在符號(hào)化操作中發(fā)展數(shù)學(xué)思維

徐宏

“抽屜原理”又稱鴿巢原理，是人教版六年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容。教材借助把4支鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒的操作情境，充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生自主思考、證明、交流，在實(shí)際操作中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和能力。

符號(hào)化提升操作的有效性。教學(xué)中，筆者首先從3支筆、2支筆筒開(kāi)始，然后在“把4支筆放在3個(gè)筆筒里，又可以怎么放”的環(huán)節(jié)中引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行操作。

師：把3支鉛筆放在2個(gè)筆筒里，可以怎樣放？

生1：（3，0）;（1，2）。

師：如果一個(gè)筆筒中有0支筆，另外一個(gè)筆筒一定就有幾支筆？

生2：3支。

師：如果一個(gè)筆筒中放1支筆，另外一個(gè)筆筒肯定就有幾支筆？

生3：2支。

師：有沒(méi)有這樣一種可能，一共3支筆，2個(gè)筆筒中都盡可能地放最少的筆，有沒(méi)有可能每個(gè)筆筒中的筆都少于1支？

生4：沒(méi)有。

師：把4支鉛筆放在3個(gè)筆筒里。猜猜看，可以怎樣放？

生5：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。

將抽屜原理有機(jī)的呈現(xiàn)在學(xué)生面前，符號(hào)化的數(shù)學(xué)操作為數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)推理提供了有機(jī)載體，有利于學(xué)生有序思考問(wèn)題。

合情追問(wèn)發(fā)展推理能力。在互動(dòng)交流環(huán)節(jié)，筆者拋出一連串的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生的思維從枚舉操作自然過(guò)渡到平均分。

師：如果我要想讓每個(gè)筆筒中的筆盡可能的少，你會(huì)怎樣放？

生1：（2，1，1）。

師：有沒(méi)有辦法讓每個(gè)筆筒中的筆盡可能是最少的？最少的時(shí)候這個(gè)筆筒里有多少支筆？有沒(méi)有比這個(gè)還少的情況？

生2：當(dāng)我們把4支筆向3個(gè)筆筒中平均分配的時(shí)候，就會(huì)使得每個(gè)筆筒中的支數(shù)盡可能最少。

師：這種分法，實(shí)際是怎么分的？

生（齊）：平均分。

師：對(duì)。現(xiàn)在還有一個(gè)問(wèn)題，如果采用平均分的方法，3個(gè)筆筒各放1支筆之后，剩下的這1支筆怎么放？

生3：這1支筆肯定要放在其中一個(gè)筆筒里。

師：也就是說(shuō)，即使是采用平均分的方法，其中肯定也有一個(gè)筆筒中筆的支數(shù)不少于2支。再看看前面的兩種方案，（4，0，0）、（3，1，0）。這兩種方案中筆筒中筆的支數(shù)有什么特點(diǎn)？

生4：它們中間總有一個(gè)筆筒中筆的支數(shù)不少于2支。

筆者繼續(xù)提出問(wèn)題：“如果5支筆，放在3個(gè)筆筒里，你感覺(jué)會(huì)有什么結(jié)果？”學(xué)生結(jié)合猜想操作體會(huì)到：要想保證這個(gè)筆筒里的筆最少，就一定要保障每個(gè)筆筒的筆數(shù)盡可能一樣多。

發(fā)散推進(jìn)促進(jìn)模型建構(gòu)。在學(xué)生獲取了對(duì)抽屜原理的初步認(rèn)識(shí)后，教師繼續(xù)提出發(fā)散性問(wèn)題，進(jìn)一步提升學(xué)生對(duì)抽屜原理數(shù)學(xué)價(jià)值的理解，深入完善學(xué)生對(duì)抽屜原理的認(rèn)識(shí)，使得學(xué)生的探究說(shuō)理貫穿于符號(hào)化操作的全過(guò)程，提升學(xué)生對(duì)“平均分”的理解。

師：現(xiàn)在8支鉛筆和3個(gè)筆筒，把8支鉛筆放在三個(gè)筆筒里。猜猜看，可以怎樣放？

生：不管怎樣放，總會(huì)有一個(gè)筆筒中筆的支數(shù)不少于3支。

師：為什么？

生：因?yàn)?÷3=2（支）……2（支），2+1=3（支）。

師：為什么是2+1=3支。

生：因?yàn)椴还茉鯓臃牛傆幸粋€(gè)抽屜中至少要放入“商+1”個(gè)物體。

最后，筆者通過(guò)“8支筆放在3個(gè)筆筒里”的具體實(shí)例，讓學(xué)生充分地感受、體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)抽屜原理，幫學(xué)生理解并總結(jié)出抽屜原理的一般規(guī)律：不管怎樣放，總有一個(gè)抽屜中至少要放入“商+1”個(gè)物體。學(xué)生建構(gòu)了抽屜原理的思維模型，鍛煉了數(shù)學(xué)推理能力，數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到進(jìn)一步提升，同時(shí)感受到數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用價(jià)值，真切體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力。

（作者單位：應(yīng)城市實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

責(zé)任編輯? 張敏