牽引網高頻阻抗特性研究

朱 明，陳劍云

（華東交通大學電氣與自動化工程學院，江西 南昌330013）

牽引網阻抗矩陣的計算實際上可以歸結為多導體傳輸線的阻抗計算， 考慮到在交流電的作用下，傳輸線和大地中出現集膚效應，使得牽引網絡的電阻和電感成為電流頻率的函數[1]，也就是說，整個牽引網絡的阻抗是頻變的。 由于牽引網對諧波、行波、暫態信號分析的需要，我們必須將0～1 MHz 的阻抗特性曲線作為分析基礎，精準描述牽引網阻抗頻率特性有助于準確建立牽引網模型。 對于牽引網的阻抗數值及頻變特性的研究，不少學者做過相關工作。 文獻[2]分析了架空導線的電氣參數在頻變條件下對一些輸入數據的敏感性；文獻[3-4]充分考慮鋼軌鐵磁特性計算了某實際線路的頻變阻抗參數矩陣，在計算阻抗時都采用牽引網阻抗經典算法。 該算法將牽引網視為傳輸線結構并采用架空多導體傳輸線理論，阻抗矩陣計算包括導線間的電感（導線和大地均為理想導體）、導線內阻抗、導線-地回路阻抗（大地為非良導體）三部分，其中導線內阻抗以及導線-地回路阻抗（又稱大地阻抗）是一類非常復雜的電磁計算問題。經典算法中內阻抗采用實心圓導線模型[5-6]，大地阻抗采用Carson 級數法[7]，但經典算法在工頻（50 Hz）附近應用較廣，在高頻激勵下可能會出現誤差，如實心圓導線模型使用的Kelvin 函數計算較為復雜，高頻等大參數下直接利用其基本展開式結果會溢出，另外Carson 級數法在推導時初始條件使用了低頻近似，因而高頻激勵下結果準確性有待商榷。

基于此，以多導體傳輸線理論為基礎，運用雙曲余切及Kelvin 函數多項式展開近似內阻抗和Sunde地阻抗公式， 得到了適合牽引網高頻阻抗計算公式。 并以滬寧線無錫東變電所東段供電臂為例， 通過Python 科學計算得到阻抗結果并分析討論牽引網阻抗在高頻激勵下的變化趨勢以及與架設高度、大地電導率間的關系。

1 牽引網高頻阻抗計算公式的基本原理

牽引網阻抗計算采用多導體傳輸線理論[8-10]，包括計算電感、內阻抗和大地阻抗。 采用雙曲余切近似內阻抗可以簡化內阻抗的計算，Sunde 地阻抗公式使用了完整的大地傳播常數，不用忽略高頻位移電流。

設有n 根導體輸電線，當多導體傳輸線中電流頻率一定時，沿輸電線路單位長度內的壓降與導線電流之間存在由阻抗矩陣相聯系的關系[11]，即

1.1 內阻抗的計算

導線內阻抗表示導線的內部損耗，是計算阻抗矩陣自阻抗部分的一個重要部分，需考慮集膚效應的影響。 導線內阻抗與頻率相關，對于規則的實心圓導線，其內阻抗可直接采用計及實心圓導線模型，對于與牽引網中接觸線類似的形狀不規則的導線，可等效為和它具有相等截面積的圓導線。 最早提出圓導線模型內阻抗方法的Schelkunoff 計及了集膚效應而不考慮臨近效應對半徑為r 的圓形導線，給出了表示其內部阻抗頻率相關性的確切表達式

以上是實心圓導線法計算內阻抗的最基本計算方法。 雖然當前的計算機有強大的計算能力，通過編程語言可以直接計算Bessel 函數及Kelvin 函數。 然而當出現高頻率、高磁導率以及大導線尺寸即過大時計算機并不能給出可靠結果[12-13]。 以Python 科學計算為例，使用special 庫中的Kelvin 函數ber 及bei 計算公式（8）的結果，當頻率過高時，會有溢出報錯而導致結果為Nan；另外當用該模型計算鋼軌的內阻抗時，會因為其本身的磁導率導致大參數而計算溢出。

由于雙曲余切函數的自身特性，當過大時，逐漸減小并趨于1，故使用Kelvin 函數計算造成溢出的情況在該公式中不會出現。 計算表明當|mr|=5 時阻抗的電阻部分（實部）產生最大誤差4%，當|mr|=3.5 時電抗部分（虛部）產生最大誤差5%，遠離這兩種情況時誤差很小。 因而，該近似公式的優點是數字運算量少且適用于大參數下的計算機運算，給出了較為精確的內阻抗近似值。

1.2 導線-大地回路阻抗的計算

可以看出與文獻[19]中的復深度法的對數表達形式相似，區別在于復深度法同樣使用了地傳播常數的低頻近似表達式。 針對Carson 公式隨著頻率增大出現奇點的缺點，在對數表達式中也被證明頻率趨向無窮大時結果是有限的，積分表達式被證明沒有出現奇點。 因而，在寬頻范圍內尤其是高頻下使用Sunde 的對數近似式計算地阻抗更為準確。

將式（10）（15）（16）帶入多導體傳輸線理論阻抗矩陣算法（3）（5）中，得到本文牽引網高頻阻抗矩陣計算公式

2 仿真與分析

利用上述方法參照滬寧無錫東變電所東段供電臂的復線牽引網架設方案計算分析牽引網高頻阻抗特性，探究環境參數對牽引網高頻阻抗的影響，通過Python 科學計算的Numpy 庫進行矩陣計算及合并。其中各導線空間分布及牽引網導線的主要參數見表1[20]。

表1 牽引網導線架設及參數Tab.1 Wire erection and parameters of traction network

2.1 大地電導率對牽引網阻抗的影響

由于實際線路跨度較大，所經區域不可能是單一地質。 根據表2 選取4 種不同數量級的大地電導率進行分析，以接觸線及鋼軌回路為例，圖1，2 反映了該回路的阻抗矩陣R，X 對大地電導率和頻率的依賴性。

圖1 自阻抗和大地電阻率的關系Fig.1 Relationship between self-impedance and earth resistivity

表2 大地電導率σg 簡表Tab.2 Earth conductivity σg

圖2 互阻抗和大地電導率的關系Fig.2 Relationship between mutual impedance and earth conductivity

從圖1，圖2 觀察到，自阻抗的電阻和電抗數值隨頻率增大而增大，當頻率大于104 Hz 時數值上升幅度明顯提高。 同時，高頻下大地電導率導致的電阻和電抗數值的差異大于低頻，頻率越高差異越明顯。

2.2 架設高度對牽引網阻抗的影響

架設高架橋是用來解決鐵路跨越江河、峽谷或凍土等復雜地質地帶的主要手段。在實際工程中，高架橋的標準高度為32 m，故在原模型的架設方案下整體高度分別增加10，20，30 m 進行計算。 圖3，圖4 反映了接觸線及鋼軌回路的阻抗矩陣對導線高度和頻率的依賴性。

圖3 自阻抗和架設高度的關系Fig.3 Relationship between self-impedance and erection height

圖4 互阻抗和大地電導率的關系Fig.4 Relationship between mutual impedance and earth conductivity

從圖3，圖4 可看出以下特點，互阻抗的電阻和電抗數值隨頻率增大而增大，當頻率大于104Hz 時數值上升幅度明顯提高。 同時，高頻下架設高度導致的電阻數值的差異大于低頻，頻率越高差異越明顯。

3 寬頻牽引網阻抗矩陣計算結果

利用公式（17）（18）以表1 的實際線路為算例在107Hz 范圍內挑選工頻的10 倍頻率計算牽引網阻抗矩陣。 將復線牽引網絡的14 根導線采用逐根合法合并為6 根，最終簡化成六階的阻抗矩陣，合并規則為①1.接觸線（CW1）+2.承力索（MW1）；②3.正饋線（PF1）；③4.鋼軌1（RA1）+5.鋼軌2（RA2）+6.保護線（PW1）+7.綜合地線（E1）；④8.接觸線（CW2）+9.承力索（MW2）；⑤10.正饋線（PF2）；⑥11.鋼軌3（RA3）+12.鋼軌4（RA4）+13.保護線（PW2）+14.綜合地線（E2）。 該規則中①至⑥分別代表阻抗矩陣中的Z11至Z66。

表3 為50 Hz 頻率時牽引網阻抗矩結果。 以合并后接觸線的單位長度自阻抗及與正饋線的互阻抗為例，50 Hz 時分別為 （0.000 163+0.000 73i） Ω，（0.000 102+0.000 598） Ω；500 Hz 時分別為 （0.000 805+0.006 96i） Ω，（0.000 938+0.004 512） Ω；5 000 Hz 時 分 別 為 （0.006 608+0.051 54i） Ω，（0.008 466+0.0031 708） Ω；50 000 Hz 時分別為（0.052+0.425i） Ω，（0.068+0.198i） Ω；500 000 Hz 時分別為（1.717+32.819i） Ω，（2.116+7.373i） Ω。

表3 50 Hz 牽引網阻抗矩陣Tab.3 Partial frequency traction network impedance matrix

4 結論

在多導體傳輸線理論的基礎上運用雙曲余切近似和Sunde 地阻抗計算法總結出針對牽引網高頻阻抗計算公式，解決了經典算法在高頻時內阻抗會溢出、地阻抗忽略了土壤位移電流的問題，結合Python 科學計算和作圖仿真，得出結論：

在低頻范圍內，頻率變化對牽引網阻抗影響不大，高頻范圍內尤其是頻率大于104 Hz，頻率增加阻抗值增長明顯；在模擬計算低頻或慢波瞬變時大地電導率和高度變化對阻抗的影響不大，可以在指定輸入值時不需要很高的精度，但如果在模擬高頻或快速瞬變的情況下，大地電導率和高度變化對阻抗值影響較大，需精確輸入參數。 設計過程中需要針對頻率高低分情況討論。