三參曲線光滑融合的構造及參數的優化

查東東，張 迪，劉華勇

(安徽建筑大學數理學院，安徽 合肥 230601)

在計算機輔助幾何設計中，計算容易、結構簡單的Bernstein-Bézier曲線，仍存在控制多邊形不變時，不能調整曲線外形的缺點。為了克服這一缺點，學術界提出了引入形狀參數來構造曲線曲面的思路，例如，文獻[1]構造了形狀可調的有理三角Bézier基函數；文獻[2]將形狀及光滑度可調的曲線曲面推廣到三角函數空間；文獻[3]構造了能精準表示多種曲線的三角多項式均勻B樣條；文獻[4]分析了平面三角多項式Bézier曲線的形狀分區，上述曲線曲面除了繼承原有的特性，還能通過形狀參數來調整曲線曲面；文獻[5]討論了曲線曲面的較高階光滑拼接；文獻[6]介紹了將曲線曲面混合公式推廣到N階連續的方法；文獻[7]融合了2種參數曲線；文獻[8]給出了任意逼近多邊形的曲線曲面參數樣條等。

本文將文獻[2]的思路拓展至多項式，提出了三參曲線的拼接算法，構造出的曲線能實現較高的光滑拼接外，還可以用形狀參數修改曲線。但曲線在滿足融合外，還需對參數的選取做出一定要求，這就要求得對參數選取進行優化。文獻[9]構造的過渡曲線曲面既能形狀可調，又能保參數方向；文獻[10]介紹了曲線能量最小化的形參計算公式；本文又研究了三參曲線的參數選取，借由能量模型，以獲得盡可能光順的曲線[9]。

1 帶有形狀參數的三參函數的構造

定義1.文獻[11]給出了由4個含參數λ的多項式函數構成的函數組

其中，0≤t≤1，-3≤λ≤1，則稱

為含有λ，α1，α2的調配函數，簡稱三參函數，其中0≤t≤1，-3<λ≤1，0≤α1<1，0<α2≤1。

由bi(t)(i=0,1,2,3)的性質，很容易得到三參函數的性質：

性質1.非負性：對于-3<λ≤1，0≤α1<1，0<α2≤1，則有Bi(t;λ,α1,α2)≥0(i=0,1,2,3)。

性質2.權性：由bi(t)的權性易證，，0≤t≤1。

性質3.退化性：當α1=0，α2=1時，Bi(t;λ,α1,α2)退化成bi(t)(i=0,1,2,3)。

性質4.對稱性：當α1+α2=1時，B3(1-t;λ,α1,α2)=B0(t;λ,α1,α2)，B2(1-t;λ,α1,α2)=B1(t;λ,α1,α2)。

性質5.端點性質

2 帶有形狀參數的三參曲線的定義和性質

定義2.給定頂點Pi∈Rd(d=2,3;i=0,1,2,3)，0≤t≤1，稱

為含有λ，α1，α2的曲線，簡稱三參曲線，其中Bi(t;λ,α1,α2)為三參函數，-3<λ≤1，0≤α1<1，0<α2≤1。

三參曲線具有以下性質：

性質1.對稱性：由三參函數的性質3可知，當確定參數α1+α2=1以及λ時，由僅次序不同的控制多邊形與基函數生成的新曲線記作Ci(t)，即有Ci(t)=Ri(1-t)。

性質2.凸包性：由三參函數的權性和非負性可知，其多邊形控制的凸包完全包圍了三參曲線。

性質3.仿射不變性和幾何不變性：三參曲線的形狀僅依賴于控制頂點Pi(i=0,1,2,3)，幾何變換不改變曲線的形狀

其中，Q為任意向量，且Q∈Rd(d=2,3)；M為任意k×k(k=2,3)階矩陣。

性質4.端點性質

性質5.形狀可調性：三參曲線會隨著給參數λ，α1，α2選擇不同的值，曲線形狀被調整的程度也各不相同。

圖1(a)~(c)是依次僅改變單一參數，而其他參數取值不變時所獲取的三參曲線。在圖1(a)中，固定λ，α2取值，從上至下取α1=0.8，0.5，0.2；圖1(b)中，固定λ，α1值，從上至下取α2=0.2，0.5，1；圖1(c)中，固定α1，α2值，從上至下取λ=1，0，-1。由此可看出各參數的效果：4個控制頂點從左往右依次為P0，P1，P2，P3，則α1確定曲線在控制多邊形邊P0P1上的起點，α2確定曲線在邊P2P3上的終點，而λ越大，曲線整體就越靠近控制多邊形P0P1P2P3。

3 帶有形狀參數的三參曲線融合

3.1 帶形狀參數的三參曲線的拼接

圖1 α1，α2，λ分別取值不同時對曲線的影響Fig. 1 The influence of different values of α1, α2, λ on the curve

定理1.滿足時，R1(t)和R2(t)在連接點處滿足G2連續。

證明：由曲線端點性質可知

即曲線滿足G0連續；又由端點性質可得

則有

故曲線滿足G1連續，其中，；又由端點性質可得

則有

故曲線滿足G2連續，其中，

由定理1表明，若能做到R1(t)的控制多邊形的邊和R2(t)的控制多邊形的邊重合，且滿足，則R1(t)和R2(t)自動滿足G2連續。圖2給出了不同參數取值下的R1(t)，R2(t)實現G2連續的實例。其中，箭頭為曲線的曲率。

3.2 帶形狀參數的三參曲線的組合及應用

定義3. 假設給定了2l+2 (l≥1)個控制頂點Pi∈Rd(d=2,3;i=0,1,2,···,2l+1)，0≤t≤1，以及形狀參數，可以定義第j(j=1,2,···,l)段組合三參曲線為

組合的三參曲線具有以下共同點：①每個控制多邊形及基函數決定一段三參曲線；②確定控制多邊形后，每相鄰兩段的三參曲線能夠實現G2連續的拼接；③每段三參曲線的形狀參數都不同，也可在給定若干對控制頂點時，組合三參曲線可以依靠形狀控制參數來實現閉合曲線。

圖2 帶形狀參數的三參曲線的拼接Fig. 2 Blending of three-parameter curves with shape parameters

此外，還將三參曲線與原基函數曲線、三次B樣條曲線進行了比較：①以控制多邊形為目標函數，引入均方根誤差(root mean square error, RMSE)來衡量曲線到控制多邊形的逼近程度。以單段曲線為例，給定頂點P0=(1,2)，P1=(1,3)，P2=(3,3)，P3=(3,2)，三參曲線和原基函數曲線共同參數λ=0，三參曲線其他參數為α1=0.5，α2=0.5，算出三參曲線的RMSE值為0.280 2，小于原基函數曲線的RMSE值0.564 1，故三參曲線比原基函數曲線更貼近控制多邊形，如圖3所示；②比較3種算法的時間復雜度，在本機實驗中，借助Matlab使用tic+函數+toc的方法計算出各種算法的運行時間，以運行時間近似替代。為減少誤差，故算法運行時間的選取為：每種算法一組實驗執行100次算法循環，取其運行時間的平均值，做10組實驗，再取10組平均運行時間的最優值，再比較3種算法的運行時間最優值，多次實驗后可以看出，改進算法略為領先，但三者相差不大；③滿足G2連續的條件，三參曲線要比原基函數曲線簡單，同時三參曲線還具有調節曲線形狀的優點。不同算法的性質對比見表1。

圖3 組合三參曲線的自由光滑融合和應用Fig. 3 Smooth blending and application of combined three-parameter curve

表1 不同算法的對比Table 1 Comparison of different algorithms

4 基于最小彎曲能量選取最優參數

由定義2可將三參曲線R(t)分別寫成固定其他兩個參數，討論一個單獨參數的形式，即

其中，

光順準則[12]提出，曲線R(t)的光滑程度可近似地由能量值來刻畫，Ec越小，則曲線R(t)越光順。為了使能量值Ec盡可能小，在頂點和參數α1，α2取值已經被確定時，只需再考慮λ的取值，得能量方程為

將式(14)代入式(18)，經過整理得

其中，Ai(i=1,2,3)為常數，分別為，。

例1.有P0=(2,0),P1=(3,3),P2=(5,3),P3=(6,0)，形狀參數α1=0.5，α2=0.5，求得A1=3，A2=-9，A3=27，獲得能量方程為

又因為-3<λ≤1，故取λ=1時，獲得最小彎曲能量minEc（λ）=12，如圖4所示。

圖4 α1，α2確定時三參曲線能量值曲線Fig. 4 Energy value curve of three-parameter curve when α1, α2 is determined

同理，在頂點和參數λ，α2取值已經被確定時，只需再考慮α1的取值，得能量方程為

將式(15)代入式(21)，經過整理可得

其中，Bi(i=1,2,3)為常數，分別為，。

例2. 有P0=(2,0),P1=(3,3),P2=(5,3),P3=(6,0)，形狀參數α2=1，λ=-1求得B1=24/5，B2=0，B3=48，獲得能量方程為

又0≤α1<1，故取α1=0時，得minEc(α1)=48，如圖5所示。

圖5 λ，α2確定時三參曲線能量值曲線Fig. 5 Energy value curve of three-parameter curve when λ, α2 is determined

同理，在頂點和參數λ，α1取值已經被確定時，只需再考慮α2的取值，得能量方程為

將式(16)代入式(24)，經過整理可得

其中，Ci(i=1,2,3)為常數，分別為，。

例3.有P0=(2,0),P1=(3,3),P2=(5,3),P3=(6,0)，參數α1=0.5，λ=1求得C1=144/5，C2=-132/5，C3=156/5，獲得能量方程為

又因為0<α2≤1，故取α2=11/12時，得到最小彎曲能量minEc(α2)=7，如圖6所示。

圖6 λ，α1確定時三參曲線能量值曲線Fig. 6 Energy value curve of three-parameter curve when λ, α1 is determined

依次將圖4~6和圖1(a)~(c)分別對比，可看出：①在參數α1，α2固定時，λ取值越大，三參曲線彎曲能量越小，此時三參曲線越逼近控制多邊形；②當λ，α1固定時，α2取值越大，三參曲線彎曲能量越小；③而λ，α2固定時，α1取值越大，三參曲線彎曲能量反而越大；但后兩種情況有一共同點：此時的三參曲線均為越遠離控制多邊形，彎曲能量越小，這是由其參數對稱性所決定的，且α1，α2分別確定曲線的起始點。

進一步考慮三參曲線組合時的最優參數選取，以3.2節的組合三參曲線為例，在保證每個控制多邊形構造的三參曲線滿足G2連續的情況下，同時對每段曲線加以最小彎曲能量約束，最終得到唯一確定的具有能量約束的組合三參曲線。

類比式(16)~(17)可以將第j段三參曲線Rj(t)(j=1,2,···,l)依次寫作

由式(13)和能量準則可知，第j段三參曲線的能量值為

其中，i=1,2,3，且

在保證組合曲線滿足G2連續的同時，選擇最優的參數，故對l段組合三參數曲線，給定下列能量方程為

例4.有(7,3.5)，形狀參數為，，分別求得獲得能量方程為

圖7(a)中箭頭是曲線的曲率，圖7(b)是曲線拼接點處曲率的放大圖。優化后的曲線還是可以實現G2連續，圖7(c)標注了未優化的曲線和優化的曲線最大曲率點，圖7(d)給出了未優化的第一段曲線和優化的第一段曲線的曲率對比。顯然，關于最高曲率，未優化曲線比優化曲線要大；其次，曲線整體曲率上，未優化的曲線也是比優化曲線要大。故優化后的曲線具有更小的彎曲能量。

圖7 形狀參數的選取Fig. 7 Selection of shape parameters

5 結束語

本文構造了帶有形狀參數的三參函數，在繼承原有性質外，曲線滿足G2連續的融合條件也比較簡單，本文中給出了一些參數不同取值下的曲線形狀可調的實例。此外，本文利用最小能量值來選取最佳參數，可以看出各參數取值不同，曲線能量也各異，故選取最佳參數有助于過渡曲線盡可能光順。但這是基于單參數的優化，有關多參數的同

時優化問題還有待研究和解決。