任意截面鋼筋混凝土構(gòu)件容許應(yīng)力法配筋數(shù)值解法

徐建華，于貞波,胡玉珠

(中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司，四川成都 610031)

隨著鐵路橋梁向著大跨復(fù)雜結(jié)構(gòu)發(fā)展，越來越多地出現(xiàn)了多向受力且截面形狀復(fù)雜的構(gòu)件[1]。目前規(guī)范[2]只針對(duì)簡(jiǎn)單截面給出了容許應(yīng)力法配筋計(jì)算公式，但對(duì)大量的非常規(guī)復(fù)雜截面，特別是不對(duì)稱截面，其配筋計(jì)算難以用公式或解析方法來實(shí)現(xiàn)。余琪[3]對(duì)雙向大偏心受壓鋼筋混凝土矩形截面進(jìn)行了研究，從切角矩形截面的力學(xué)性質(zhì)入手，運(yùn)用迭代法求解了零應(yīng)力線。童森林[4]針對(duì)雙向受力的鋼筋混凝土圓端形截面配筋計(jì)算進(jìn)行了研究，通過將有效面積視作幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形的組合，通過一系列變換，迭代求解了最終零應(yīng)力線。楊詠漪[5]針對(duì)復(fù)雜截面復(fù)雜布筋的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的配筋，以AutoCAD為二次開發(fā)平臺(tái)，基于ObjectARX和VC++采用解析法、迭代法和圖解法相結(jié)合的方式，編制相應(yīng)的允許應(yīng)力法任意配筋程序。

以上研究前兩者針對(duì)常規(guī)截面，楊詠漪等雖然對(duì)任意面配筋問題進(jìn)行了研究，但截面特性計(jì)算依靠AutoCAD，未進(jìn)行理論推導(dǎo)，不利于直接編程。零應(yīng)力線的迭代，三者采用的方法基本一致，以斜率k和與X軸交點(diǎn)b兩個(gè)參數(shù)的二元非線性方程為目標(biāo)，受初始零應(yīng)力線選取影響，有不收斂現(xiàn)象且計(jì)算速度較慢。

本文針對(duì)鐵路橋梁任意截面鋼筋混凝土構(gòu)件容許應(yīng)力法配筋問題，在盡量簡(jiǎn)化截面前處理步驟的基礎(chǔ)上，擬通過解析法計(jì)算截面特性，并對(duì)零應(yīng)力線方程非線性求解過程進(jìn)行優(yōu)化，完善數(shù)值計(jì)算方法，以便于編程計(jì)算和工程應(yīng)用。

1 基于格林公式的截面特性計(jì)算

鋼筋混凝土截面一般由圓弧或線段圍成，對(duì)非圓弧或直線部分，也可等效為多個(gè)圓弧或直線的組合，進(jìn)而可將截面輪廓轉(zhuǎn)換為多段線或圓弧組合的結(jié)果。假定任意鋼筋混凝土截面D(圖1)是由線段{Lw1,Lw2,Lw3,…Lwn}和圓弧{Cw1,Cw2,Cw3,…Cwm}為外輪廓圍成的凸多邊形閉合區(qū)域，其內(nèi)輪廓是由線段{Ln1,Ln2,Ln3,…Lnn}和圓弧{Cn1,Cn2,Cn3,…Cnm}圍成的凸多邊形閉合區(qū)域。鋼筋按間距和直徑等效寬度為ti的條帶，各條帶為圓弧{Cs1,Cs2,Cs3,…Csm}或線段{Ls1,Ls2,Ls3,…Lsn}。

圖1 任意截面D示意

在配筋計(jì)算中關(guān)注的混凝土截面特性參數(shù)如面積、慣性矩等都是二重積分，直接積分較為困難。由于截面的任意性，將截面分割成簡(jiǎn)單圖形如矩形、三角形或扇形后進(jìn)行計(jì)算組合也不易實(shí)現(xiàn)。借用格林公式[6]可將截面特性計(jì)算從面積分轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的一重積分，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)混凝土截面特性的積分計(jì)算。以繞X軸慣性矩積分為例，見式(1)。實(shí)際工程中的混凝土構(gòu)件，其截面特性總是可以表達(dá)為外輪廓截面的特性與內(nèi)輪廓截面的特性之差，外輪廓截面和內(nèi)輪廓截面分別是單連通區(qū)域，可以運(yùn)用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算截面特性。

(1)

鋼筋按間距和直徑等效為條帶，條帶的寬度計(jì)算見式(2)。鋼筋面積及慣性矩等參數(shù)可表達(dá)為線積分，且由于鋼筋被簡(jiǎn)化為圓弧或直線條帶，曲線表達(dá)式簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)。

(2)

式(2)中，d為鋼筋直徑，Δ為鋼筋的間距。

2 截面內(nèi)力的平衡狀態(tài)及零應(yīng)力線的確定

一般截面內(nèi)力為作用于構(gòu)件形心處的內(nèi)力，進(jìn)行配筋計(jì)算前，應(yīng)將截面坐標(biāo)系原點(diǎn)移動(dòng)至截面形心處。同時(shí)，將截面坐標(biāo)系進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使得坐標(biāo)系X軸正方向與合彎矩方向(右手定則)一致，此時(shí)截面上內(nèi)力簡(jiǎn)化為軸力N，彎矩Mx，見圖2。

圖2 形心坐標(biāo)系下截面受力狀態(tài)示意

假定該坐標(biāo)系統(tǒng)為形心坐標(biāo)系，則在該坐標(biāo)系中零應(yīng)力線方程可表達(dá)為式(3)。

y=kx-b

(3)

當(dāng)截面為軸向受力構(gòu)件，彎矩Mx= 0時(shí)，零應(yīng)力線不存在，式(3)無解，應(yīng)作為特例處理，且受力簡(jiǎn)單，可根據(jù)截面特性方便地求得應(yīng)力，本文不再討論。當(dāng)彎矩Mx≠ 0時(shí)，截面零應(yīng)力線總是存在；當(dāng)零應(yīng)力線平行于Y軸時(shí)，零應(yīng)力線左右兩側(cè)合力必將形成彎矩My，截面內(nèi)力不平衡，故零應(yīng)力線不可能平行于Y軸，式(3)始終有解。后文僅針對(duì)彎矩Mx≠ 0的情況進(jìn)行討論。

在形心坐標(biāo)系下，零應(yīng)力線下方總是受壓區(qū)，零應(yīng)力線上方總是受拉區(qū)。零應(yīng)力線分割后的截面上任意一點(diǎn)(x,y)到零應(yīng)力線的距離為：

(4)

若h>0，則截面位于中性軸上方，是受拉區(qū)；反之位于受壓區(qū)。對(duì)給定的零應(yīng)力線，令受壓區(qū)混凝土截面為D1，鋼筋條帶為S1；令受拉區(qū)混凝土截面為D2，鋼筋條帶為S2；混凝土彈模為Ec，鋼筋彈模為Es。

(5)

此時(shí)，受壓區(qū)混凝土對(duì)原點(diǎn)合力為：

(6)

(7)

(8)

受壓區(qū)鋼筋對(duì)原點(diǎn)的合力為：

(9)

(10)

(11)

受拉區(qū)僅計(jì)鋼筋的作用，合力計(jì)算與式(9)～式(11)類似。全截面上合力：

(12)

(13)

(14)

上式中：ND1、MyD1、MxD1為受壓區(qū)混凝土合力，Ns1、Mys1、Mxs1為受壓區(qū)鋼筋合力，Ns2、Mys2、Mxs2為受拉區(qū)鋼筋合力。A、Ixy、Ix、Iy、Sx、Sy為不考慮受拉區(qū)混凝土?xí)r換算截面對(duì)坐標(biāo)系X或Y軸的截面特性。

由于My= 0，則由式(12)～式(14)有：

(15)

=(eIxy-Sy)k+(eSx-A)b

(16)

由式(15)和式(16)可知：

(17)

由式(15)可知，零應(yīng)力線參數(shù)k、和b相互關(guān)聯(lián)。式(17)構(gòu)建起了關(guān)于零應(yīng)力線參數(shù)b的一元非線性方程，可采用不動(dòng)點(diǎn)迭代法求解，零應(yīng)力線初始值選擇k= 0，b= 0即可。為保證結(jié)果足夠精確，可考慮采用力平衡作為迭代收斂條件，即：

(18)

式中：Ni、Mxi、Myi為第i次迭代計(jì)算得到的截面內(nèi)力，N、Mx為截面內(nèi)力輸入值。一般情況下考慮工程設(shè)計(jì)精度取Δ=1e-3即可。相比之前研究[5]采用的以零應(yīng)力線參數(shù)k或b作為收斂判定條件，由于k或b不能直接反應(yīng)截面內(nèi)力平衡條件偏差，所需迭代精度無法直接控制，而采用截面內(nèi)力作為迭代平衡條件較為直觀，方便掌控精度要求。一般迭代5～6次即可。

3 算例

根據(jù)本文方法，編寫了任意截面鋼筋混凝土構(gòu)件容許應(yīng)力法配筋計(jì)算程序(PRSC.exe)，并與相關(guān)文獻(xiàn)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

3.1 圓端形空心截面鋼筋混凝土構(gòu)件雙向受力計(jì)算分析

算例取自參考文獻(xiàn)[7]，具體計(jì)算參數(shù)見表1，計(jì)算結(jié)果對(duì)比見表2。可見，本文計(jì)算方法得到的結(jié)果與參考文獻(xiàn)結(jié)果吻合較好。本文計(jì)算中考慮了受壓區(qū)鋼筋位置扣除相應(yīng)的混凝土面積，故計(jì)算結(jié)果略大。對(duì)一些配筋較多的高墩其截面厚度薄，縱向鋼筋較多，應(yīng)考慮該效應(yīng)。本次計(jì)算迭代次數(shù)為5次。

表1 圓端型空心墩截面參數(shù)

表2 計(jì)算結(jié)果對(duì)比 MPa

3.2 圓端形實(shí)體截面混凝土構(gòu)件應(yīng)力重分布計(jì)算分析

算例取自參考文獻(xiàn)[7]，具體計(jì)算參數(shù)見表3，計(jì)算結(jié)果對(duì)比見表4。可見，本文計(jì)算方法得到的結(jié)果與參考文獻(xiàn)結(jié)果吻合較好。本次計(jì)算迭代次數(shù)為6次。

3.3 圓端形雙空心截面混凝土構(gòu)件雙向受力計(jì)算分析

算例取自參考文獻(xiàn)[5]，具體計(jì)算參數(shù)見表1，并在截面上設(shè)置了一道寬0.8 m的隔板。計(jì)算結(jié)果對(duì)比見表5。可見，本文計(jì)算方法得到的結(jié)果與參考文獻(xiàn)結(jié)果吻合較好。本次計(jì)算迭代次數(shù)為4次。

表3 圓端型實(shí)體墩截面參數(shù)

表4 計(jì)算結(jié)果對(duì)比 MPa

表5 計(jì)算結(jié)果對(duì)比 MPa

4 結(jié)論

(1)本文針對(duì)任意截面鋼筋混凝土構(gòu)件容許應(yīng)力法配筋問題，以格林公式為基礎(chǔ)，將截面輪廓轉(zhuǎn)換為多段線或圓弧，導(dǎo)出了任意截面特性數(shù)值計(jì)算公式。

(2)對(duì)截面零應(yīng)力線即開裂后截面受壓、受拉區(qū)分界線迭代計(jì)算進(jìn)行了簡(jiǎn)化，將對(duì)斜率k和與x軸交點(diǎn)b兩個(gè)參數(shù)的二元非線性方程簡(jiǎn)化為對(duì)b值的一元非線性方程，采用不動(dòng)點(diǎn)迭代法進(jìn)行計(jì)算，大大提高了求解效率。

(3)運(yùn)用本文方法編寫的任意截面鋼筋混凝土構(gòu)件容許應(yīng)力法配筋程序，在進(jìn)行鋼筋混凝土截面配筋計(jì)算和混凝土截面應(yīng)力重分布計(jì)算時(shí)穩(wěn)定、可靠、快捷。