逐車放大，直到后方車輛停車，出現交通擁堵，即此時制動減速度出現了放大的現象，隊列失去穩定性造成交通堵塞，甚至發生追尾碰撞事故，因此本文使用以下定義抑制加速度沿隊列的波動。

定義1（隊列穩定性）：?αi∈（0，1］，當領航車輛的加速度發生階躍變化后，①隊列中所有跟車誤差漸進地收斂到零點；②一維車輛隊列是隊列穩定的，當且僅當期望加速度滿足如下條件：

約束條件（7）表明：在領航車輛變速運行中，穩定的隊列中每輛車的加速度響應不應超過前車的加速度。設計控制器時應包含約束條件（7）。

執行器飽和：任何實際物理執行器件由于其結構空間和運行穩定性的限制都不可能工作在任意的狀態，即受到飽和非線性的約束。例如，電機的轉速不能超出一定范圍，控制電機的電壓和電流不能任意大，否則燒毀系統。由于約束的存在，控制系統在本質上是非線性的。如果系統在運行過程中違背了約束條件，將無法滿足系統性能要求，甚至導致閉環系統的不穩定，嚴重情況下還會破壞系統設備，造成不必要的損失［10］。因此為了保證執行器（節氣門和制動器）在允許的工作范圍內穩定運行，控制輸入ui（t）滿足以下約束條件：

隊列穩定性沒有統一的定義，它是車輛隊列特定的屬性，不僅可以使用跟車誤差評估隊列穩定性，還可以利用速度和加速度沿隊列的波動評估隊列穩定性。本文采用期望加速度定義隊列穩定性，將隊列穩定性視為車輛隊列的飽和約束條件。綜上所述兩個約束條件，可知系統（5）存在輸入飽和現象，即輸入飽和函數sat（ui）表示為

因此系統（5）演化為具有飽和非線性的離散線性系統

接下來在飽和約束情況下，設計CACC系統控制器，來保證行駛隊列的穩定性。

2 控制器設計

上一節構建具有飽和非線性的車輛隊列節點運動學模型，本節將車輛隊列視為動態級聯系統，利用飽和非線性控制原理，在考慮輸入飽和的情況下，針對多個單一車輛節點設計控制器，滿足隊列性能的要求。文獻［5］為了避免期望加速度過大，簡單地將期望加速度限制在一定范圍內，而本文通過求解參量Riccati方程的解，由該解構造低增益狀態反饋控制律，從而避免控制器發生飽和而保證其穩定性。

2.1 飽和非線性系統鎮定

考慮如下具有輸入飽和非線性的離散線性系統

眾所周知，非線性系統可實現局部鎮定當且僅當矩陣對（A，B）可穩、（A，C）可檢測以及矩陣A的所有極點位于閉的單位圓之內［11］。根據狀態反饋控制原理，設計合適的狀態反饋控制律，使車間距誤差Δdi和相對速度Δvi同時減小，以及保證后車在盡可能小的加速度波動情形下跟蹤前車行駛，這是一個最優跟蹤控制問題。所謂最優跟蹤控制問題是使如下線性二次優化性能指標函數極小化。

其中對于任意γ＞0，P＞0是離散參量Riccati方程的唯一對稱正定解：

此最優控制問題的解為u（k）。接下來介紹定理1，求解最優控制問題和構造狀態反饋控制律u（k）鎮定系統（11）。介紹定理1之前給出如下引理。

引理1［13］假設集合Ω∈Rn是任意大且有界的，存在γ′＞0使得系統（11）與反饋控制律u＝F（γ）x（k）所構建的閉環系統的吸引域包含集合Ω，其中γ∈（0，γ′］。

定理1 系統（11）是局部鎮定，當且僅當矩陣對（A，B）是可控性且矩陣A的所有極點都位于閉的單位圓之內，以及狀態反饋控制律如下：

其中P（γ）是離散參量Riccati方程的唯一對稱正定解。

證明：1）由引理1可知閉環系統演化為如下

令Lyapunov函數V（x（k））＝xT（k）P（γ）x（k）。設γ′∈（0，1）使得下式成立：

所以根據離散參量Riccati方程，Lyapunov函數V（x（k））沿著系統（17）在區域ε（P（γ），1）之內的軌跡的差分可以寫成：

所以，對于任意的γ∈（0，γ′］，上述閉環系統（11）漸進穩定，且吸引域包含Ω?ε（P（γ），1）。

2）根據離散線性二次最優控制理論，極小化線性二次性能指標函數（12）的最優控制解為：

其中Q是如下離散Riccati方程的唯一對稱正定解：

接下來只須證明Q＝P，設

于是，式（13）和（19）各自等價于

設ΔQ＝Q-P，反復利用上面2個等式可得

因為矩陣Aa（Q）是舒爾穩定的，所以上述Lyapunov方程有唯一對稱半正定解ΔQ＝Q-P≥0。同理可證P-Q≥0，因此P＝Q。證畢。

注解1 當且僅當下式成立

P（γ）＞0是離散參量Riccati方程的唯一對稱正定解。

本小節引入了具有輸入飽和非線性的離散系統，基于多目標的約束進行了控制器的設計，實現系統的漸進穩定性。接下來將隊列系統分為m個子系統來進行控制，最終達到隊列穩定性的要求。

2.2 CACC控制策略

本小節針對每個車輛節點設計控制器，提出隊列巡航控制算法。

從領航車輛節點開始，領航車輛模型如下：

矩陣對（A1，B1）具有可穩可控性且矩陣A1的所有極點都位于閉的單位圓之內。于是由定理1可知，對于任意γ1＞0，P1＞0是離散參量Riccati方程的唯一對稱正定解：

且由P1構成的狀態反饋控制律如下：

使得具有輸入飽和非線性閉環系統（20）漸進穩定。

其中

使得具有輸入飽和非線性閉環系統（22）漸進穩定。P2（γ2）是如下離散參量Riccati方程的唯一對稱正定解：

其中γ2＞0。

隊列中其他車輛節點控制器設計同樣如此。比如，當車輛節點i＝3，4，…，m，令車輛節點的縱向運動學模型：

其中

鎮定系統（23）。

綜上所述，給出如下算法：

算法1 隊列中所有車輛的控制器

2）（解參量Riccati方程）設φ（Ai）＜γi＜1，令Pi（γi）是參量Riccati方程的解，則

3）（更新矩陣）矩陣Ri更新為

4）如果i＝m，則算法終止。否則令i＝i+1，并轉到第2步。

3 仿真分析

為了驗證所提算法的有效性和穩定性，在Matlab／Simulink環境下搭建由4輛車組成的CACC系統隊列縱向運動學模型和隊列協同巡航控制算法進行系統時域仿真，并結合文獻［14］中未考慮飽和的線性控制律做對比研究。同時開展兩例仿真實驗，在輸入飽和的情況下，分別驗證勻質和異質隊列的穩定性。

3.1 勻質隊列初始擾動仿真

勻質車輛隊列是隊列中所有的節點具有相同的動力學特性，以及通信拓撲結構、隊列幾何構型和車輛時滯相同［2］。為了驗證所提出的控制器衰減跟隨車輛的跟車誤差和加速度信號波動放大的能力，仿真采用初始擾動工況。工況如下，領航車輛勻速行駛，速度為v0＝20 m／s，由于外界干擾和通信時滯的原因，隊列中跟車誤差和相對速度沿隊列存在一定程度的放大，則4輛車初始狀態分別設置為［-2.5；-1；0］，［-2.7；-1.8；0］，［-2.9；-1.2；0］和［-3.4；-1.5；0］。仿真結果如圖2所示。

由圖2可以看出：在平穩巡航跟車的情形下，因外界干擾初始速度和跟車誤差沿隊列逐車放大，當控制器介入后，各車輛的跟車誤差和加速度都比較快速且平滑的變化，20 s之后跟車誤差趨于零，隊列實現漸近穩定性。因受到初始擾動的影響，大約5 s前跟車誤差少有放大，但后車迅速響應領航車輛的狀態，跟車誤差和加速度隨之平滑減小，在有效避免了車輛碰撞的同時也滿足了乘客乘坐舒適性。對于線性控制律，后車雖然也可以因受到初始擾動而恢復平穩行駛，但加速度的跳變比較大，加速度峰值達到-0.82 m／s2，降低乘客乘坐舒適性。

3.2 異質隊列循環工況仿真

實際車輛隊列中由于車輛的類型和參數不一致（如，車輛質量和傳動制動系統時滯不同）而組成了異質車輛隊列系統。接下來的仿真設置隊列中各車動力學特性不一致。仿真的初始條件為：整個隊列勻速行駛，無初始車間距誤差和初始速度差。在Matlab／Simulink仿真過程中，領航車輛運動軌跡是先加速再勻速，后減速到勻速行駛狀態，仿真結果如圖3所示。控制器參數見表1。

表1 控制器參數

由圖3中（a）和（b）可以看出：在10 s時，領航車輛加速度突然增加后，所有后車幾乎在11 s時發生變化，即后車車速和加速度相比于領航車輛開始變化的時間延遲了1 s，而在速度和加速度的跟蹤誤差上分別小于0.4 m／s和0.05 m／s2。通過以上的數據分析可知：后車的車速和加速度與領航車輛保持同步；勻速行駛時，后車的速度和加速度與領航車輛也變化一致；在接下來減速和勻速過程中同樣如此，因此實現了后車的車速和加速度能良好地跟蹤領航車輛行駛，即車速和加速度的變化時刻和數值保持一致。

對于線性控制律，在10 s時，領航車輛加速度突然增加后，第4輛車在14 s時發生變化，即第4輛車速度和加速度相比于領航車輛開始變化的時間延遲了4 s，并且在速度和加速度跟蹤誤差峰值上分別大于2 m／s和0.2 m／s2。通過以上的數據分析可知：雖然后車的車速能夠達到目標車速，但是在變化時刻上卻不能與領航車輛保持同步，并且變化時刻沿車隊向后推遲；在30 s時，領航車輛恢復到加速度為零后，第4輛車卻在45 s時恢復到勻速行駛，后車加速度的跟蹤嚴重滯后于領航車輛的加速度變化。

4 結論

1）將隊列穩定性和執行器飽和看作系統輸入飽和，建立了具有飽和非線性的車輛節點縱向運動學模型，能準確反映車輛隊列的縱向運動學行為，為下一步隊列穩定性分析奠定了良好基礎。

2）基于線性二次最優控制和飽和控制構建隊列巡航控制算法，該算法不僅綜合考慮跟車誤差、相對速度和加速度得到期望加速度的最優解，而且在系統存在輸入飽和下實現隊列穩定性和系統的局部鎮定，更符合隊列實際加速度的需求。

3）仿真結果表明：系統狀態發生變化后（如突然加速或緊急剎車），隊列協同巡航控制算法能夠快速有效地減少跟車誤差和相對速度的波動，在保證良好的跟蹤性和安全性下，也平滑了車輛速度和加速度變化，實現加速度的良好跟蹤；系統恢復平穩行駛后，飽和控制使得控制系統有效抵抗外部干擾實現較小的靜態誤差。從仿真結果也可以看出：較大的跟車誤差均發生在加速度變化率的正負交替時刻，因此今后將開展對狀態量約束控制的研究。