動態(tài)與靜態(tài)投資收益率之關系研究

摘要：動態(tài)投資收益率與靜態(tài)投資收益率是投資分析中重要的評價指標，對二者關系論述較少。分析發(fā)現(xiàn)，若項目年凈收益相等，動態(tài)投資收益率一定時，靜態(tài)投資收益率與投資大小無關，且與動態(tài)投資收益率關系是隨項目壽命變化出現(xiàn)相等-最小-相等的關系，在坐標上顯示為不對稱的U形曲線;隨動態(tài)投資收益率變動，靜態(tài)投資收益率形成一系列U形曲線，U形曲線最低點連線對應投資壽命和最小靜態(tài)投資收益率，貸款和投資項目年限設定不應選在此連線上。

Abstract： The dynamic return on investment and the static return on investment （ROI） are important evaluation indexes in investment analysis， but the relationship between them is seldom discussed. In this study， it is found that if the annual net return of a project is equal and the dynamic ROI is fixed， the static ROI has nothing to do with the size of the investment， and there is an equal-minimum-equal relationship between the static and the dynamic ROI with the change of the project life， which is shown as an asymmetric U-shaped curve on the coordinate. With the change of the dynamic ROI， the static ROI forms a series of U-shaped curves， and the line linking the lowest points of the curves corresponds to the investment life and the minimum static ROI， note that loan and investment project life should not be selected on this line.

關鍵詞：靜態(tài)投資收益率;內(nèi)部收益率;項目評估

Key words： static return on investment;internal rate of return;project evaluation

中圖分類號：F062.4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1006-4311（2020）29-0051-04

1? 問題提出

在項目投資分析評價領域，學術界研究比較多的是動態(tài)投資收益率，也即內(nèi)部收益率（IRR）指標的含義、計算、評價標準等[1]，在對初始投資的收益率如何反映的研究中，認為無論是IRR，還是NAVR（凈年值率），甚至ERR（外部收益率），都是從某個角度測度投資項目的項目收獲率的[2]。有研究認為“修正內(nèi)部收益率”應該成為最具價值的投資收益率[3]。還有研究發(fā)現(xiàn)內(nèi)部收益率和各種修正內(nèi)部收益率在評價單個項目時具有一致性[4]。對混合投資項目利用IRR評價，提出混合投資項目IRR高于外部收益率則項目通過[5]。

對動態(tài)投資收益率和靜態(tài)投資收益率兩者關系的討論，是將投資分析中的等額年金（A）和初始投資（P）相除，即A/P看作投資收益率，認為當項目壽命期（n）確定時，IRR與A/P存在一個直線（IRR=k·A/P-b）線性關系[6]。那么n、IRR和A/P三者之間，IRR確定后，靜態(tài)投資收益率的大小，以及與壽命n之間有什么樣的關系，沒有搜到研究論文。其實，它們之間存在一個很有意義的相對變化關系。

需要補充說明的是，王沂平文中定義的靜態(tài)投資收益率（A/P）與后來出版的《建設投資項目經(jīng)濟評價的方法與參數(shù)》第三版中所講的總投資收益率是不同的。該書中是指項目達到投產(chǎn)能力后正常年份的年息稅前利潤（EBIT）或運營期內(nèi)年平均息稅前利潤與項目總投資（TI）的比率[7]，即總投資收益率（ROI），表示總投資的盈利水平，是融資后指標。如果在不融資，總投資中不含建設期利息，與凈投資（P）相同，不影響下面的計算分析。

動態(tài)投資收益率（IRR）是投資項目凈現(xiàn)值等于零時的折現(xiàn)率，也是項目允許的最大折現(xiàn)率。由于，每年凈收益折現(xiàn)后的現(xiàn)值累計等于投資（P）的現(xiàn)值，可視同去除利潤后剩下的折舊和攤銷部分，這與投資項目等額年金（A）的構成（本金+利息）含義是一致的。理論界比較一致的看法是動態(tài)投資收益率就是的投資利潤率，也有解釋為項目在其壽命期內(nèi)未回收資金的預計收益率[8]，由于不論何種解釋不影響下面的分析，故不加嚴格的區(qū)分和界定。

2? 動態(tài)投資收益率一定時靜態(tài)投資收益率的變化分析

2.1 假設條件

為了分析方便，假定一次性投資（P），每年取得等額年金（A），項目壽命期為n，不考慮每年年金不同的情況，投資項目的凈現(xiàn)金流量圖如圖1。

則根據(jù)年金現(xiàn)值公式[9]，在折現(xiàn)率i，投資年限n已知時，P和A之間的關系為：

2.2 靜態(tài)投資收益率的變化分析

2.2.1 IRR一定時靜態(tài)投資收益率計算方法

動態(tài)投資收益率（IRR）不變的條件下，以IRR為折現(xiàn)率，則年金A依據(jù)公式（2）很容易求得，將A代入靜態(tài)投資收益率的計算方式，則有：

靜態(tài)投資收益率（ROI）=

從公式（4）中可以看出，在動態(tài)投資收益率一定的前提下，靜態(tài)投資收益率與投資額沒有關系，僅與項目的壽命n和動態(tài)投資收益率IRR有關系。式（3）中減去的P/n，相當于扣除的年均折舊或本金。

2.2.2 IRR一定時靜態(tài)投資收益率的變化討論

從上面的推導公式中可以看到，IRR計算出來后就確定了，但是投資項目的壽命期是根據(jù)項目的特點選定的。由于壽命不同，每年投資形成的資產(chǎn)在每年的折舊是不同的，因此，靜態(tài)投資收益率存在多種變化，情形如下：

①當n=0時，靜態(tài)投資收益率不存在，投資后沒有任何運營時間，所以，不可能有投資收益率，是符合實際的。

②當n=1時，則有靜態(tài)投資收益率等于IRR，如下式：

③當n→∞時，靜態(tài)投資收益率等于IRR，如下式：

（6）

④當1

因此，可以得出結論，當投資項目的年凈收益相等時，靜態(tài)投資收益率在項目壽命期是1和∞時，與動態(tài)投資收益率是相等的。其他壽命年限，靜態(tài)投資收益率總是小于項目的內(nèi)部收益率，而且不論投資額的大小，只要壽命相同，靜態(tài)投資收益率即相同;壽命期變化，則靜態(tài)收益率隨之發(fā)生變化。且存在一個靜態(tài)收益率最低的壽命，具體的分析在下面詳述。

在實際數(shù)據(jù)測算，當IRR設定為10%不變時，年限取100年，靜態(tài)投資收益率僅為9%，200年時為9.5%。由于超過20年，之后的每年的現(xiàn)金流量，折現(xiàn)到基準年已經(jīng)很小了，所以，項目的分析年限選擇一般不超過20年。在這一年限內(nèi)，靜態(tài)投資收益率（總投資收益率）小于等于內(nèi)部收益率。這也符合動態(tài)投資收益率是在利生利的資金運動規(guī)律上的。因此，動態(tài)投資收益率高于靜態(tài)投資收益率。

2.2.3 實例驗證與對勾曲線

根據(jù)以上結論，假設一個投資項目，年初投資100萬元，為期1年，年末可回收額為110萬元，在不考慮稅收等情況下，投資項目的靜態(tài)投資收益率顯然是10%，動態(tài)投資收益率（IRR）是凈現(xiàn)值為零時的折現(xiàn)率，則有：

讓其等于0，解得IRR=10%，可以說動態(tài)投資收益率即10%，與靜態(tài)投資收益率10%[（110-100）/100]是相同的。

如果投資是100萬元，假設動態(tài)投資收益率IRR為10%，投資壽命期限為n（1，2，3，…，n），可看作是不同的投資項目，根據(jù)式（2）和式（4）計算年金和靜態(tài)投資收益率，壽命年限分別是1、2、3年簡單計算如表1。

從表1中看，動態(tài)投資收益率IRR為10%保持不變，壽命為2年時計算出的年金A為57.621，壽命為3年時的年金A為40.21，靜態(tài)投資收益率是隨著項目壽命的延長，逐年下降，由10%，7.62%，降到6.88%。

如果投資項目壽命分別取1、2、…、20年，一次性投資分別為B項目100萬元，C項目9500萬元，D項目10000萬元，根據(jù)設定的IRR為10%，由年金公式（2）和公式（4）計算確定每年的年金和靜態(tài)投資收益率，如表2。

從表2中可以看出，一次性投資多年收益，隨著壽命年限的改變，對于不同的投資額，靜態(tài)投資收益率在相同壽命時都是相同的，如第8年時，均為6.24%，與投資額大小無關。靜態(tài)投資收益率是先是下降，然后上升，但低于內(nèi)部收益率IRR，呈現(xiàn)出一個不對稱的U形曲線，壽命為8年時靜態(tài)投資收益率最小，將此壽命稱為U底壽命。分析期選擇20年內(nèi)，那項目不同壽命期的靜態(tài)投資收益率連線，在坐標圖上更象是平放的對勾，可稱之為對勾曲線，如圖2。

那么，在U底壽命時，靜態(tài)投資收益是不是最小呢？不同壽命的方案進行比較的原則是壽命期要相同，利用最小公倍數(shù)法，每個方案要重復投資，經(jīng)過計算驗證，結論是正確的。如IRR為10%，壽命n選擇7、8、9三個年限，相當于有三個壽命不等的方案，比較其在相同的年份下總收益的大小，壽命為8年時，在整個公倍數(shù)壽命期內(nèi)收益最小。

3? 動態(tài)投資收益率變動時靜態(tài)投資收益率變化分析

3.1 靜態(tài)收益率隨著IRR的變化特性

假設項目投資的壽命年限n分別為取1、2…20年，內(nèi)部收益率IRR分別取3%、4%、5%、6%、7%、8%…16%變化后，其它假設條件不變，最小的靜態(tài)投資收益率以及U底壽命是什么情形？

將靜態(tài)投資收益率看作是壽命的函數(shù)，令靜態(tài)投資收益率為y，壽命n為x：

一階導數(shù)為0，推導結果還原為：

由于是非線方程，可用牛頓迭代法求近似解，很難得到精確的代數(shù)解（n）。這就是前面沒有根據(jù)求導確定最小值的原因。故選用Excel表按靜態(tài)投資收益率公式計算，分析出最小值，得其近似解。計算靜態(tài)投資收益率如表3，第一行為IRR。

從計算出結果，靜態(tài)投資收益率隨IRR增大而變大，但不高于IRR，最小靜態(tài)收益率出現(xiàn)的壽命期越短。如圖3。

3.2 U底壽命曲線

根據(jù)表3計算結果，U底壽命與IRR的對應關系對應數(shù)據(jù)如表4中。

在坐標圖上，IRR越小，U底壽命越大，形成左上右下的曲線，在此將U底壽命的連線稱之為U底壽命曲線。使用指數(shù)函數(shù)進行回歸，IRR看作自變量x，U底壽命（n）看作為因變量（y），得到U底壽命函數(shù)：

還原后得到：

R2為0.98，擬合度較好，優(yōu)于直線方程回歸效果。進行驗證計算，IRR從3%到16%，數(shù)值取整后14個U底壽命值（n）完全符合。也可以進行適當?shù)耐馔婆袛唷．擨RR為20%時，U底壽命為6年，以判斷最小靜態(tài)投資收益率出現(xiàn)的年份。

4? U底壽命曲線的應用價值及建設期的影響

①U底壽命曲線的應用價值是在投資項目分析時，可以根據(jù)計算出的IRR結果，判定項目壽命期是不是在U底壽命曲線上，從而可以明確靜態(tài)投資收益率是不是處于最小狀態(tài)，以取得較大的盈利。尤其是銀行貸款，在等額償還的情況下，與上述分析的情況是相同的，可以更直觀判斷。

②根據(jù)U底壽命曲線，編制U底壽命表，可以很方便的查看項目壽命是不是合理。

③文內(nèi)討論是動態(tài)投資收益率（IRR）不變和IRR變動，每年凈現(xiàn)金流量相等時，靜態(tài)投資收益率變化的規(guī)律，由大到小，隨著壽命時間的延長，從相等開始，到無限年相等結束，且存在一個最小靜態(tài)收益率，對應一個U底壽命。如果IRR不同，U底壽命也不相同，U底壽命的連線形成U底壽命曲線，隨著IRR的增大而U底壽命變短，更有利于投資壽命期的選擇。

④實際工程中一般有建設期，U底壽命曲線仍然存在，并右移一個建設期的時間。按照文內(nèi)的假設，要把前期的投資按照IRR這一個利率，將每年的投資計算本利和，換算到建設完工的時間，看作一次性投資，而凈收益年限變成了項目整個壽命減去建設期，計算結果是U底壽命推遲了一個建設期，如IRR為10%，建設期3年，U底壽命由8年變?yōu)?1年。

注釋：

①證明：令IRR=i>0，，，，由于，∵n>0，∴分母成立，那么如果分子也成立，則可得證。分子整理得到，由二項式公式，明顯成立，故。故得證。

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