微積分教學(xué)中幾個(gè)問題的思考

馬玉梅，劉 恒，周文書，王金芝，齊淑華

(大連民族大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116650)

產(chǎn)生于16世紀(jì)的微積分是大學(xué)一年級(jí)相關(guān)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，學(xué)生通過基本微積分理論的學(xué)習(xí)，逐步提高分析問題與解決問題的抽象思維能力，為專業(yè)課程的進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)追求嚴(yán)謹(jǐn)與美，解題不僅要求正確，邏輯清晰，思路簡(jiǎn)潔也是必要的基本功。隨著信息時(shí)代計(jì)算機(jī)的普及，很多數(shù)學(xué)問題或者與數(shù)學(xué)緊密相關(guān)的問題常常在互聯(lián)網(wǎng)上展現(xiàn)。適當(dāng)?shù)目旖菁记墒菙?shù)學(xué)美的體現(xiàn)，但是經(jīng)典數(shù)學(xué)的美不會(huì)隨著時(shí)間的流逝而褪色，符合數(shù)學(xué)的基本法理法則是教好數(shù)學(xué)學(xué)好數(shù)學(xué)的前提。

1 連續(xù)函數(shù)

在教材[1-4]中函數(shù)f在某點(diǎn)連續(xù)有如下定義:

1.1 一元函數(shù)連續(xù)

定義1.1 一元函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)是指: 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)?R內(nèi)定義, 若對(duì)任意給定ε>0, 存在δ>0, 當(dāng)|x-x0|<δ時(shí)有: |f(x)-f(x0)|<δ。

下面的定義取自Patrick M. Fitzpatrick[5]。

定義1.2 一元函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)定義是指: 設(shè)函數(shù)f(x)在集合D?R上定義, 若對(duì)任意給定ε>0, 存在δ>0, 當(dāng)x∈D并且|x-x0|<δ時(shí)，有: |f(x)-f(x0)|<δ。

定義1.1與定義1.2有本質(zhì)不同，定義1.1規(guī)定函數(shù)的定義域構(gòu)成一個(gè)區(qū)間(連通集合),在該區(qū)間討論函數(shù)趨勢(shì)；定義1.2強(qiáng)調(diào)了函數(shù)的連續(xù)首選依賴于本身定義的集合D，然后再考慮函數(shù)趨勢(shì)。這里D可能是任何平面點(diǎn)集, 不一定是連通集。

1.2 二元函數(shù)連續(xù)

國(guó)內(nèi)外教材均給出以下定義：

定義1.3 二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)連續(xù)定義是指: 設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)集D?R2上定義,P0∈D(它或者是D的聚點(diǎn), 或者是D的孤立點(diǎn))。若對(duì)任意給定ε>0, 存在δ>0,當(dāng)(x,y)∈D并且d(P,P0)<δ時(shí)有: |f(x,y)-f(x0,y0)|<δ。

文獻(xiàn)[5]中一元函數(shù)、二元函數(shù)關(guān)于連續(xù)的定義是統(tǒng)一的，顯然具有更廣泛的意義。

如果D是有限點(diǎn)的集合，那么任何函數(shù)在D上都連續(xù)。進(jìn)一步一個(gè)直觀的結(jié)論是每一個(gè)數(shù)列都在自然數(shù)集上連續(xù)。

事實(shí)上：設(shè)an=f(n)，對(duì)于任意n0∈N，任意給定ε>0，取0<δ<1時(shí)，n∈N∩{n,|n-n0|<δ}時(shí), 有n=n0。于是|an-an0|=0<ε。

定義1.3除了有定義1.2的功能外主要是強(qiáng)調(diào)多元函數(shù)本身定義域的廣泛性，可以是曲線或曲面等等。 筆者建議數(shù)學(xué)專業(yè)教材《數(shù)學(xué)分析》中一元和多元函數(shù)的連續(xù)定義應(yīng)該統(tǒng)一。這樣不僅教材上下冊(cè)中連續(xù)函數(shù)概念一致順延，同時(shí)也使學(xué)生加深理解函數(shù)的連續(xù)性是相對(duì)的概念，并為后續(xù)課程奠定基礎(chǔ)，易于學(xué)生理解和掌握拓?fù)鋵W(xué)、泛函、流形上的微積分等相關(guān)課程。

2 無(wú)窮小相減可否等價(jià)替換

在以往教學(xué)中，無(wú)窮小加減情況一般不允許等價(jià)替換，任何微積分教科書中都有說明，此處省略。但在一些資料上仍然見到如下錯(cuò)誤命題：

錯(cuò)誤命題2.1[6]設(shè)α,β,α',β'都是無(wú)窮小量，若α～α',β～β'，且α,β不是等價(jià)無(wú)窮小，則：α-β可以用α'-β'替換。

文獻(xiàn)[7]給出數(shù)列情形的反例說明以上命題是錯(cuò)誤的。本文給出另外一個(gè)反例。

當(dāng)x→0時(shí)，α～α',β～β',且α,β不是等價(jià)無(wú)窮小。

那么，什么情況下無(wú)窮小量的差可以等價(jià)替換呢?事實(shí)上有如下結(jié)論(見參考文獻(xiàn)[4，8], 本文給出比較簡(jiǎn)潔的證明)。

證明:

(1)

(2)

α-β可以用α'-β'替換。

雖然無(wú)窮小減法情況的等價(jià)替換問題看上去簡(jiǎn)單，但容易出錯(cuò)，多年來(lái)的實(shí)踐證明，對(duì)于初學(xué)者加減法時(shí)不建議使用等價(jià)替換，以免發(fā)生不必要的錯(cuò)誤。

3 伯努利不等式問題

常用的伯努利不等式為：(1+h)n≥1+nh，(h≥0)；

在一般的教材中為(1+h)n≥1+nh，(h≥-1)；

更一般的[1]給出(1+h)r≥1+rh，(h≥-1,r∈R+)；

文獻(xiàn)[9]給出(1+h)n≥1+nh當(dāng)且僅當(dāng)h≥-2,該證明的后半部分有一處邏輯順序需要更正。

定理3.1 (1+h)n≥1+nh當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)恒成立。當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)h≥-2成立。

證明: 充分性:假設(shè)h≥-2。

(1) 當(dāng)n是偶數(shù)時(shí), 當(dāng)h≥-1時(shí)根據(jù)原來(lái)不等式有(1+h)n≥1+nh。

當(dāng)h<-1時(shí), (1+h)n≥0≥1-n≥1+nh，即當(dāng)n是偶數(shù)的時(shí)候?qū)沒有限制。

(2) 假設(shè)n是奇數(shù), 當(dāng)n=1時(shí)等號(hào)成立,n=3時(shí), (1+h)3≥1+3h。

假設(shè)n=2k-1時(shí)有(1+h)2k-1≥1+(2k-1)h,

這樣(1+h)2k+1=(1+h)2k-1(1+h)2≥[1+(2k-1)h](1+2h+h2)≥1+(2k+1)h+

h2(4k-2+(2k-1)h),

而:4k-2+(2k-1)h≥4k-2+(2k-1)(-2)=0，

于是:(1+h)2k+1≥1+(2k+1)h。

反之, 如果存在h0<-2, 記:h0=-2-α,α>0。

由于n是奇數(shù), 這樣:

(1+h0)n-(1+nh0)=(-1-α)n-(1-2n-αn)=-(1+α)n-(1-2n-nα)。

所以當(dāng)(1+h)n≥1+nh必有h≥-2。

下面給出Bernoulli 不等式的應(yīng)用: Jacobsthal不等式 (Jacobsthal’s inequality)。

注3.3 在研究神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性分析時(shí)用到了Jacobsthal不等式[10]，而Jacobsthal不等式的理論意義在于其等價(jià)Young不等式(p為自然數(shù)時(shí))。

因此, 當(dāng)p為自然數(shù)時(shí), 上面不等式可以做到a≥-1,b>0。