關于方程logax=ax解的個數的討論

鄧子峻

【摘要】本文討論了函數y=ax與其反函數y=logax的交點個數問題，即方程logax=ax的解的個數問題，針對滿足a>0且a≠1的實參數a進行分類討論，討論每一類方程logax=ax解的情形，從理論上給出了這個問題較系統完整的分析。

【關鍵詞】指數函數;對數函數;方程

【中圖分類號】G633.6【文獻標識碼】A【文獻標識碼】A

對于方程log_ax=a^x，由于函數y=log_ax與函數y=a^x互為反函數，它們的圖像關于直線y=x對稱，往往使人們容易根據直觀斷言，當a>1時，方程log_ax=a^x無解，當0ax=a^x只有一個解，但遺憾的是，直觀現象與本質并不相同，上述斷言的第一部分和第二部分都不準確。

對于指數函數與對數函數交點的個數問題，在中學數學教材上的觀點是：它們可能沒有交點，可能只有一個交點，可能有兩個交點，這從圖像上很容易驗證其正確性，但事實上，對于這個問題，有一個讓我們始料不及的結果：那就是當a屬于某一個范圍時，指數函數與對數函數有可能出現三個交點。而這在中學數學教材上完全沒有提及。對于這個問題，也有個外國學者做個一些討論，參考文獻給出了Waksman在1990年所作的結果：1：當0ax=a^x有三個解;2：當;ax=a^x有一個解;3：當a=e^-e，則曲線y=a^x與曲線y=log_ax僅有一個交點（e^-e，e^-e），并且也是兩曲線的公切點。

本文并不局限于討論a<1的情況，而是針對滿足a>0且a≠1的所有實參數a進行分類討論，討論每一類方程log_ax=a^x解的情形，并最終得出包含上述三個結論的更全面的五個結論。

考察下面兩個例子：

例1：當a= ?2 ?時，y=（ 2 ）^x與y=log_?2 x 有兩個交點（2，2），（4，4）

例2：當a= ?;時，y=（ ;）^x與y=log ?x 顯然有以下兩個交點p₁（;，;），p₂（;，;），而p₁、p₂均不在直線y=x上，所以我們可以斷定，當a= ?;時，y=（ ;）^x與y=log ?x有三個交點，而第三個交點必在直線y=x上。（見引理，本文第7頁）

使用幾何畫板，我們可以做出指數函數y=a^x與其反函數y=log_ax（a>0，a≠1）的圖像的交點情況，觀察圖像，我們會發現，隨著a值的變化，方程log_ax=a^x可能無解，可能僅有一解，也可能有兩解，甚至可能有三解！當然這僅僅是用作圖軟件作出的結果，并沒有嚴格的理論證明。

現在我們將問題一般化，對于滿足a>0且a≠1的實參數進行分類討論，討論每一類方程log_ax=a^x解的情形。

3.1 當a>1時，方程log_ax=a^x解的情形

由于函數y=log_ax與函數y=a^x互為反函數，故它們的圖像關于直線y=x對稱，所以在討論二者之間的交點時，我們可以先僅討論函數y=a^x與直線y=x的交點情況，并由此來判斷函數y=log_ax與函數y=a^x的交點情況。

在使用幾何畫板作圖時，根據圖象的動態啟發，我們不妨先處理臨界狀態，即先求出函數y=a^x與直線y=x相切時a的值。但曲線y=a^x與直線y=x相切的條件是：

;a^x=x???a=x

→???→ xlnx ?=1→lnx=1

（a^x）'=1??;a^xlna=1

解得x=e 得a=e??????（1）

現考慮f（x）=?a^x-x的最小值，由f'（x）=a^xlna-1知，當a^xlna-1=0時，得到f'（x）的唯一零點，

x₀=loga?=-log_alna?????（2）

使得f'（-log_alna）=0

當x <-log_alna時，由a>1時，指數函數的單調性，有a^xxlna-1<0 所以f（x）單調遞減。 （3） ?;

當x >-log_alna時，由a>1時，指數函數的單調性，有a^x>?，則f'（x）=a^xlna-1>0;所以單調遞增。?（4）

所以當x=-log_alna時，f（x）=a^x-x取得最小值，最小值為f（-log_alna）=?;，又因為lna>0，所以只需討論1+lnlna的正負，就可以判斷f（x）最小值的正負（此時f（x）的最小值為a的函數）

由（1）知，只需討論a與e;的關系。

①：當a>e;時，lna>lne ?=

→lnlna>ln;=-1→1+lnlna>0

→f（-log_alna）=??;>0

得a^x-x≥??>0，有a^x>x，即函數y=a^x的圖像始終在直線y=x的上方，故函數y=log_ax的圖像則始終在直線y=x的下方，所以方程log_ax=a^x無解。

②：當a=e;時，lna=lne ?=

→lnlna=ln;=-1→1+lnlna=0

→f（-log_alna）=??;=0

由（2）（3）（4）對函數f（x）=a^x-x單調性的討論可知：除x=-log_alna外，f（x）=a^x-x> 0，即當a=e 時，函數y=a^x的圖像在x=-log_alna處與直線y=x相切，與之相對應，函數y=log_ax的圖像在x=-log_alna也與直線y=x相切。所在此時，方程log_ax=a^x僅有一解。

③：當1

→lnlna

→f（-log_alna）=??;<0?????（5）

又由1

→log_alna<0

→-log_alna>0

因為 f（0）= a⁰-0=1>0??????（6）

由（5）（6）并依據連續函數的介值定理可知，在（0，-log_alna）上，存在x₁，使得f（x₁）=0，即是a^x1=x₁，得到曲線y=a^x與直線y=x在0alna有交點，又因為f（x）在x <-log_alna時單調遞減（由（3）的討論），所以交點是唯一的。

再由lim?=0，而lna>0，所以存在x₂'>0，

使得lna>

→a^x2- x₂'>0 ?→ f（x₂'）>0 ?????（7）

由（5）（7）并依據連續函數的介值定理可知，在-log_alna2'上，存在x₂，使得 f（x₂）=0，即是：a^x2=x₂，所以函數y=a^x與直線y=x在-log_alna2'上有交點，又因為函數 f（x）在x >-log_alna單調遞增（由（4）的討論），所以交點也是唯一的。

所以，當1ax=a^x有兩個解，分別在區間（0，-log_alna）和區間（-log_alna，+∞）上。

綜合以上討論，我們得到如下結論：

定理1：當a>e;時，方程log_ax=a^x無解。

定理2：當a=e ?時，方程log_ax=a^x有一解，此時曲線y=a^x與曲線y=log_ax?均與直線y=x相切。

定理3：當1ax?=a^x有兩個解，分別在區間（0，-log_alna）和區間（-log_alna，+∞）上。

3.2：當0ax=a^x解的情形

為了更好的討論當0ax=a^x解的情形，我們不妨先證明以下一個引理：

引理：對每一個a∈（0，1），曲線y=a^x與曲線y=log_ax這兩條曲線恰有一個交點在直線y=x上。

證明：從交點（x，x）出發，將底數a看作x的函數，即對每一x∈（0，1）

x=a^x→lnx=x·lna

→a=e

→ ?;=e;·?;>0

因此，a是x的在（0，1）上的遞增函數，而

lim a=lim e;=0

lim a=lim e;=1

這樣，函數a=e;表示了從0x與曲線y=log_ax這兩條曲線恰有一個交點在直線y=x上。

有了以上的準備，我們再來詳細討論當0ax=a^x解的情形。

如左圖，設函數函數y=log_ax與函數y=a^x在直線y=x上交點的橫坐標為x₀其中 x₀<ζ0+△x（易知x₀一定存在，在x軸上x₀右側取一點x₀+△x（△x→0⁺）因為△x→0⁺時，即是：

f（x₀+△x）=f'（ζ）△x+f（x₀）

a^x0+△x=a^ζlna·△x+a^x0 （8）

log_a（x₀+△x）= ?;·△x+log_ax_{0 ??（}9）

又因為a^x0=log_ax₀

（8）-（9），得：

a^x0+△x-log_a（x₀+△x）=△x（a^ζlna-?;）（10）

由（10）得：當a^x0lna-?;<0時，以及由連續函數的保號性，使得： ;

a^x0+△x-log_a（x₀+△x）<0

即是：在x=x₀的右側，存在一點x=x₀+△x，使得函數y=a^x的圖像在函數y=log_ax圖像的下方。 ?????（11）

又因為：a^ax-logax=

當x≥1且0a^x<1，

∴?<1

→a^a??-logax<1→a^x-log_ax>0

即是當x≥1時，函數y=a^x的圖像在函數y=log_ax圖像的上方 ?（12）

由（11）（12）以及函數y=a^x、函數y=log_ax的連續性可知，在區間（x₀，1）內，函數y=a^x與函數y=log_ax定有一交點，對稱地在內（0，x₀），兩函數也存在一交點。且兩交點并不在直線y=x上。再由已證的引理可知，此時兩函數必有三不同交點

綜上所述：當

a^x0lna-?;<0 ?;………………….……?（13）

函數y=a^x與函數y=log_ax（0

又a^x0=x₀，…………………………… ………..?（14）

（14）代入（13）得：

x₀lna- ?;<0………………………………… ?（15）

即是（x₀lna）²>1 ?→x₀lna<-1………………… ?（16）

由（14）得，lna=?;<0…………………… ?（17）

（17）代入（16）得：lnx₀<-1→ x₀-1……… ?（18）

（18）代入（16）得：lna<-e→a<

所以當0ax=a^x有三個解。

同時由以上討論可知：當 ;≤a<1時，方程log_ax=a^x僅有一個根，且這個根恰好在直線y=x上。

綜合以上討論，我們可以得到以下結論：

定理4：當0ax=a^x有三個解

定理5：當 ;≤a<1時，方程log_ax=a^x僅有一個根，且這個根恰好在直線y=x上。

數學學習的一個重要環節是要了解數學背景，獲得數學經驗，而數學經驗的獲得離不開實際操作，本文作者在使用幾何畫板作圖過程中，將指、對函數的底數同取a，逐步使指、對函數的底數發生變化，最后影響兩個函數圖象的變化，當a由a>1逐漸縮小到a<1時，我們可以觀察到指、對函數沒有交點，一個交點，兩個交點，再到一個交點的過程，讓a繼續縮小。大約a=0.01時。“奇跡”出現了。指、對函數的圖象居然很清楚地出現了三個交點，故指數函數與對數函數是可以有三個交點的.然后作者從理論上給出了這個問題較完整的證明，并給出了以下幾個定理：

定理1：當a>e;時，方程log_ax=a^x無解。

定理2：當a=e ?時，方程log_ax=a^x有一解，此時曲線y=a^x與曲線y=log_ax均與直線y=x相切。

定理3：當1ax=a^x有兩個解，分別在區間（0，-log_alna）和區間（-log_alna，+∞）上。

定理4：當0ax=a^x有三個解

定理5：當 ;≤a<1時，方程log_ax=a^x僅有一個根，且這個根恰好在直線y=x上。

從整個過程來看，充分利用現代教育技術，可以在運動過程中了解圖像之間的關系和變化規律，可以使人更直觀的看到原先想像不到的結果，并以此指導正確的數學思維。這對數學學習大有裨益。

同時，對于方程log_ax=a^x的解的個數，是否還有多于三個解的情況呢？從圖像上看，似乎這并不成立，但本文并沒有給出好的證明。

【參考文獻】

[1]EISENBERG T. ，On Torpedoes and NonIntuitive Problems， [J].Teaching Mathematics and its Applications ，2000 ，19（2） ：98 - 100.

[2] 數學手冊編寫組，數學手冊[M] . 北京：人民教育社，1979.

[3]余炯沛.函數y=a^x與函數y=log_ax圖象的交點[J]. 數學通報，1998，8.

[4]張圣官，糾正一種錯誤認識[J]. 數學通報，1998，1.

[5]楊德兵，余詠梅.《關于方程log_ax=a^x解的范圍》的質疑[J]. 中學數學教學參考，2005 ，7.