基于Melan解的地基變形計算分析研究

周 佺

(西南交通大學土木工程學院，四川成都 610031)

1 地基變形計算

在各類工程設計中，對地基土進行沉降計算時，其計算方法多數以太沙基一維固結理論為基礎，假設地基土只產生豎向沉降位移，而忽略了水平位移，與實際工程情況不符。但隨著我國經濟的蓬勃發展，高層建筑、高速鐵路、高速公路等工程的數量逐漸增多，規模不斷擴大，對地基土變形的要求也變得更為嚴格。因此，如何準確地預測地基土在荷載作用下產生的變形就顯得尤為重要[1-2]。

將巖土工程問題簡化為彈性半無限空間問題或平面問題是解決相關巖土問題的一種常用方法，該方法可運用彈性理論解對地基土的變形進行預測。曾國熙[3]基于Boussinesq解推導了多種豎向荷載作用下泊松比為0.5的軟黏土地基在彈性階段的側向位移理論公式。王華寧[4]利用對稱性方法修正了Flamant位移解，給出了預測地表分布荷載作用下地基變形的沉陷公式。劉光秀[5]利用彈性理論解及平面應變問題給出了不同荷載類型下的地基側向變形公式。

目前，學者們對地基變形的研究主要為作用在土體表面的荷載所引起的土體變形，而對作用在土體內部的荷載引起的地基變形研究相對較少。因此，本文在由彈性半無限平面內受豎向荷載作用的Melan應力解[6]推導Melan位移解的基礎上，考慮豎向荷載作用下Melan位移解的鏡面對稱性，并利用彈性力學幾何方程，確定位移解中的待定函數，推導出作用在土體內部的豎向荷載下的地基土變形解析解，且使得解析解在距離荷載作用點一定范圍內收斂，并與有限元計算結果進行對比分析驗證解析解的正確性。

2 Melan位移解推導

1932年，Melan在Mindlin解[7]的基礎上，推導了彈性半無限平面內受線性荷載作用的應力解，即Melan應力解。本文在xy坐標系下，利用Melan應力解對豎向荷載作用下產生的Melan位移解進行推導，Melan解計算模型，如圖1所示。

圖1 Melan解計算模型

在彈性半無限平面內部作用豎向荷載時，在xy坐標系下，Melan應力解[8]為

(1)

(2)

(3)

c為豎向線荷載作用深度；

由彈性力學可得，平面應變問題中物理方程為

(4)

(5)

(6)

式中：εx為x方向正應變；

εy為y方向正應變；

γxy為剪應變；

平面應變問題中的幾何方程為

(7)

(8)

將式(4)、式(5)代入式(7)、式(8)中，則水平位移可表示為

(9)

則豎向位移的表達式為：

(10)

將Melan應力解式(1)、式(2)代入式(9)、式(10)中，可以得到彈性半無限平面內部c處受豎向荷載作用時產生的Melan位移解。

水平位移：

(11)

豎向位移：

(12)

式中：A(y)、B(x)為待定函數。

考慮Melan位移解在彈性半無限平面內受豎向荷載作用時具有鏡面對稱性，所以

u(-x,y)=-u(x,y)

(13)

w(-x,y)=w(x,y)

(14)

所以:

u(-x,y)+A(y)+u(x,y)+A(y)=0

(15)

因此，A(y)=0。

平面應變問題中幾何方程為

(16)

其中

(17)

將式(11)、式(12)代入式(16)中，式(3)代入式(17)中，整理后得

(18)

所以，B(x)為常數，令B(x)=B。

Melan位移解表達式為:

(19)

(20)

當y=0時，則Melan位移解為：

(21)

(22)

可以看出，在y=0時，荷載在地表產生的水平位移隨著水平距離x的增加而趨于一個定值，而豎向位移隨著水平距離x的增加而增加，其位移值不收斂。

當x=0時，則Melan位移解為:

u=0

(23)

(5-2v0+v02)ln(y+c)2]+B

(24)

由以上推導可以發現，Melan豎向位移解是發散的，即位移計算點位置距離荷載作用點越遠，Melan位移解計算結果越大，與實際巖土工程不符。王敏中[9]利用發散積分的有限部分將三維空間位移解簡化為二維平面位移解得到了Melan位移解。王林中[10]指出對空間問題的相對位移求積，可解決在推導Melan位移解時由空間問題向平面問題積分而產生地發散積分問題。雷國輝[11]將Melan解析解、Flamant解析解與有限元分析計算結果進行對比分析，結果表明：在彈性半無限平面內及平面邊界面上，線荷載作用方向產生的相對位移解答不收斂且具有多值性，并認為將巖土工程問題作為半空間問題分析更為合理。

因此，為了使得Melan豎向位移解收斂，并考慮在實際土木工程中，由荷載作用引起的位移只會在距離作用點一定范圍內產生。因此，本文考慮當x=0時，在距離原點一定位置處，即y=y0，w=0，代入式(24)中，由此得解得：

v0)ln((y0-c)2)-(5-2v0+v02)ln((y0+c)2)]

(25)

y0可根據巖土工程條件和荷載作用大小進行確定。

所以，Melan位移解為:

(26)

(27)

3 算例

為驗證求得的地基變形解析解的正確性，本文將解析解的計算結果與ABAQUS有限元模擬的計算結果進行對比分析。

有限元ABAQUS計算模型，如圖2所示。計算參數如下：豎向集中力為P=100kN，集中力作用深度c=10m，彈性模量E=30MPa，泊松比v=0.3，y0=100m。在模型的左右邊界設置水平和豎向位移約束，在模型下邊界設置豎向位移約束。

圖2 有限元計算模型

3.1 地基水平變形

如圖3所示，為解析解和有限元分析在水平距離荷載作用點2 m和10 m位置處地基土的水平變形分布曲線。

圖3 水平位移分布曲線

由圖3可以看出，解析解得到的計算結果和有限元分析的計算結果基本一致，吻合較好。

3.2 地基豎向變形

如圖4所示，為解析解和有限元分析在距離地表0 m、10 m、20 m和40 m深度處地基土的豎向變形分布曲線。

圖4 豎向位移分布曲線

由圖4可以發現，解析解得到的計算結果和有限元分析的計算結果基本一致，吻合較好，且在水平距離荷載作用點50 m(y0/2)位置處豎向位移趨于零，即地基土豎向變形在該范圍內收斂。距離地表越遠，地基土變形解析解和有限元分析的計算結果越接近，分布曲線越吻合；距離地表越近，分布曲線吻合度下降。這是因為距離地表越近，所受約束越少，對變形計算結果影響較大。

4 結束語

本文結合彈性力學物理方程和幾何方程，利用Melan應力解推導了Melan位移解，并在考慮Melan位移解受豎向荷 載作用時鏡面對稱性的基礎上，確定了Melan位移解中的待定函數，推導出基于Melan解的彈性半無限平面內受豎向荷載作用的地基變形解析解，并使得解析解在距離荷載作用點一定范圍內收斂。通過對有限元ABAQUS分析計算結果與解析解的計算結果進行對比分析，結果表明，解析解計算結果與有限元分析計算結果基本一致，吻合性較好，驗證了解析解的正確性。