考慮風(fēng)險(xiǎn)偏好的概率猶豫模糊多屬性決策方法①

駱 華,王應(yīng)明

(福州大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,福州 350108)

決策具有普遍性,但是近年來(lái)由于決策環(huán)境的不確定性、信息的不完整性以及人們處理信息能力的限制使得傳統(tǒng)的決策方法已經(jīng)很難解決現(xiàn)實(shí)生活中的很多決策問(wèn)題.為此,Zadeh[1]于1965年提出了模糊集的概念,其能夠用于刻畫(huà)模糊現(xiàn)象從而解決許多模糊問(wèn)題.但是模糊集理論不允許一個(gè)屬性同時(shí)出現(xiàn)幾個(gè)不同的隸屬度,因而不能有效地刻畫(huà)猶豫信息,從而導(dǎo)致部分決策信息的丟失.為了能夠更好地刻畫(huà)猶豫信息,Torra[2]于2010年提出了猶豫模糊集的概念,其允許一個(gè)屬性可能出現(xiàn)幾個(gè)不同的隸屬度值,能夠反映出人們?cè)跊Q策時(shí)的猶豫程度.此后,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)猶豫模糊集進(jìn)行了相關(guān)的拓展研究,將其拓展為區(qū)間猶豫模糊集[3]、三角猶豫模糊集[4]、猶豫模糊語(yǔ)言集[5]等.雖然猶豫模糊集允許一個(gè)屬性用幾個(gè)不同的隸屬度值表達(dá),但是它卻將每一個(gè)隸屬度發(fā)生的概率看作是相同的.而在現(xiàn)實(shí)生活中,專(zhuān)家在給出隸屬度值時(shí),認(rèn)為某一個(gè)隸屬度出現(xiàn)的概率比另一個(gè)隸屬度大,這是很正常的現(xiàn)象.顯然,僅用猶豫模糊集并不能表示專(zhuān)家的這種偏好,從而導(dǎo)致某些決策信息的丟失.為了有效地表示出不同的隸屬度值出現(xiàn)的概率可能不同的現(xiàn)象,Xu 等[6]在猶豫模糊集的基礎(chǔ)上提出了概率猶豫模糊集,其包含的不確定信息更多,更能表達(dá)決策者的偏好.近年來(lái),國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者對(duì)概率猶豫模糊集進(jìn)行了研究,Li 等[7]提出了概率猶豫模糊元的可能度公式,將其與QUALIFLEX和PROMETHEEⅡ方法相結(jié)合并運(yùn)用到多屬性決策問(wèn)題中.Zhao 等[8]基于傳統(tǒng)的聚合算子,給出了概率猶豫模糊集的聚合算子.Gao 等[9]定義了概率猶豫模糊元的距離測(cè)度,并且提出了考慮時(shí)間因素的多階段動(dòng)態(tài)概率猶豫模糊聚合算子.朱峰等[10]提出了概率猶豫模糊元的符號(hào)距離測(cè)度和交叉熵測(cè)度來(lái)構(gòu)建多屬性決策模型.

為了更加現(xiàn)實(shí)地描述決策者的實(shí)際決策過(guò)程,Tversky 等[11]提出了前景理論,其采用價(jià)值函數(shù)和概率權(quán)重代替期望效用中的效用和概率.參考點(diǎn)的選擇是前景理論中重要的環(huán)節(jié),現(xiàn)有的參考點(diǎn)主要包括零點(diǎn)參考點(diǎn)、中位數(shù)參考點(diǎn)、正負(fù)理想點(diǎn)參考點(diǎn)以及期望值參考點(diǎn)等[12].在這4 個(gè)參考點(diǎn)中,只有期望值參考點(diǎn)不受準(zhǔn)則值的影響,是決策者對(duì)準(zhǔn)則值的總體認(rèn)知,能夠充分反映決策者的偏好.張曉等[13]以期望值為參考點(diǎn),將前景理論運(yùn)用于風(fēng)險(xiǎn)型混合多屬性決策問(wèn)題中.閆書(shū)麗等[14]以期望灰靶為參考點(diǎn)并利用線性變化算子對(duì)前景價(jià)值進(jìn)行規(guī)范化處理.龔承柱等[15]事先給定期望值參考點(diǎn),基于前景理論和隸屬度建立混合型多屬性決策模型.

總體上看,以概率猶豫模糊數(shù)表達(dá)屬性的隸屬度已經(jīng)非常常見(jiàn),在決策過(guò)程中,決策者的預(yù)期以及心理行為因素會(huì)影響到最終決策效果,而前景理論能夠充分地反映決策者的心理行為.因此,本文將前景理論運(yùn)用到概率猶豫模糊集的環(huán)境中,提出了一種基于前景理論的概率猶豫模糊多屬性決策方法.給出了考慮決策者猶豫度以及元素值之間差異的拓展的海明距離公式和拓展的歐式距離公式并且以決策者的期望值為參考點(diǎn)建立前景決策矩陣,然后利用離差最大化法計(jì)算屬性權(quán)重,得出各個(gè)方案的綜合前景值,并按其大小進(jìn)行排序.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 概率猶豫模糊集相關(guān)知識(shí)

文獻(xiàn)[2]在模糊集的基礎(chǔ)上提出了猶豫模糊集的概念,用于解決在同一個(gè)屬性中可能存在多個(gè)評(píng)估值的現(xiàn)象.

定義1[2].設(shè)非空集合X是一個(gè)給定的論域,則稱(chēng):

為X上的一個(gè)猶豫模糊集.其中,h(x)={γλ|λ=1,2,···,l}為 其中一個(gè)猶豫模糊元,l為 概率猶豫模糊元h(x)中元素的個(gè)數(shù),γλ∈[0,1]為 非空集合X中的元素x屬于猶豫模糊集H的隸屬度.

定義2[6].設(shè)非空集合X是一個(gè)給定的論域,則稱(chēng):

為在X上的一個(gè)概率猶豫模糊集.其中,h(Px)={γλ(Pλ)|λ=1,2,···,l} 為概率猶豫模糊元,l為概率猶豫模糊元h(Px)中 元素的個(gè)數(shù),γλ∈[0,1]為非空集合X中的元素x屬于概率猶豫模糊集HP的隸屬度,Pλ∈[0,1]表示隸屬度 γλ的概率,且當(dāng)時(shí),表示信息完全;當(dāng)時(shí),表示信息不完全.

一般將所有的概率猶豫模糊元h(Px)中的元素按隸屬度從小到大排序,h(Px)的補(bǔ)集為:

定義3[7].設(shè)h(Px)={γλ(Pλ)|λ=1,2,···,l}為概率猶豫模糊元,則稱(chēng):

分別為h(Px)的期望和方差.

定義4[7].設(shè)h1(Px)和h2(Px)為任意的兩個(gè)概率猶豫模糊元,E(h1(Px))、E(h2(Px))分別為h1(Px)和h2(Px)的期望值,D(h1(Px))、D(h2(Px))分別為h1(Px)和h2(Px)的方差.則:

① 若E(h1(Px))>E(h2(Px)),則h1(Px)>h2(Px).

② 若E(h1(Px))

③ 若E(h1(Px))=E(h2(Px))且D(h1(Px))h2(Px);

若E(h1(Px))=E(h2(Px))且D(h1(Px))=D(h2(Px))則h1(Px)=h2(Px);

若E(h1(Px))=E(h2(Px))且D(h1(Px))>D(h2(Px))則h1(Px)

設(shè)概率猶豫模糊元h1(Px)和h2(Px)中的元素個(gè)數(shù)分別為l1和l2,當(dāng)l1≠l2時(shí),在元素較少的集合中添加元素,使其個(gè)數(shù)為l=max{l1,l2}.決策者可以根據(jù)自身對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度選擇所添加的元素.本文中,采用添加概率猶豫模糊元中隸屬度最大的值且添加的隸屬度的概率為0.

定義5[9].設(shè)為任意兩個(gè)概率猶豫模糊元,則稱(chēng):

為概率猶豫模糊元h1(Px)和h2(Px)之間的海明距離,l=max(l1,l2).

1.2 前景理論相關(guān)知識(shí)

根據(jù)前景理論思想[11],前景理論主要由綜合前景值的大小來(lái)確定最優(yōu)決策方案,而綜合前景值包括前景價(jià)值函數(shù)v(xi)和概率權(quán)重函數(shù)w(Pi),具體表示為:

Tversky 等[16]給出了價(jià)值函數(shù)為冪函數(shù):

其中,?x表示屬性值x偏離某一參考點(diǎn)的大小,?x≥0表示獲得收益,?x<0表示遭受損失;α、β分別表示偏好風(fēng)險(xiǎn)和厭惡風(fēng)險(xiǎn)的系數(shù),且 0 <α、β <1;θ表示損失規(guī)避系數(shù),且θ >1.

王應(yīng)明等[17]基于猶豫模糊歐式距離定義了前景價(jià)值函數(shù).

定義6[17].設(shè)h1=和h2=為兩個(gè)猶豫模糊數(shù),通過(guò)增加相應(yīng)的元素,使h1和h2標(biāo)準(zhǔn)化為具有相同的個(gè)數(shù),若以h1為參考點(diǎn),則h2的前景價(jià)值函數(shù)為:

2 確定前景決策矩陣及屬性權(quán)重

在前景理論中,決策者首先要對(duì)各個(gè)方案的屬性進(jìn)行衡量,以確定各個(gè)方案的“收益”或者“損失”,而在衡量的過(guò)程中一般要選取某個(gè)參考點(diǎn),選取參考點(diǎn)的不同,可能會(huì)帶來(lái)不同的衡量結(jié)果.本文采用決策者對(duì)各個(gè)屬性的期望向量作為參考點(diǎn),并且各個(gè)期望值以概率猶豫模糊元的形式給出,把期望值作為參考點(diǎn)可以很好的與前景理論中充分考慮決策者心理行為的性質(zhì)相結(jié)合,然后通過(guò)各個(gè)方案的屬性值與參考點(diǎn)之間的比較,來(lái)確定各個(gè)屬性與參考點(diǎn)之間的大小關(guān)系,并且計(jì)算各個(gè)屬性與參考點(diǎn)之間的距離,確定前景決策矩陣.

2.1 距離公式

由于傳統(tǒng)的海明距離和歐式距離公式只考慮了概率猶豫模糊元中元素值之間的差異,沒(méi)有將概率猶豫模糊元中元素個(gè)數(shù)的差異考慮進(jìn)去,可能會(huì)導(dǎo)致決策信息的丟失.為了充分考慮決策者之間意見(jiàn)猶豫不決的程度,本文針對(duì)猶豫值的個(gè)數(shù),給出了猶豫度;綜合考慮猶豫度以及元素值之間的差異,提出拓展的海明距離公式、拓展的標(biāo)準(zhǔn)歐式距離公式、拓展的一般歐式距離公式、拓展的加權(quán)海明距離公式、拓展的加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)歐式距離公式以及拓展的加權(quán)一般歐式距離公式.

定義7.設(shè)非空集合X為一個(gè)給定的論域,HP為集合X上的一個(gè)概率猶豫模糊集,l為概率猶豫模糊元h(Px)中元素的個(gè)數(shù),令:

稱(chēng)u(h(Px))為概率猶豫模糊元h(Px)的猶豫度,u(HP)為概率猶豫模糊集HP的猶豫度.概率猶豫模糊元中元素的個(gè)數(shù)越多,猶豫程度越大.當(dāng)且僅當(dāng)概率猶豫模糊元中元素個(gè)數(shù)為1 時(shí),其猶豫度為0.

(1)概率猶豫模糊元h1(Px)與h2(Px)之間拓展的海明距離為:

(2)概率猶豫模糊元h1(Px)與h2(Px)之間拓展的標(biāo)準(zhǔn)歐式距離為:

(3)概率猶豫模糊元h1(Px)與h2(Px)之間拓展的一般歐式距離為:

(4)概率猶豫模糊元h1(Px)與h2(Px)之間的拓展的加權(quán)海明距離為:

(5)概率猶豫模糊元h1(Px)與h2(Px)之間拓展的加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)歐式距離為:

(6)概率猶豫模糊元h1(Px)與h2(Px)之間拓展的加權(quán)一般歐式距離為:

其中,l=max(l1,l2),0≤μ,ν≤1且 μ +ν=1,φ >0.特別的,當(dāng)φ=1且 μ=ν=0.5時(shí),式(7)退化為拓展的海明距離,即式(2);當(dāng) φ=2 且μ=ν=0.5時(shí),式(7)退化為拓展的標(biāo)準(zhǔn)歐式距離,即式(3);當(dāng)μ=ν=0.5時(shí),式(7)退化為拓展的一般歐式距離,即式(4);當(dāng) φ=1時(shí),式(7)退化為拓展的加權(quán)海明距離,即式(5);當(dāng) φ=2時(shí),式(7)退化為拓展的加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)歐式距離,即式(6).

性質(zhì)1.式(2)中的距離D(h1(Px),h2(Px))滿(mǎn)足:

① 0≤D(h1(Px),h2(Px))≤1;

②D(h1(Px),h2(Px))=0,當(dāng)且僅當(dāng)h1(Px)=h2(Px);

③D(h1(Px),h2(Px))=D(h2(Px),h1(Px)).

證明:

① 因?yàn)?0≤u(h1(Px))≤1,0≤u(h2(Px))≤1,則0≤|u(h1(Px))?u(h2(Px))|≤1;又因?yàn)?≤γ1λ·P1λ≤1,因此故0≤D(h1(Px),h2(Px))≤1.

②若h1(Px)=h2(Px),則u(h1(Px))=u(h2(Px))且γ1λ·P1λ=γ2λ·P2λ,因此|u(h1(Px))?u(h2(Px))|=0且,故D(h1(Px),h2(Px))=0;

若D(h1(Px),h2(Px))=0,則|u(h1(Px))?u(h2(Px))|=0且因此u(h1(Px))=u(h2(Px))且γ1λ·P1λ=γ2λ·P2λ,故h1(Px)=h2(Px).

因?yàn)閨u(h1(Px))?u(h2(Px))|=|u(h2(Px))?u(h1(Px))|且故 D({h_1}({P_x}),{h_2}({P_x}))=D(h2(Px),h1(Px))

同理可得式(3)～式(7)也滿(mǎn)足性質(zhì)1 的內(nèi)容,此處不再贅述.

2.2 建立前景決策矩陣

在多屬性{決策問(wèn)題中,設(shè)}方案集A={Ai|i=1,2,···,m},屬性集決策矩陣為B=[Bij]m×n,其中,Bij表示第i個(gè)方案的第j個(gè)屬性值,決策者根據(jù)已經(jīng)獲得的信息以及對(duì)未來(lái)的預(yù)期給出了關(guān)于屬性的期望向量E={E1,E2,···,En}.

根據(jù)定義4 中通過(guò)計(jì)算概率猶豫模糊元的得分函數(shù)以及方差來(lái)確定兩個(gè)概率猶豫模糊元之間的大小關(guān)系的比較方法,確定Bij與Ej之間的大小關(guān)系,從而判斷各個(gè)方案在該屬性下相對(duì)于期望是”收益”還是”損失”.

當(dāng)Bij≥Ej時(shí),表示第i個(gè)方案的第j個(gè)屬性相對(duì)于期望值Ej是獲得收益的;當(dāng)Bij

以Ej為參考點(diǎn),則Bij的前景價(jià)值函數(shù)為:

其中,α、β 分別表示偏好風(fēng)險(xiǎn)和厭惡風(fēng)險(xiǎn)的系數(shù),且0<α、β <1;θ 表示損失規(guī)避系數(shù),且θ >1.α、β 越大,表示決策者越傾向于冒險(xiǎn);θ越大,表示決策者面對(duì)損失時(shí)的規(guī)避程度越大.

關(guān)于3 個(gè)參數(shù)α、β 以及θ 的取值,Tversky 等[16]通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)測(cè)試以及相關(guān)分析,得出一組能夠表示任意決策者心理行為的參數(shù)值α=β=0.88,θ=2.25.另外,文獻(xiàn)[18,19]通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)這3 個(gè)參數(shù)的取值進(jìn)行了相關(guān)的分析研究,得到了與上述取值非常相近的參數(shù)值.此外,文獻(xiàn)[13,20]在研究應(yīng)用中也采用上述的參數(shù)值,可見(jiàn)上述參數(shù)值在實(shí)際的決策中具有非常重要的意義.因此,本文在后續(xù)的算例分析中也采用上述參數(shù)值進(jìn)行計(jì)算.

最后通過(guò)計(jì)算前景價(jià)值函數(shù),建立前景決策矩陣V=[v(Bij)]m×n.

2.3 確定屬性權(quán)重

設(shè)方案集A={Ai|i=1,2,···,m},屬性集C={Cj|j=1,2,···,n},屬性權(quán)重為w=(w1,w2,···,wn)T,wj∈[0,1]且本文基于離差最大化思想構(gòu)建在概率猶豫模糊集環(huán)境下的屬性權(quán)重確定模型.具體模型如下[6]:

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)來(lái)求解上述模型:

對(duì)式(9)分別關(guān)于wj、η求偏導(dǎo),并設(shè)其為0,獲得等式如下:

求解式(10)得:

對(duì)wj進(jìn)行單位化得屬性權(quán)重為:

3 決策步驟

對(duì)于概率猶豫模糊多屬性決策問(wèn)題,根據(jù)上述的定義、性質(zhì)以及分析,本文提出基于前景理論的概率猶豫模糊多屬性決策方法,具體步驟如下:

步驟1.專(zhuān)家以概率猶豫模糊元的形式給出每個(gè)方案在各個(gè)屬性下的評(píng)價(jià)值,得到概率猶豫模糊決策矩陣B=[Bij]m×n.

步驟2.對(duì)決策矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理,得到標(biāo)準(zhǔn)化概率猶豫模糊決策矩陣標(biāo)準(zhǔn)化方法如下:

將屬性分類(lèi)為效益性屬性以及成本型屬性,若屬性Cj為效益性屬性,則原決策矩陣中的概率猶豫模糊元保持不變;若屬性Cj為成本型屬性,則原決策矩陣中的概率猶豫模糊元為其補(bǔ)集.即:

步驟3.決策者給出屬性期望向量E={E1,E2,···,En},并且采用定義8 中的公式計(jì)算B′ij與Ej之間拓展的距離,得到距離矩陣

步驟6.計(jì)算各個(gè)方案的綜合前景值:

再進(jìn)行排序并選擇最優(yōu)方案,的值越大,表示方案越優(yōu).

4 算例分析

4.1 算例分析

某企業(yè)現(xiàn)需要購(gòu)買(mǎi)ERP 系統(tǒng)軟件且利用評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)ERP 系統(tǒng)進(jìn)行選擇,評(píng)價(jià)指標(biāo)從獨(dú)立性、可測(cè)性、層次性、簡(jiǎn)明性和經(jīng)濟(jì)性5 個(gè)原則出發(fā)進(jìn)行設(shè)立.現(xiàn)有4 個(gè)ERP 系統(tǒng)軟件品 牌A1、A2、A3、A4可供 選擇,通過(guò)建立4 個(gè)屬性C1(軟件信譽(yù)和服務(wù)水平)、C2(成本體系)、C3(功能滿(mǎn)足程度)和C4(系統(tǒng)性能)作為ERP 系統(tǒng)軟件評(píng)價(jià)指標(biāo)體系.其中,C2屬于成本型屬性,C1、C3和C4屬于效益型屬性.四個(gè)屬性對(duì)應(yīng)的權(quán)重向量為未知.決策者以概率猶豫模糊數(shù)的形式給出各個(gè)屬性的期望向量為:

運(yùn)用本文方法選擇最優(yōu)方案的步驟如下:

步驟1.決策者以概率猶豫模糊數(shù)的形式給出決策值,構(gòu)建決策矩陣B=[Bij]m×n如表1所示.

表1 決策矩陣

步驟2.對(duì)決策矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理,得到標(biāo)準(zhǔn)化概率猶豫模糊決策矩陣如表2所示.

表2 標(biāo)準(zhǔn)化后的決策矩陣

步驟3.運(yùn)用概率猶豫模糊拓展的標(biāo)準(zhǔn)歐式距離公式(3)計(jì)算決策值與期望值之間的距離,得到距離矩陣如表3所示.

表3 距離矩陣

步驟4.結(jié)合距離矩陣以及式(8),計(jì)算屬性值相對(duì)于參照點(diǎn)的收益或損失,建立前景決策矩陣如表4.

表4 前景決策矩陣

步驟5.運(yùn)用式(12)計(jì)算各個(gè)屬性的權(quán)重,得到屬性權(quán)重向量:

步驟6.運(yùn)用式(13)計(jì)算各個(gè)方案的綜合前景值:

最后,根據(jù)各個(gè)方案的綜合前景值,將方案進(jìn)行排序?yàn)锳3>A4>A2>A1.

4.2 比較分析

如果采用文獻(xiàn)[21]提供的方法,參考點(diǎn)全部取為各個(gè)屬性下的中位數(shù),計(jì)算相應(yīng)的決策參考點(diǎn)和綜合前景值,得到方案的綜合前景值為:

將方案進(jìn)行排序?yàn)锳3>A4>A1>A2.

從結(jié)果可以看出,文獻(xiàn)[21]提出的方法與本文提出的方法雖然最優(yōu)方案都是A3,但是總體排列順序不同,本文方法得出的結(jié)果是方案A2優(yōu)于方案A1,而文獻(xiàn)[21]得出的結(jié)果是方案A1優(yōu)于方案A2,并且從綜合前景值的具體數(shù)值來(lái)看,文獻(xiàn)[21]方法的數(shù)值之間相隔較近,與本文方法相比其區(qū)分度較不明顯,這主要是因?yàn)椴捎弥形粩?shù)作為決策參考點(diǎn)時(shí),不能很好地反映決策者的心理預(yù)期,而用期望值作為決策參考點(diǎn)得出的結(jié)果能夠充分考慮決策者的心理行為,更能有效地和前景理論相結(jié)合.

若假設(shè)決策矩陣中的每個(gè)隸屬度屬于給定集合的概率相同,即以猶豫模糊集的形式給出決策矩陣中的元素,并運(yùn)用本文的方法計(jì)算出各個(gè)方案的綜合前景值為:

將方案進(jìn)行排序?yàn)锳3>A4>A1>A2

從排序結(jié)果可以看出,在以猶豫模糊集形式給出決策信息的環(huán)境下與本文中以概率猶豫模糊集形式給出決策信息的環(huán)境下雖然最優(yōu)方案都是A3,但是總體排列順序不同,以概率猶豫模糊集形式表示決策信息得出的結(jié)果是方案A2優(yōu)于方案A1,而以猶豫模糊集形式表示決策信息得出的結(jié)果是方案A1優(yōu)于方案A2,原因在于在以猶豫模糊集形式表示決策信息,只體現(xiàn)了每個(gè)隸屬度的值,認(rèn)為每個(gè)隸屬度屬于給定集合的概率是相同的,而在實(shí)際決策過(guò)程中,決策者認(rèn)為某些隸屬度屬于給定集合的概率大于其他隸屬度,這是很正常的現(xiàn)象.因此在沒(méi)有考慮每個(gè)隸屬度屬于給定集合的概率的猶豫模糊集環(huán)境下,得出的排序結(jié)果相對(duì)而言沒(méi)有很好地符合決策者的預(yù)期.

5 結(jié)論

本文將前景理論運(yùn)用到概率猶豫模糊集的環(huán)境中,提出了一種基于前景理論的概率猶豫模糊多屬性決策方法.首先根據(jù)每個(gè)概率猶豫模糊元中的元素個(gè)數(shù)的不同,給出能夠表現(xiàn)出決策者的猶豫程度的猶豫度公式,再結(jié)合元素值之間的差異,給出了拓展的海明距離以及歐式距離,其更能夠表示出決策者的心理偏好,并且基于距離矩陣采用離差最大化法計(jì)算屬性權(quán)重;然后以決策者的期望值為參考點(diǎn)建立前景決策矩陣,這能夠?qū)Q策者的心理風(fēng)險(xiǎn)因素引入到概率猶豫模糊集的多屬性決策中.該方法能夠?qū)⑿睦韺W(xué)與管理決策過(guò)程有機(jī)地結(jié)合起來(lái),更能夠反映出人們?cè)诿鎸?duì)模糊信息時(shí)的決策行為,能夠?yàn)楦怕湿q豫模糊環(huán)境下的多屬性研究提供一種新的思路,是概率猶豫模糊集的有益擴(kuò)展,可以用于應(yīng)急決策、創(chuàng)新投資決策等實(shí)際問(wèn)題中.在后面的研究中,重點(diǎn)研究將前景理論放在動(dòng)態(tài)的概率猶豫模糊集環(huán)境中,反映出每個(gè)時(shí)間段由于獲得信息的不同,決策者對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度是不同的,從而選擇的決策方案可能也會(huì)存在不同的決策問(wèn)題.