基于泊松分布的非局部均值圖像去噪方法

高曉玲

(寧夏大學 新華學院，寧夏 銀川 750021)

1 引 言

在圖像獲取與傳輸時，光照變化及傳感器本身的因素會使輸出的圖像受到噪聲的污染。在基于光子計數的成像系統中，如合成孔徑雷達成像、天文學成像及醫學成像等，獲取的圖像中均含有泊松噪聲[1]。泊松噪聲是一類乘性噪聲，在圖像灰度值越大的位置其噪聲能量也越大。圖像中的泊松噪聲不僅影響了圖像的視覺效果，同時給特征提取、分類等后續圖像處理操作帶來了較大的精度影響。因此，在圖像的預處理過程中亟需去除圖像中的泊松噪聲。

經典的圖像泊松去噪思想是將圖像中的泊松噪聲通過方差變換為高斯噪聲，然后利用雙邊濾波[2]、小波去噪[3]、非局部均值[4]等高斯去噪方法進行處理。當成像光子數較多時，經典的圖像泊松去噪方法能取得較好的去噪效果，然而，在天文學和醫學成像系統中，在成像時接受的光子數通常較少，使得輸出的圖像灰度較低，經典方法難以去除圖像中的泊松噪聲[5]。

當前，圖像的泊松去噪方法較多。文獻[6]提出了基于極大似然估計的泊松去噪方法，該方法能取得很好的去噪性能，但其計算復雜度較高。隨后，文獻[7]提出了一種基于Haar變換的快速圖像泊松去噪算法，并通過與軟閾值方法進行對比，驗證了該方法的有效性。Federica等人[8]將全變分函數正則化模型應用于圖像的泊松去噪，并根據實驗驗證了該方法在去噪的同時保持圖像細節信息的能力，但該方法去噪容易引起階梯效應。為此，文獻[9]結合對偶算法對全變分正則化進行了改進，增強了算法的去噪性能和邊緣細節保留的能力。Xu等人[10]針對正則化函數，結合函數的一階和二階導數，提出了能消除階梯效應的正則化泊松去噪方法。Marnissi等人[11]結合泊松分布的對數似然函數和正則化方法，提出了貝葉斯極大后驗泊松去噪方法，并通過求解偏微分方程來實現泊松去噪過程。Sun等人[12]在貝葉斯極大后驗框架下，建立了泊松噪聲的稀疏正則化模型，利用迭代的方法求解冗余字典的系數稀疏。

另一類應用廣泛的方法是對非局部均值方法的改進。Houdard等人[13]基于非局部均值的思想，并結合泊松分布的特性，得到了非局部均值泊松去噪方法，該方法能自適應迭代求解出最佳的去噪參數。文獻[14]針對光子數較少的條件下，提出了一種基于主成分分析的非局部均值泊松去噪方法，該方法結合字典學習和泊松分布的統計特性，利用Bregman距離求解字典的稀疏，實驗證明該方法在強泊松噪聲的條件下能很好地保留圖像的細節信息。文獻[15]提出了基于泊松分布的隨機距離去噪方法，采用像素間的隨機距離大小來衡量圖像中兩像素點間的相似性大小，該方法在不同光子數條件下驗證了其去噪的有效性。

基于圖像泊松分布的統計特性，本文提出一種基于泊松分布的非局部均值圖像去噪方法。該方法利用像素點的非局部區域內的像素信息并根據極大似然估計其泊松分布參數；根據兩泊松分布間的L2范數距離來表示兩像素點間的差異大小。采用兩像素點周圍鄰域內點對間的L2范數距離平方和來定義相似性權值的大小。依據非局部均值的思想對圖像進行泊松去噪，實驗證明，本文方法在不同光子數條件下均能取得較好的去噪性能，特別是在光子較少時，該方法能很好地保留圖像的細節信息，獲得較高的峰值信噪比(Peak Signal-to-Noise Rate, PSNR)[16]。

2 非局部均值算法原理

非局部均值算法是在圖像中尋找出與待濾波像素點相似的像素點，構成一個非局部區域，根據非局部區域內像素點進行加權平均濾波得到去噪后的像素值。對于圖像中的一像素點x，在其周圍鄰域Ω(x)內計算各像素點與x之間的相似性，以確定像素點x的非局部區域NL(x)。依據非局部區域NL(x)內各像素點的相似性權值進行加權平滑濾波。

在非局部均值濾波中，兩像素點之間的相似性權值是根據像素點周圍鄰域內點對之間的距離平方和來定義的。對于圖像中的像素點x與y，其間的相似性權值w(x,y)定義為[4]：

w(x,y)=e(-d2(x,y)/h2)

(1)

式中：h為濾波控制參數，d2(x,y)為像素點x與y鄰域之間的距離平方和，其定義為：

(2)

式中，η表示用來計算兩像素點之間相似性的窗口大小，I(x+t)表示像素點(x+t)處的像素點灰度值，Ga(t)表示方差為a的高斯核。

在計算了像素間的相似性權值之后，濾波后的像素值u(x)可由式(3)計算：

(3)

在加權平滑濾波過程中，窗口中心像素點處的相似性權值由于d(x,x)=0的影響使得x處的相似性權值最大，且遠大于其他像素點的相似性權值，這樣將導致去噪結果受自身像素點的影響較大，影響去噪性能。為此，在實際濾波過程中，窗口中心像素點的相似性權值取為濾波窗口Ω(x)中的最大相似性權值，即，

(4)

非局部均值濾波的性能受濾波控制參數h的影響較大，當h的取值較大時，濾波窗口內各像素點的相似性權值差別較小，濾波效果越接近均值濾波；當h的取值較小時，濾波窗口內各像素點的相似性權值差別較大，其去噪能力較弱；當h取值非常小時，濾波效果由少數幾個點來決定，去噪性能大大降低。因此，合理選擇h的參數對去噪性能至關重要。

3 基于L2范數的非局部均值泊松去噪

3.1 像素點泊松分布的參數估計

在天文學、合成孔徑雷達、醫學成像等系統中，傳感器在固定時間內接受一定數量的光子數而形成輸出圖像。圖像中含有大量的泊松噪聲，泊松噪聲具有一定的隨機性，依據泊松噪聲的統計特性，對圖像中的每一個像素點建立泊松分布模型，

(5)

式中，r表示傳感器接受的光子數，λ是真實光子率。文獻[17]表明，當光子率λ>20時，此泊松分布近似于高斯特性，可用高斯分布來建模。

式(5)中泊松分布的參數為真實光子率λ，在圖像中，取待濾波像素點x周圍最相似的k個點組成一個非局部區域NL(x)，依據極大似然準則估計參數λ。對于圖像中的兩像素點x與y，其間的相似性dxy由對應鄰域窗口η(x)與η(y)內的像素點灰度差的平方和來計算，即

(6)

(7)

對式(7)求導可得，

(8)

由式(8)可得參數λ的非局部極大似然估計，

(9)

3.2 像素點間的相似性權值求解

對圖像中的每個像素點x利用其非局部區域內的點估計出一個泊松分布p(r;λx)后，所有像素點的泊松分布組成一個待濾波圖像。在待濾波圖像中的兩點p(r;λx)與p(r;λy)，利用L2范數計算其間的相似性，

(10)

將式(5)代入式(10)可得，

(11)

化簡上式，

(12)

實驗中采用蒙特卡洛方法來計算其數值近似值。在進行非局部均值濾波過程中，取待濾波圖像中一點λx處的非局部區域NL(λx)中的k個數值點。對于待濾波圖像中的兩點λx與λy，其間的相似性權值可由式(13)計算給出，

(13)

式中，λx,l表示λx的非局部區域內的第l個點，ρ表示濾波控制參數，d(λx,l,λy,l)為兩點λx,l與λy,l之間的L2范數。

基于兩泊松分布間L2范數的計算和待濾波圖像中兩點間相似性權值的計算，對于一幅含泊松噪聲的圖像，其去噪算法的步驟為：

步驟1：對圖像中的每一個像素點根據式(6)選取最相似的k個點組成非局部區域NL(x)；

步驟2：根據圖像中每一個像素點的非局部區域NL(x)內的像素點，利用極大似然估計出泊松分布的參數λ；

步驟3：所有的泊松分布構成一個待濾波圖像，依據式(13)計算待濾波圖像中兩點間的相似性權值；

步驟4：利用非局部均值思想進行去噪。

根據上述基于L2范數的非局部均值圖像泊松去噪方法的思想，其去噪的基本流程如圖1所示。

圖1 本文圖像去噪方法的基本流程Fig.1 Basic procedure of the proposed image denoising method

4 實驗與分析

為了驗證本文算法的去噪性能，利用4幅圖像仿真加入泊松噪聲進行去噪實驗，本文算法(簡稱L2 NLM)的去噪性能與非局部均值算法(NLM)[4]、泊松非局部均值算法(Poisson NLM)[18]以及泊松主成分分析算法(Poisson PCA)[17]進行比較。在實驗中，每個像素的鄰域窗口取20×20，非局部區域由k=25個點組成，濾波窗口的大小取為7×7，NLM算法中的濾波控制參數h=0.7，Poisson NLM算法中的濾波控制參數h=1.5，本文算法的濾波控制參數h=1.1。

采用峰值信噪比來衡量去噪性能，在圖像“Barbara”和“Peppers”中分別加入PSNR為10 dB和20 dB的泊松噪聲，利用上述4種算法進行去噪，所得的結果如圖2～5所示。

從圖2～5的結果可以看出，NLM的去噪性能較差，圖像較模糊，Poisson NLM和Poisson PCA的去噪性能較好，細節保持能力較好。相比于L2 NLM，其他3種算法在去噪性能和邊緣細節信息保持方面均較差。從視覺效果上可以看出，L2 NLM去噪后的圖像更清晰，結構更明顯。

圖2 PSNR為10時，不同算法對“Barbara”的去噪結果。Fig.2 Illustration of “Barbara” denoising results of different algorithms when PSNR is 10 dB

圖3 PSNR為20時，不同算法對“Barbara”的去噪結果。Fig.3 Illustration of “Barbara” denoising results of different algorithms when PSNR is 20 dB

圖4 PSNR為10時，不同算法對“Peppers”的去噪結果。Fig.4 Illustration of “Peppers” denoising results of different algorithms when PSNR is 10 dB

圖5 PSNR為20時，不同算法對“Peppers”的去噪結果Fig.5 Illustration of “Peppers” denoising results of different algorithms when PSNR is 20 dB

為了定量比較本文算法的去噪性能，在4幅圖像中分別加入PSNR為1、5、10 dB的泊松噪聲，分別利用上述4種算法進行去噪，計算去噪后圖像的PSNR，對比結果如表1所示。從表1的結果可以看出，L2 NLM在4幅圖像中的去噪性能均好于NLM，且優于Poisson PCA和Poisson NLM的去噪性能。在PSNR取值較低時，L2 NLM的性能大幅優于其余算法的性能，而在PSNR取值為5 dB和10 dB時，L2 NLM的去噪性能同樣是最優。上述實驗結果充分驗證了本文算法的性能優勢。

5 結 論

本文提出一種基于泊松分布的非局部均值圖像去噪方法，采用像素點非局部區域內的信息估計出一個泊松分布，利用L2范數計算兩泊松分布間的距離，從而定義兩像素點的相似性大小，圖像中兩點之間的相似性權值大小由各自鄰域內點對間泊松分布的L2范數距離的平方和來定義。在不同峰值信噪比下進行去噪實驗，本文方法的去噪圖像峰值信噪比均優于22 dB。通過分析比較不同算法的去噪性能，驗證了本文去噪的性能優勢。