利用pdepe函數和pdetool工具箱求解熱傳導問題

楚智媛

摘? 要：熱傳導問題是數學物理方向非常常見的問題。實際生活中的熱傳導問題通過數學建模都可以轉化為偏微分方程（組）問題。由于偏微分方程中含有多元函數的偏導數以及復雜的邊界條件，所以求解起來非常困難。該文將詳細介紹MATLAB中pdepe函數的用法以及pdetool工具箱的GUI操作界面的使用，并用其求解一維和二維熱傳導問題。

關鍵詞：熱傳導;MATLAB;pdepe函數;pdetool工具箱

中圖分類號：TK124? ? ? ? ? ? 文獻標志碼：A

1 熱傳導問題

熱傳導問題簡單來說就是物體之間或者是系統內存在著溫度差，這其中存在著熱量的傳遞。我們在建立熱傳導方程時，一般使用傅里葉定律和能量守恒定律這2個定律。通過這2個定律我們可以推導出熱傳導方程（Heat Equation）。我們可以推導出3種維數中的熱傳導方程（u表示所求函數，t表示時間）。

一維熱傳導模型公式為：

二維熱傳導模型公式為：

三維熱傳導模型公式為：

式中：x，y，z 表示空間直角坐標系下3個方向上的坐標。

偏微分方程學科和廣義函數論發展至今，仍有很多偏微分方程（組）無法求解，雖然有些偏微分方程求解起來比較困難，但是該文提到的熱傳導問題，我們可以使用MATLAB中的內部函數和現成的工具箱來求解。

2 MATLAB中的pdepe函數

MATLAB是由美國MathWorks提出的一種高性能的數學軟件，MATLAB中有很多內部函數，都是已經編輯好的程序，我們可以直接拿來使用，而且我們還可以根據自己的需要編寫一些我們自己的函數，以便化簡編程。pdepe函數就是其中一個非常好用的內部函數，使用它我們可以求解一維偏微分方程（組）問題[1]。

MATLAB中的pdepe函數很好理解，使用起來也很方便，但是在使用它的時候要注意要把微分方程（組）、初始條件、邊界條件轉化為pdepe函數所規定的一般格式。它的一般格式如公式（1）所示。

式中：m代表參數，這個參數的取值只能是0，1，2。pdex表示問題描述函數即偏微分方程，只是這個函數要寫成MATLAB中規定的格式。我們通過改寫偏微分方程，將其改為公式（2）的形式。

式中：u表示所求函數，x表示自變量，t表示時間，我們需要求出4個待定系數m，c，f，s。

pdeic表示偏微分方程的初始條件，pdebc表示偏微分方程的邊界條件，但是在MATLAB中我們也要按照要求，把邊界函數寫成pdepe函數要求的形式，如公式（3）所示。

式中： 和表示pdepe函數邊界條件規定形式下的待定系數函數。在邊界條件中我們需要找到pl，pr，ql，qr這4個函數，其中pl和ql為pdepe函數中要求形式下的左邊界的函數，pr和qr為pdepe函數中要求形式下的右邊界的函數，這里面4個函數的確定是比較難理解的，我們需要弄清這些函數都與那些變量有關系，然后根據題目中給定的邊界條件套入公式，從而確定pl，pr，ql，qr。公式（3）中x和t代表函數變量。

我們在利用pdepe函數求解時要注意，pdex，pdeic，pdebc要分別寫在3個函數式文件當中，在分別構建好這3個函數式文件之后，我們在回到M文件窗口編寫主程序，在主程序中我們可以調用我們之前寫好的這3個pdex，pdeic，pdebc函數[2]。

3 利用pdepe函數求解一維熱傳導問題

要想讓熱傳導方程存在一個確定的解，我們就要給這個方程配上相應的初值條件和邊界條件。該文以一維非齊次線性邊界條件的熱傳導方程為例，給出如下問題：有一根細桿，在這個桿上存在著熱傳導問題，桿的長度為1 m，導熱系數為k=0.85 W/（m·k），它的初始分布為u（x，0）=sin（πx），細桿的兩端是絕熱的，于是它的邊界條件為Neumann邊界條件，綜上所述，該熱傳導問題可以通過公式（4）求解。

式中： 為未知函數關于x方向上的偏導數。

根據列出的方程，我們在MATLAB中要先建立3個函數式文件，分別把方程、初始條件、邊界條件按照pdepe函數所規定的樣子進行改寫，然后寫出pdex，pdeic，pdebc函數，然后我們再建立一個命令式文件進行總體編程，然后畫出兩幅圖像。根據MATLAB程序，我們可以得到解的平面圖，如圖1所示。

由圖1我們可以看出，在這根細桿的兩端沒有熱交換，它是絕熱的，這個解最后慢慢趨于穩定，最后桿的溫度在0.65 ℃左右。

4 MATLAB中pdetool工具箱的使用方法及局限性

MATLAB中的pdetool工具箱能夠為偏微分的求解提供很多方便，它通過GUI界面直接選擇偏微分方程的條件，然后直接可作出相應解的圖像，下面我們詳細介紹一下pdetool工具箱的使用方法[3]，其總共分為6步。1）在命令窗口中輸入pdetool，進入到GUI界面。2）在pdetool工具箱的工具欄中，有橢圓、矩形等一些圖形，可以點擊圖形進行區域的繪制。所畫的區域還可以選擇加密，使最后得到的結果更細化一些。3）在菜單欄中有boundary菜單，選擇specify boundary conditions，就會出現一個設置邊界條件的對話框，這個里面有2種條件，一個是狄利克雷條件，一個是Neumann條件，選擇相應的條件，將已知的邊界條件代入方程，求出h和r（其中h和r 表示邊界條件上的參數）。4）接著點擊PDE菜單，選擇PDE Specification，就會出現一個設置偏微分方程類型的對話框，里面可供選擇的類型有4種，分別是拋物型、橢圓型、雙曲型和本征型，根據已知問題的類型，按照給出的規定的方程格式計算出參數c，a，f，d。5）選擇Solve菜單，然后選擇Solve PDE，我們就可以在GUI界面上看到該偏微分方程的解的圖形。6）選擇plot菜單，選擇parameters，然后會彈出來一個對話框，然后選擇我們想要的圖形，然后按plot就完成了全部的操作過程。

pdetool雖然可以幫我們求解偏微分方程，但是它也有一定的局限性，比如：它只能求解二維的熱傳導問題，如果我們想求一維的熱傳導問題，有限差分法和pdepe函數可能會是首選，如果是三維的，有限差分法可能更好理解一些。所以pdetool工具箱雖然操作簡單、好上手，但是還是存在很明顯的局限性。

5 結語

熱傳導問題分為一維、二維和三維。一維的熱傳導問題我們可以使用的方法比較多，其中pdepe函數是計算比較快而且程序相對比較容易上手的一種方法，針對pdepe函數我們需要做的就是根據要求寫出方程、初始條件和邊界條件的格式。針對二維的熱傳導問題，我們也可以使用有線差分法來求解，但是要復雜的多，使用pdetool工具箱，一方面是比較簡單、好操作，另一方面也可以直接進行解的可視化。

參考文獻

[1]王志強，朱家明.基于Pdepe算法的高溫作業防護服裝厚度設計[J].淮陰師范學院學報（自然科學版），2019，18（3）：200-205.

[2]賈海峰，劉蕤.線性邊界條件熱傳導方程求解[J].科教文匯（下旬刊），2014（3）：47-50.

[3]李萍，張磊，王垚廷.基于Matlab的偏微分方程數值計算[J].齊魯工業大學學報（自然科學版），2017，31（4）：39-43.