空心電抗器繞組磁場及電感數(shù)值分析

肖旭亮，朱曉東，劉志強(qiáng)，呂建國

（中國能源建設(shè)集團(tuán)山西省電力勘測設(shè)計院有限公司，太原 030001）

0 前言

空心電抗器作為電力系統(tǒng)基礎(chǔ)部件，廣泛應(yīng)用于電力系統(tǒng)輸配電。空心電抗器在使用過程中起穩(wěn)壓、限流和無功補(bǔ)償?shù)茸饔茫淙萘繌?到40 000 kvar，電壓等級范圍3到220 kV。并聯(lián)空心電抗器用于長距離輸電線路的容性無功補(bǔ)償，限制系統(tǒng)電壓升高或者操作過電壓，使系統(tǒng)電壓穩(wěn)定運(yùn)行，一般并聯(lián)連接在500 kV、200 kV或110 kV變電站低壓組側(cè)；串聯(lián)電抗器與高壓并聯(lián)電容器組相串聯(lián)，起到抑制電網(wǎng)電壓波形畸變，控制電容器的諧波分量以及限制電容器組合閘涌流。

電抗器運(yùn)行時周圍會產(chǎn)生一定的磁場，該磁場的分布會對周邊設(shè)備溫升及工作人員產(chǎn)生影響，文獻(xiàn)[1]導(dǎo)則中規(guī)定：存在工頻電磁場的設(shè)備周圍，要求工作人員巡視處電場強(qiáng)度小于10 kV/m，公眾暴露最小值5 kV/m；工作人員巡視路線磁感應(yīng)強(qiáng)度B小于500 μT，公眾暴露最小值限100 μT。因此準(zhǔn)確分析空心電抗器的漏磁場具有重要的工程意義。

電抗器的磁場分析有數(shù)學(xué)解析法及數(shù)值法[2-8]，有限元以及實(shí)驗測試[9]。空心電抗器因其自身的特點(diǎn)，不包含鐵心，磁場解析計算可以作為空心電抗器設(shè)計計算的基礎(chǔ)。有限元法速度快，建模簡單，但在開域問題中，要求把邊值為零的外界定在足夠遠(yuǎn)處，致使計算場域變大，對于電抗器三維仿真[10-12]，所需內(nèi)存很大，且邊界條件較難模擬實(shí)際邊界，三維有限元計算結(jié)果有一定的誤差。

因此為了工程使用方便，本文利用比奧薩伐定律推導(dǎo)載流線圓環(huán)的數(shù)學(xué)解析方程，用數(shù)值法計算了空心電抗器繞組內(nèi)外磁場的分布，以及繞組電感的數(shù)值分析；并采用二維柱坐標(biāo)有限元建立了空心電抗器模型，求解出了單相空心電抗器繞組的磁場及電感，兩種方法結(jié)果完全一致。

1 磁場數(shù)值分析計算

電抗器的主要部分是載流繞組，可以等效為多層線電流。載流線圓環(huán)在空間任意點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，可以根據(jù)物理學(xué)的比奧薩伐爾定律求得[2]。圖1所示為載流線圓環(huán)以及考慮長度和寬度的繞組電流在空間任意一點(diǎn)數(shù)值解析的結(jié)構(gòu)參數(shù)示意圖，圖中o點(diǎn)為xyz坐標(biāo)原點(diǎn)，載流線圓環(huán)位于xoy平面，Q點(diǎn)為空間任意點(diǎn)，Q‘點(diǎn)是Q點(diǎn)在xoy平面的投影，α+π/2是Q點(diǎn)投影向量與x軸的夾角，β為線微元與x軸的夾角。線微元ldl在空間Q點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度可以由比奧薩伐爾定律求出。

圖1 載流線環(huán)磁場分析示意圖

其中載流線微元在任意Q點(diǎn)產(chǎn)生的磁場：

B磁密，μ0空氣磁導(dǎo)率，I繞組電流，l線圈弧長，r為長度矢量，h線圈高度，d原點(diǎn)到投影點(diǎn)的距離。根據(jù)以上(1)，(2)，(3)式，文獻(xiàn)[2-4]推導(dǎo)了載流線圓環(huán)在xyz坐標(biāo)系任意點(diǎn)的磁場強(qiáng)度表達(dá)式。空心電抗器線圈由一定寬度和高度的多個線圈組成，由于空心電抗器不存在鐵芯，且緊密排列，可近似成多層電流布置；且其磁路為開域磁路，因此根據(jù)載流圓環(huán)的解析解，可以數(shù)值分析電抗器繞組的磁感應(yīng)強(qiáng)度公式。推導(dǎo)數(shù)值公式的具體參數(shù)如圖1所示，考慮繞組徑向?qū)挾葹椋≧2-R1），軸向高度為h的空心電抗器在空間任意一點(diǎn)Q產(chǎn)生的xyz方向磁通密度表達(dá)式分別如下：

在空間任意點(diǎn)的合成磁通密度為：

圖2 單相電抗器的外部磁密

以 軸 向 高 度2.47 m， 額 定 電 壓Un=36373.0 V，基波電流In=549.86 A實(shí)際空心電抗器為例，代入以上數(shù)值解法的公式，采用Matlab數(shù)學(xué)軟件實(shí)現(xiàn)，得出空心繞組外部和內(nèi)部磁密波形，如圖2和3所示。

圖2(a,b)所示為二維磁場電抗器繞組半徑從1.5 m變化到9 m時，不同軸向高度的外部磁場分布圖，在半徑為1.5米時，電抗器軸向中心位置處的磁密為17 uT，磁密最大值在繞組的上下邊界處，值為26 uT。

圖3 電抗器繞組內(nèi)部磁密分布

圖3所示為電抗器繞組內(nèi)部半徑為R=0，沿軸向方向的磁場強(qiáng)度分布圖。從圖中看出在繞組軸向中心的位置B最大，其值為115 uT。

2 電感數(shù)值計算分析

空心電抗器的電感值參數(shù)作為電抗器的基本參數(shù)，準(zhǔn)確計算非常必要。電感的物理定義為穿過繞組的磁鏈與對應(yīng)電流的比值。對于如圖4所示的繞組磁力線分布，求解磁鏈時只需要考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度的z軸分量Bz，Bx和By分量不需要考慮，圖中不同的曲線代表磁感應(yīng)強(qiáng)度的不同合成矢量方向。從圖4可以看出，由于每一層繞組所對應(yīng)的磁通密度Bz不同，繞組磁鏈不能簡單地按照均勻分布的磁場求解磁鏈（N*φ均勻磁場每層匝鏈的磁鏈）。

圖4 單相電抗器磁密分布

因此，根據(jù)繞組的實(shí)際匝數(shù)把模型分成N層，單獨(dú)求解每一層繞組的磁鏈。采用數(shù)值解法計算磁鏈時，每一匝繞組單位元扇形面積電流產(chǎn)生的磁鏈計算公式為：

其中dr，dθ分別為線圈半徑和圓周角的計算步長。一層繞組產(chǎn)生的磁鏈計算公式：

根據(jù)以上公式可以得到空心電抗器的電感：

以實(shí)際空心電抗器線圈為例，軸向高度2.47 m，繞組內(nèi)外半徑分別為1.103 m和1.113 m，匝數(shù)為466，并聯(lián)支路數(shù)4，計算電感的301.3 mH。

3 有限元分析

有限元法計算單相電抗器，由于三維仿真開域磁場和無窮大邊界問題，準(zhǔn)確計算三維有限元模型需要設(shè)置模型本身10倍左右以上求解域，使得計算量和內(nèi)存需求很大[3]，普通計算機(jī)沒辦法準(zhǔn)確計算三維電抗器繞組的電磁參數(shù)。采用二維柱坐標(biāo)仿真模型分析單相電抗器，可以把求解域設(shè)置到比較大，誤差在工程計算有效范圍內(nèi)。

利用有限元方法對空心電抗器進(jìn)行分析求解時，磁場分布如圖5所示，磁力線在有限區(qū)域內(nèi)閉合，少部分漏磁不能閉合。

圖5 電抗器繞組磁力線分布圖

圖6所示為有限元分磁通密度云圖，從圖中看出中心磁密最大，黃色區(qū)域，115 ～120 uT，其分布與數(shù)值計算結(jié)果吻合。

圖6 電抗器繞組磁密分布圖

圖7 電抗器繞組內(nèi)部和外部磁密曲線

4 結(jié)束語

針對空心電抗器三維有限元分析，需要建立比較大的求解域，導(dǎo)致計算機(jī)的計算量非常大，為簡便計算，采用數(shù)學(xué)數(shù)值分析方法計算了空心電抗器在空間任意點(diǎn)的磁通密度，根據(jù)電感的物理定義編寫了空心電抗器的電感計算程序，用實(shí)際算例計算了空心電抗器的磁場分布及電感值，并用有限元分析了空心電抗器的磁場和電感，兩者計算結(jié)果完全一致，對空心電抗器的三維場分析具有工程參考價值。