基于蟻群算法的分數階隨機系統狀態最優估計

趙亞亞 黃姣茹* 錢富才,2 陳超波

1(西安工業大學電子信息工程學院 陜西 西安 710021) 2 (西安理工大學自動化與信息工程學院 陜西 西安 710048)

0 引 言

分數階微積分是對整數階微積分的任意階次擴展，處理的是非整數階的積分與導數。目前，分數階微積分和分數階系統被廣泛用于各種領域中的系統建模，如分數階PID控制器[1]、黏性阻尼器[2]、路徑跟蹤控制[3]和無人駕駛飛行器[4]等。許多研究表明，分數階系統與經典系統相比，具有更好的性能和精度。考慮到實際系統中，當系統受到外界隨機擾動時，系統內部也會發生相應的變化，導致系統的輸入輸出及干擾有隨機因素，且系統的部分狀態變量是不可測的，又或者因為環境等因素不能直接測量。此時則需要通過設計一個狀態觀測器，對系統的狀態變量進行較為準確的估計。因此，對分數階隨機系統狀態估計問題的研究是十分重要的。

目前，國內外研究學者對分數階隨機系統的狀態估計問題做了不少研究工作。文獻[5-6]針對受到非高斯Levy噪聲的線性和非線性分數階系統的濾波問題進行了研究，提出了一種新的分數階擴展卡爾曼濾波器(EKF)設計策略，對分數階系統的狀態進行估計。文獻[7]針對離散分數階隨機系統，通過將非高斯Levy噪聲分解成高斯白噪聲加上某些極大值的和,然后剔除極大值的方法得到近似高斯白噪聲的Levy噪聲，提出了改進的分數階卡爾曼濾波算法，并對分數階的階次進行估計。文獻[8]針對離散線性分數階隨機系統，基于分數階系統的一種新的累積向量和擴展矩陣形式模型，提出了一種通用的卡爾曼濾波方法。孫永輝等[9]針對帶Levy噪聲的分數階系統，提出了兩種不同的逼近方法，分別針對這兩種近似方法提出了兩種新的分數階擴展卡爾曼濾波器設計策略對系統進行估計。Aoun等[10]針對帶有零均值高斯白噪聲的連續時間線性分數階系統，將經典卡爾曼濾波器推廣到分數階微分處理，提出了一種新的卡爾曼濾波方法，用于解決狀態估計問題。Gao[11]針對含有高斯白噪聲的連續線性和非線性分數階系統，利用Tustin生成函數代替G-L定義法實現分數階系統的離散化，提出了基于Tustin生成函數的分數階卡爾曼濾波器和擴展分數階卡爾曼濾波器。Arabi[12]針對一類連續線性且帶有零均值的高斯白噪聲的分數階系統，基于非線性優化的方法，設計了狀態觀測器，進而得到系統最優濾波增益。然而上述濾波方法或是針對離散化后的分數階系統進行研究，計算過程比較復雜，或是利用傳統的梯度迭代方法對其進行非線性化處理，對被優化函數的要求較高，具有一定的局限性。

基于以上分析，本文針對一類分數階隨機系統的狀態估計問題進行研究。考慮與狀態變量估計誤差相關的二次型成本函數，利用分數階微積分算子的性質對其進行化簡，將分數階系統的狀態估計問題轉化為非線性優化問題，再利用蟻群優化算法對與濾波增益相關的成本函數求最優，得到系統的最優濾波增益，進而實現對狀態觀測器的設計。與傳統梯度迭代優化算法相比，本文算法對被優化函數的要求較低，誤差更小，通用性和魯棒性更好，且算法簡單易操作。

1 問題描述

考慮如下分數階隨機系統：

(1)

式中：Dα是基于Caputo定義下的分數階微分算子；α是分數階階次且0<α<1；x∈Rn是系統狀態向量，u∈Rm是系統控制向量；y∈Rn是系統輸出向量；A、B、C是相應維數的常數系數矩陣；w(t)和v(t)是不相關的高斯白噪聲，滿足：

E(wwT)=W≥0

(2)

E(vvT)=V>0

(3)

E(wvT)=0

(4)

式中：E(·)表示數學期望。

設計如下形式的狀態觀測器：

(5)

為了實現狀態觀測器的設計，進而得到系統的最優狀態觀測器增益，需要對與狀態估計誤差相關的成本函數求最優值。

(A-LC)h(t)+w(t)-Lv(t)

(6)

考慮如下與系統狀態變量估計誤差相關的成本函數：

(7)

則式(1)的狀態估計問題可以轉換成如下優化問題:

(8)

s.t.Dαh(t)=(A-LC)h(t)+w(t)-Lv(t)

吳立表示，從國外經驗來看，短期內在國內根除非洲豬瘟疫情并不現實，防控將是持久戰。中小散戶發生豬瘟疫情的概率要遠大于規模化養殖場。目前國內的生豬調運已基本停止，且生豬調運限制將長期存在。政策導向上將保護種豬場及規模場，加速中小養殖場的退出。

(9)

針對式(1)中的狀態估計問題，考慮與狀態變量估計誤差相關的二次型成本函數，將該系統的狀態估計問題轉化為優化問題進行處理。對于這類優化問題，多用傳統的梯度迭代方法對其求最優解，但如果被優化函數比較復雜時，對其求偏導得到梯度值可能獲得局部最優解，所以傳統的梯度迭代方法具有一定的局限性。本文采用基于蟻群算法的方法去解決該優化問題。

2 基于蟻群算法的狀態估計

為了實現狀態觀測器的設計，利用分數階微積分的特性[13]，對系統的狀態變量估計誤差進行化簡得到與濾波增益相關的非線性函數，再利用蟻群算法對該成本函數求最優，進一步得到系統的最優濾波增益。

2.1 成本函數的推導

為了得到與濾波增益相關的h(t)，首先，根據Caputo分數階微分算子的性質：

n-1≤α

(10)

對式(6)進行Laplace變換[14]：

L{Dαh(t)}=sαH(s)-sα-1h0

(11)

則:

sαH(s)-sα-1h0=(A-LC)H(s)+w-Lv

(12)

又因為:

(13)

對式(11)進行Laplace逆變換可以表示為：

(14)

式中：Et(α,c)是Et函數,與經典的M-L函數有一些相似之處[15-16]，定義為:

(15)

式中：Γ為Gamma函數。

則系統的二次型成本函數重新表達如下：

(16)

2.2 基于蟻群算法的觀測器增益設計

蟻群算法的基本思想類似于粒子群優化算法。通俗地說，螞蟻在尋找食物的過程中，需要繞過障礙物，尋找一條最優的路徑。螞蟻們在前進的過程中，可以通過釋放的一種和路徑相關的信息素去引導選擇，路徑長短和所釋放的濃度是成正比的。隨著最短路徑上的激素濃度越來越大，所有螞蟻自然而然會轉移到較短的路徑上。在整個尋找最優路徑的過程中，雖然單只螞蟻的能力是有限的，但是通過激素的作用，彼此互相交流信息共享，最終能找到最優的路徑[17]。

函數優化的問題，一般就是函數極值尋優的問題。文中主要是利用蟻群算法對分數階隨機系統中與狀態估計誤差相關的性能指標求最優(二維函數)。在上述尋優過程中，信息素更新公式如下：

(17)

狀態轉移概率公式為：

(18)

式中：ρ為信息素揮發系數；fitnessbest為最優解螞蟻的信息素濃度；fitnessi為當前螞蟻的信息素濃度。

具體優化流程如圖1所示，在優化的過程中，將如下與濾波增益相關的性能指標作為算法中的適應度函數：

(19)

圖1 基于蟻群算法的性能指標優化流程圖

通過利用蟻群算法對與系統濾波增益相關的成本函數求最優得到最優解L即分數階系統的最優濾波增益，進一步實現狀態觀測器的設計，得到系統狀態的估計值。

3 仿真分析

表1 兩種優化算法的數據對比

圖2 α=0.5時x1(t)的真實值和估計值的狀態響應曲線

圖3 α=0.5時x2(t)的真實值和估計值的狀態響應曲線

圖4 α=0.5時基于傳統梯度迭代優化算法和基于蟻群算法得到的誤差e1(t)的狀態響應曲線

圖5 α=0.5時基于傳統梯度迭代優化算法和基于蟻群算法得到的誤差e2(t)的狀態響應曲線

分析表1數據可知，當取誤差變量的初始狀態為[h1(0)h2(0)]=[0.5 -2]時，利用蟻群算法對與濾波增益相關的二次型成本函數求最優，得到系統的成本函數為1.405 0。當誤差變量的初始條件h0取不同值時，相比較而言，基于蟻群算法得到的二次型成本函數值比基于傳統優化算法得到的二次型成本函數值更小。

由圖2和圖3可以看出，本文提出的基于蟻群算法的狀態估計策略能夠很好地估計出系統狀態的真實值。由圖4和圖5很明顯可以看出，系統的狀態估計值與真實狀態值的誤差逐漸趨于零。與傳統梯度迭代優化算法相比，基于蟻群算法的誤差值更小。所以本文設計的狀態觀測器是有效的，且結果優于傳統優化方法。

4 結 語

本文針對一類分數階隨機線性系統的狀態估計問題進行研究。首先，設計一種狀態觀測器，進一步得到系統的誤差方程，利用分數階微分算子的性質將其化簡得到與濾波增益相關的成本函數，并考慮從優化角度去解決分數階系統的狀態估計問題。再利用蟻群優化算法對相應的成本函數求最優值，即系統的最優濾波增益，最終得到系統狀態的估計值。通過數值例子，對比分析基于傳統梯度迭代優化算法與基于蟻群算法的狀態策略，驗證了該算法的可行性與有效性。