基于分數階傅里葉變換和RVM的運動想象腦電信號分類方法

詹 宏 鋒

(廣東科學技術職業學院 廣東 廣州 510640)

0 引 言

腦-機接口(Brain Computer Interface, BCI)技術不依賴于傳統的大腦外周肌肉和神經系統等輸出通路，而是直接利用計算機等外圍設備對腦電信號(Electro Encephalogram Gram, EEG)進行采集，進而運用模式識別方法對其進行分析并將特定任務下的EEG與不同的控制命令(例如敲擊鼠標左鍵)建立聯系，從而達到向外界輸出信息的目的[1-4]。BCI技術中的關鍵是模式識別，即如何提取腦電信號中的有用信息(特征提取)并將這些信息與特定的控制命令聯系起來(分類識別)。特征提取和分類識別作為模式識別中的難點，成為了當前研究的熱點。特征提取是從高維的腦電信號中提取能夠反映不同思維活動的差異信息，即實現從原始信號空間向低維特征空間的映射。分類識別是通過構建合適的分類器及選擇最優的分類器參數對特征提取階段獲得的特征向量進行有效的區分，需要在保證分類性能和計算效率的前提下具備魯棒性。

在特征提取方面，當前的研究主要集中在從腦電信號的時域、頻域、空間域等變換域提取特征，例如快速傅里葉變換法(Fast Fourier Transformation, FFT)[5]、短時傅里葉變換法(Short Time Fourier Transformation, STFT)[6]、獨立分量分析法[7]、小波變換法[8-10]等。FFT方法將腦電信號轉換到頻域，雖然能夠提取頻域中的信息，但是以損失時域信息為代價，不適于分析非線性、非平穩的EEG信號。STFT方法雖然能夠對EEG信號的局部特征進行分析，但其時間分辨率和頻率分辨率是相互矛盾的，即不能在得到高時間分辨率的同時保持高的頻率分辨率，因此在對EEG信號進行分析時存在一定的局限性。CSP方法作為一種多通道分析方法，可以獲得較好的分類結果，但是多通道的數據獲取不僅增加了系統的復雜度而且降低了計算效率，限制了其在實際工程中的應用。小波變換能夠對信號進行多尺度的細化分析，在面對非線性、非平穩的EEG信號時具備獨特優勢，因此被廣泛應用于運動腦電信號分類。對信號進行小波分析時需要事先設置“基函數”，文獻[11]分析表明“基函數”的選取對分類性能存在較大影響，而如何選擇合適的“基函數”當前還沒有很好的辦法。

上述分析表明，現有方法雖然能夠提取出反映不同運動腦電信號中包含的差異特征，但是由于這些方法僅僅是從某個特定的變換域對運動腦電信號進行分析，提取的特征較為單一，沒能包含不同維度的信息，具有一定的局限性，同時在小樣本條件下或信噪比較低時，也會存在分類識別性能下降的問題。

針對上述問題，本文提出將分數階傅里葉變換理論應用到運動腦電信號的特征提取中，將現有特征提取方法擴展到分數域，利用不同階次的FRFT對信號進行分析，從中提取數量更多、包含信息更完善的分數階特征，在此基礎上利用相關向量機對特征選擇和分類函數進行聯合優化，剔除冗余特征并得到最優的特征組合。基于實測數據的實驗結果表明，本文方法相對于傳統方法具有更好的可分性和更高的識別性能，并且在小樣本和低信噪比情況下具有更強的魯棒性。

1 分數階傅里葉變換

傅里葉變換自1807年由Fourier提出以來，在理論研究和工程實踐方面都發揮了極其重要的作用，也是當前應用最為廣泛的一種數學工具。但是隨著對信息科學理論研究的深入，FFT的局限性也逐漸暴露，由于FFT是一種全局變換，只能將信號由時域整體轉換至頻域，頻譜上的任何一點都是由整個時間域內信號的貢獻決定，無法對信號的局部變化情況進行分析，在面對非線性、非平穩信號分析需求時應用受限的問題愈發突出。在這種情況下，國內外學者開展了大量研究并提出了一系列針對非線性、非平穩信號進行分析的新方法，如小波變換、短時傅里葉變換、Gabor變換、FRFT等，其中FRFT作為一種廣義的傅里葉變換，在保留傳統FFT特點的基礎上增加了其特有的優勢，具備對信號的時域和頻域雙域的信息融合處理能力，逐漸發展成為一種分析非線性、非平穩信號的強有力工具[12-15]。

圖1 FRFT與FFT關系示意圖

對于任意連續時域信號f(t)，經p階FRFT后得到的分數域信號fp(u)可以表示為：

(1)

式(1)給出的是連續信號的FRFT，而實際數字信號處理工程應用中都是針對離散信號進行處理，需要使用離散形式的FRFT，即離散分數階傅里葉變換(Discrete Fractional Fourier Transform, DFRFT)。當前常用的計算DFRFT的方法主要包括三種：1) 利用DFT核矩陣的特征值和特征向量構造DFT核矩陣的分數冪來計算DFRFT；2) 根據FRFT的定義，將其分解為一個chirp信號與調制信號卷積的形式，然后利用FFT計算得到DFRFT；3) 通過某些特點階數的DFRFT的線性組合計算得到任意階數的DFRFT。其中第2種方法由于精度和效率較高，目前應用最為廣泛。式(1)可以按如下方式進行展開：

exp[-j2πutcscα]dt

(2)

根據Shannon定理[12]，函數f(t)exp[jπt2cotα]可以表示為：

(3)

將式(3)代入式(2)即可以得到信號f(t)的離散分數階傅里葉變換fp(m)為：

(4)

2 實驗數據

實驗采用文獻[4]中選用的BCI 2003年國際競賽所用Dataset Ⅲ標準數據集。實驗過程中要求受試者按照提示通過想象左右手運動實現對光標移動的控制。每次實驗持續時間為9 s，圖2為每次實驗的時序：

1) 0≤T<2 s，準備時間，受試者處于平穩放松狀態；

2)T=2 s，開始提示，屏幕上出現十字光標示意受試者實驗即將開始；

3) 3≤T<9 s，實驗時間，受試者根據屏幕出現的向左或向右的箭頭對應想象左手或者右手運動。

圖2 實驗數據采集時序

實驗過程中采用差分電極，實驗數據從國際標準的10～20導聯系統的C3和C4兩個通道獲取。數據集中總共包含280組實驗數據，其中140組為訓練數據(包含70組想象左手運動數據和70組想象右手運動數據)，剩余140組為測試數據(包含70組想象左手運動數據和70組想象右手運動數據)。實驗中采樣頻率設置為128 Hz，每次實驗包含1 152個采樣點，根據圖2所示實驗時序，由于每次實驗是從第3 s開始，因此為了提升計算效率，本文對每組實驗數據選用第3～9 s的數據共768個采樣點。

3 基于FRFT的特征提取

對于任意給定的一組信號，分別對其進行p階離散分數階傅里葉變換p=0,0.1,…,1，可以得到對應的分數域信號fp(m)，m=1,2,…,M，M為采樣點數。當p=0時得到的f0(m)為原始時域信號；p=1時得到的f1(m)為原始信號對應的頻譜。

圖3(a)和(b)分別給出了對想象左手運動和想象右手運動的C3通道實測數據進行不同階次FRFT得到的分解結果，可以看出隨著階次的增加，信號的時域特性逐漸減少，頻域特性逐漸增加，即不同階次的分解結果呈現了信號由時域過渡到頻域的完成過程。同時對比圖3(a)和(b)可以看出，想象右手運動腦電信號和想象左右運動腦電信號存在一定差異，想象右手運動腦電信號支撐區寬度明顯大于想象左右運動腦電信號。圖4(a)和(b)分別給出了C4通道實測數據的分解結果。從圖3和圖4可以看出，相同運動方式的C3和C4通道信號的FRFT分解結果具有一致性。每幅圖的橫坐標為采樣點，縱坐標為歸一化幅度。

(a) 想象左手運動

(b) 想象右手運動圖3 C3通道不同階次FRFT

(a) 想象左手運動

(b) 想象右手運動圖4 C4通道不同階次FRFT

針對運動腦電信號分類問題，當前的特征提取方法大都是采用時域、頻域或小波域等變換域的特征，雖然能夠獲得較好的分類結果，但都是從某一特定變換域中進行分析，特征提取維度少，特征中包含的信息量不足，并且對測試數據信噪比要求較高，在信噪比較低的條件下分類性能會有明顯下降。針對上述問題，本文在對信號進行FRFT的基礎上，將特征提取維度擴展到分數域，從而提取更多特征，擴充特征中的有用信息。

1) 分數階信號的二階中心距特征：

(5)

2) 分數階信號的方差特征：

(6)

方差特征反映的是信號的波動特性。

3) 分數階信號的熵特征：

(7)

4) 分數階信號的支撐區寬度特征：

(8)

式中：find(·)為尋找滿足條件的樣本點總個數的函數。

對0～1階分數階信號分別提取上述四維特征，可以得到由44維特征構成的特征向量如表1所示。

表1 分數域特征

4 特征選擇及分類

得到特征向量后，需要設計合適的分類算法才能得到期望的分類性能，雖然分數域的特征提取方法實現了特征域的擴展，但是提取的44維特征中不可避免會存在一些冗余特征，這些特征的存在不僅不會增加對分類有用的信息，相反可能會降低分類性能，因此在分類識別前需要采用特征選擇方法將其剔除。

目前常用的特征選擇方法為序列浮動前向選擇法(Sequential Forward Floating Selection method,SFFS)[16]，該方法需要預先設定期望的特征個數d，實驗過程中每次從特征總集合中選入或者抽掉某一些特征，直至得到包含d個特征的最優分類結果。這種方法通過遍歷的方式找到最優的d個特征向量，但是預設特征個數d的確定存在困難，并且算法需要消耗較大的運算資源。

相關向量機由Tipping等[16]基于貝葉斯框架提出，與SVM類似，RVM也是通過核函數將低維空間的線性不可分問題轉換為高維空間的線性可分問題，同時又具備獨特的優勢：1) RVM模型具備更高的稀疏性，因而能夠自動實現特征選擇； 2) RVM模型設計中充分實現了對分類器設計和特征選擇的聯合優化，保證了兩者具備相同的優化準則； 3) 核函數的選擇不受摩西準則約束； 4) RVM能夠提供概率式的預測分布。

運動腦電信號分類作為典型的兩類分類問題，對于給定的訓練樣本集{xn,tn}，n=1,2,…,N，N為訓練樣本個數，tn∈{0,1}為類別標號。兩類RVM分類函數為：

(9)

式中:K(x,xn)為核函數;wn代表不同的權重;ε為均值為0，方差為τ-1的高斯分布。為了對輸入向量對應的目標值作出概率預測，將Sigmoid函數引入分類函數，此時樣本集的似然函數可以表示為：

(10)

為了構建完成的貝葉斯模型，假設wn的先驗分布為均值為0，方差為α-1的高斯分布。由于高斯分布的共軛先驗分布為伽馬分布，因此用伽馬分布定義α-1和噪聲方差τ-1的超先驗：

(11)

p(τ)=Gamma(τ|c,d)

利用VBEM算法對參數后驗分布的求取過程中，大部分α會隨著迭代過程趨于無窮大，對應的w則趨于0，從而實現了權值向量的稀疏化，此時不為0的權值對應的特征向量即為要選擇的特征。

5 實 驗

首先選取數據集中的140組數據作為訓練樣本，其中包含想象右手運動數據和想象左手運動數據各70組，剩余140組作為測試數據，將本文方法和近年來其他文獻中介紹的方法進行對比，結果如表2所示。其中：文獻[17]采用小波包能量特征并利用基于馬氏距離的線性分離器；文獻[18]采用小波熵特征并利用SVM分類器對運動腦電新年好進行分類；文獻[19]在文獻[17]的基礎上利用Burg算法提取腦電信號的5階AR模型稀疏作為特征并利用線性分類器獲得了93.43%的分類結果。可以看出，本文提出的分數域特征結合RVM分類器的運動腦電信號分類方法可以獲得最好的分類性能。

表2 不同方法的分類結果

圖5為利用RVM分類器對44維分數域特征進行特征選擇的結果，可以看出經過特征選擇后，對應權值較大的特征有5維：Feature20.9，Feature30，Feature30.7，Feature40.8，Feature41，既包含了傳統的時域特征和頻域特征，又包含了不同階次的分數域特征，體現了信息提取維度和特征的多元化。表2中最后一行給出了只采用上述5維特征并利用RVM分類器進行分類可以得到97.12%的正確識別率，該結果表明44維分數域特征中，該5維特征對分類結果的貢獻要遠遠超越其他39維，說明RVM特征選擇的準確性和有效性。

圖5 RVM分類器特征選擇結果

圖6為上述5維特征的二維歸一化特征分布圖。可以看出RVM選擇出的5維特征在特征域存在明顯的差異，具備較好的可分性。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)圖6 RVM選出的5維特征的二維特征分布圖

對于運動腦電信號分類問題，除了正確分類性能外，小樣本條件下的泛化能力和低信噪比條件下的噪聲穩健性在實際工程應用中同樣具有重要意義。

實驗過程中通過減少訓練樣本、增加測試樣本的方式驗證本文方法在小樣本條件下的泛化能力(總數據集不變)。圖7給出了訓練樣本數變化時不同方法的分類性能，可以看出本文方法在訓練樣本減少至60組時，依然能夠獲得95%以上的分類性能，體現出了強泛化能力。同時文獻[18]采用的WPE+SVM的方法在樣本減少時也表現出了較強的魯棒性，這是由于RVM與SVM采用一致的分類函數，都具備在小樣本條件下強推廣能力，而LDA分類器不具備該能力，分類性能隨著樣本的減少逐漸變差。

圖7 分類性能隨訓練樣本數的變化曲線

腦電信號的幅度通常處于μV級，微弱性特征明顯，容易受到噪聲污染，因此要求分類方法具備低信噪比條件下的噪聲穩健性。為了驗證本文方法在不同信噪比條件下的分類性能，實驗過程中采用在實驗數據中加入高斯白噪聲的方式進行分析。本文中信噪比(SNR)定義如下：

(12)

圖8給出了不同信噪比條件下的分類性能。可以看出，本文方法在低信噪比條件下相對于其他方法可以獲得更好的分類性能，SNR優于15 dB時仍然可以獲得85%以上的正確分類結果，相對于其他方法具備更好的噪聲穩健性。

6 結 語

對非線性、非平穩腦電信號的特征提取和分類識別是當前腦機接口技術研究的熱點。本文提出一種基于FRFT和RVM的運動想象腦電信號分類方法，首先利用FRFT將信號從時域轉換至分數域，充分擴展了特征提取維度，然后利用RVM分類器對分數域特征進行選擇，剔除冗余特征從而降低運算復雜度。基于實測數據的實驗結果表明相對于其他現有方法，本文方法可以獲得更好的分類性能。同時本文通過設計合理的實驗對所提方法在小樣本情況下的返還能力和低信噪比條件下的噪聲穩健性進行了驗證，實驗表明本文方法在樣本數減少至30%時仍然可以獲得90%以上的正確分類性能，在信噪比優于15 dB時可以獲得85%以上的分類結果，均優于其他對比方法。