基于差分進化算法的電力市場策略性競價模型求解

董亞明

（上海電氣集團股份有限公司中央研究院，上海200070）

從上世紀90 年代末開始，我國就已經(jīng)開始嘗試進行電力體制改革，對建立發(fā)電側(cè)電力市場進行了多方面探索，隨著這場改革的推行，競爭機制目前已逐漸引入到了電力工業(yè)中[1]。在新的電力市場環(huán)境下，發(fā)電廠商需要通過投標競價來獲得發(fā)電機會，以此成為真正的市場參與者。 發(fā)電廠商需要根據(jù)市場信息，自主決定發(fā)電安排，競價上網(wǎng)，同時通過對發(fā)電成本的控制，機組負荷的優(yōu)化分配，在新的電力市場環(huán)境下獲得較高的利潤[2]。同時，由于市場信息的不完全性，競價問題變得異常復雜，如何制定有效的競價策略現(xiàn)在已成為發(fā)電廠商迫切需要解決的問題[3]。

作為成熟的電力市場，美國PJM 電力市場是較早實現(xiàn)出清電價報價運營機制的市場之一[4]。PJM 是由賓夕法尼亞州（Pennsylvania）、新澤西州（New Jersey）、馬里蘭州（Maryland）的3 家電力公司組建成的世界上第一個電力聯(lián)營體。 PJM 電力市場主要包括2 個市場，分別是日前市場（day-ahead market）和實時市場（realtime market）[5]。在電力市場中，一般研究最多的是日前市場，而且與其它商品市場不同的是，日前市場不允許連續(xù)交易，這是因為電力市場需要根據(jù)競價信息等進行調(diào)度，需要滿足電力輸送的限制要求。 在日前市場中，雙邊交易安排、發(fā)電量、需求量都會在實際電力交付之前12 h 進行提交，下一日每個小時的市場出清電價將會基于這些需求與供給進行確定。 因此，對于日前市場的競價參與者，需要在競價停止時間之前，提交其對明天市場的報價。

設計競價策略模型的目標是根據(jù)電力市場的規(guī)則進行合理的報價，在遵守規(guī)則的同時，考慮市場約束、機組約束等各種約束條件，盡可能地使得機組利潤達到最大化的目標。 策略性競價問題本質(zhì)上是一個有約束優(yōu)化問題（constrained optimization problem，COP）。 有約束優(yōu)化問題是在自變量滿足約束條件的情況下使目標函數(shù)最小化（最大化）的問題，其中約束條件既可以是等式約束也可以是不等式約束。 解決約束優(yōu)化問題的方法也有很多種，目前使用較多的有兩類，一類是傳統(tǒng)優(yōu)化算法[6]，主要是基于梯度下降的策略來求解目標函數(shù)的極小值，另一類是智能優(yōu)化算法[7-8]，主要是一種模仿人或動物等的啟發(fā)式搜索算法，Yucekaya[9]提出了使用粒子群優(yōu)化算法來求解策略性競價問題，取得了較好的效果。

主要以美國PJM 日前電力市場為例，研究電廠競價策略模型及方法，力求通過研究成熟的美國PJM 日前電力市場的規(guī)則以及運作方法，以此為基礎，將電力市場的競價策略及方法進行詳細的探索及研究。本文主要基于差分進化算法對策略性競價模型進行求解，同時考慮電力市場規(guī)則機制，把市場約束、機組約束等各類約束條件用數(shù)學的形式進行表示，最終通過優(yōu)化算法求解得到合適的電廠競價策略，使得電廠機組的利潤達到盡可能的最大化。

1 PJM 市場競價規(guī)則

PJM 電力市場的報價曲線包含兩個重要部分， 分別是發(fā)電廠商的報價和在該報價下發(fā)電廠商愿意發(fā)的電量。 報價曲線以價格和發(fā)電量的組合來呈現(xiàn)（電價和電量組合），在PJM 市場中，對于一臺機組最多允許提交10 個電價和電量的組合來進行報價[10]，日前市場的報價曲線如圖1 所示。

圖1 就是一臺發(fā)電機組在PJM 日前市場的報價曲線，在圖1 中，橫坐標表示發(fā)電機的發(fā)電量，縱坐標為報價，電價和電量組合以階梯形式進行報價，最多允許10 個電價和電量組合。

圖1 PJM 日前市場的報價曲線Fig.1 Bidding curve of PJM day-ahead market

2 策略性競價模型

策略性競價問題（strategic bidding problem，SBP）[11]的主要目的是用來確定N 個電價和電量組合中合適的電量以及價格，以此來最大化機組的預期利潤。PJM 市場的策略性競價模型在文獻[9]中已經(jīng)給出，下面進行簡要概述。

在將策略性競價問題進行數(shù)學模型化之前，首先需要做一定的假設條件以使得后續(xù)模型成立，這些假設條件是：

①一次報價行為，最多包含N 個由價格和電量組成的電價和電量組合，并且每臺發(fā)電機組被視為獨立的個體進行分別報價；

②市場出清電價被視為競價模型的外部因素，電價不會因為個體發(fā)電機組的報價行為而受到影響；

③未來每小時的市場出清電價被視為是已知的變量，也就是說，認為電價預測模塊中預測出的第二天的市場出清電價即為真實市場的出清電價；

④報價在當天的中午12∶00 之前完成，并且此報價只對第2 天從00∶00 開始到24∶00 的24 h 有效；

基于以上4 點假設，我們可以對策略性競價問題進行數(shù)學模型化。

首先給出模型中將要用到的參數(shù)如下：C（q）為發(fā)電機組發(fā)電q MWh 所用的成本，$/MWh；a1，a2，a3為發(fā)電機組成本函數(shù)的空載成本系數(shù)、一次成本系數(shù)、二次成本系數(shù)；ptk為第k 個電價系列下，市場出清電價在t時刻的電價，$/MWh；Qmax為發(fā)電機組的最大出力，MWh；Bmax為電力市場中允許的最高報價，$/MWh。

模型中需要優(yōu)化的變量如下所示：bi為第i 個電價和電量組合的報價價格，$/MWh；Δqi為所報電量在第i 個電價和電量組合中的增量值，$/MWh；qt為在t 小時的時候總的發(fā)電量，$/MWh。

對于一個發(fā)電機組來說，想要找到一個最優(yōu)的報價曲線，將會有N 對需要優(yōu)化的變量，bi和Δqi（i=1，2，…，N），N 為電力市場中允許的最高電價和電量組合對數(shù)。N 個bi和qi組成向量b 和Δq。如果在t 時刻下的市場出清電價大于等于報價bi，那么小于等于bi下的所有所報電量將都會被電力市場所接受，反之，大于bi的所有所報電量將都不會被電力市場所接受。

在t 時刻下，機組所發(fā)電量能夠以pt的價格賣給電力市場的總發(fā)電量為

3 差分進化算法

其中，Pt為[0，1]之間均勻分布的隨機數(shù)，CR 是交叉控制參數(shù)，D 是搜索空間維度。

5） 選擇操作。 將xijG+1和xiG的目標函數(shù)進行比較，對于最小化問題，則選擇目標函數(shù)值低的個體作為心中群的個體xiG+1，即

4 算法結(jié)果與分析

4.1 樣本選擇

所用數(shù)據(jù)采用文獻[9]中給出的PJM 電力市場在2007 年5 月17 日當天的數(shù)據(jù)，并采用文獻中的12 組電價系列數(shù)據(jù)進行算法求解，電價系列是以2007 年5 月17 日當天的電價數(shù)據(jù)為均值，以標準差為4 進行隨機生成的數(shù)據(jù)。

同時，使用文獻中給出的2 臺不同的發(fā)電機組GEN-1 和GEN-2 的機組成本函數(shù)來計算發(fā)電機組的成本。 發(fā)電機組GEN-1 的最大出力為400 MW，成本函數(shù)為C（q）=56.52q+0.013 9q2；發(fā)電機組GEN-2 的最大出力為600 MW，成本函數(shù)為C（q）=43.2q+0.018q2。

4.2 結(jié)果分析

主要采用差分進化算法對策略性競價模型進行求解，同時，將該方法的求解結(jié)果與序列最小二乘規(guī)劃法（SLSQP）[13]、有限記憶擬牛頓法（L-BFGS-B）[14]、截斷牛頓共軛梯度法（TNC）[15]以及文獻[9]中使用到的邊際成本算法（MC）以及粒子群優(yōu)化算法（PSO）的結(jié)果進行對比。

對于發(fā)電機組GEN-1，分別使用6 種方法的對比結(jié)果如表1 所示，其中前兩種算法（MC，PSO）及其結(jié)果為文獻中的方法和結(jié)果，另外對于屬于傳統(tǒng)算法的SLSQP，L-BFGS-B 和TNC，為了克服其優(yōu)化結(jié)果受初始值影響較大的問題，本文默認對其初始值選取采用50 次隨機的方式進行，算法會進行50 次求解，取最優(yōu)結(jié)果作為算法最終結(jié)果，因此該3 種方法的平均耗時也較長。 為了消除隨機性對評估這幾種優(yōu)化算法結(jié)果造成的影響，本節(jié)中對SLSQP，L-BFGS-B，TNC，DE 這4 種方法分別求解100 次，以此來對比幾種算法的優(yōu)劣勢。值得注意的是MC 和PSO 算法的結(jié)果是論文中給出的，其算法求解耗時也并沒有提供，因此下表內(nèi)只是用文獻中提供的結(jié)果進行比較。

表1 6 種優(yōu)化方法對發(fā)電機組GEN-1 的報價對比結(jié)果Tab.1 Bidding comparison results of six optimization algorithms for GEN-1

從表1 我們可以看出，使用6 種方法求解得到最終的最優(yōu)利潤結(jié)果相差比較小。 基于100 次優(yōu)化結(jié)果的平均利潤方面，由于文獻中的2 種方法沒有提供，故不做比較，在下面4 種算法中，DE 進行100 次求解后的平均利潤最高，達到2 799 $；其他3 種算法利潤水平較一致，其結(jié)果不相上下；L-BFGS-B 的平均利潤最低，為2 570 $。 在平均耗時方面，DE 算法最快，平均每次僅需要38 s；其次為SLSQP，需要110 s；L-BFGS-B平均每次需要163 s；TNC 算法較慢，每次需要402 s。 值得注意的是，因為3 種傳統(tǒng)優(yōu)化算法的優(yōu)化結(jié)果受初始值影響較大，因此本文中對這3 種方法進行了改進，他們每次會隨機產(chǎn)生50 個初始值，最終選取50 次最優(yōu)的結(jié)果作為算法最終的優(yōu)化結(jié)果，因此該3 種方法求解所用的時間實際上是運行50 次的求解時間。 從最優(yōu)利潤的情況來看，6 種方法最終的結(jié)果相差不太大，通過100 次的運算，大約都可以得到比較高的一個利潤值，其中PSO 和DE 算法求得的最終利潤結(jié)果最高，達到2 819 $和2 816 $。 因此從400 MW 最終的優(yōu)化結(jié)果來看，DE 算法從各個方面表現(xiàn)都較好，算法的穩(wěn)定性也最好。

以上幾種優(yōu)化算法最優(yōu)的報價結(jié)果見表2 所示。

表2 6 種報價模型對發(fā)電機組GEN-1 的最優(yōu)報價結(jié)果對比Tab.2 The best Bidding comparison results of six optimization algorithms for GEN-1

表3 6 種優(yōu)化方法對發(fā)電機組GEN-2 的報價結(jié)果對比Tab.3 Bidding comparison results of six optimization algorithms for GEN-2

DE 算法對發(fā)電機組GEN-1 的報價尋優(yōu)收斂曲線如圖2 所示，由圖2 要以看出，DE 算法在起始階段可以很快的取得一個較大的利潤，算法收斂速度快，可以比較快的收斂到利潤最大值。

對于發(fā)電機組GEN-2，分別使用6 種方法的對比結(jié)果如表3 所示。

從表3 我們可以看出， 使用的4 種方法SLSQP，L-BFGS-B，TNC，DE 最終的最優(yōu)利潤結(jié)果都優(yōu)于文獻中的兩種方法。 基于100 次優(yōu)化結(jié)果的平均利潤方面，DE 的平均利潤最高，達到6 652 $；TNC 和L-BFGS-B 的平均利潤也較高，分別達到6 606 $和6 604 $， 其結(jié)果不相上下；SLSQP 的平均利潤最低，為6 457 $。 在平均耗時方面，SLSQP 算法最快，平均每次僅需要24 s；其次為DE， 需要42 s；L-BFGS-B 平均每次需要127 s；TNC 算法最慢，每次需要498 s。 從最優(yōu)利潤的情況來看， 四種方法最終的結(jié)果相差不太大，通過100 次的運算，大約都可以得到比較高的一個利潤值，其中DE 算法求解得到的最有利潤最高，達到6 688 $。因此從600 MW 最終的優(yōu)化結(jié)果來看，DE 算法從各個方面表現(xiàn)都比較好，算法的穩(wěn)定性也較好，最優(yōu)利潤最高。 具體的報價結(jié)果見表4。

DE 算法對發(fā)電機組GEN-2 的報價尋優(yōu)收斂曲線如圖3 所示，由圖3 可以看出，DE 算法可以較快的收斂到利潤最大值。

圖2 差分進化算法對發(fā)電機組GEN-1 的報價尋優(yōu)收斂曲線Fig.2 The optimization convergence curve of DE algorithm for GEN-1

圖3 差分進化算法對發(fā)電機組GEN-2 的報價尋優(yōu)收斂曲線Fig.3 The optimization convergence curve of DE algorithm for GEN-2

表4 6 種報價模型對發(fā)電機組GEN-2 的最優(yōu)報價結(jié)果對比Tab.4 The best Bidding comparison results of six optimization algorithms for GEN-2

5 結(jié)論

主要是以美國PJM 日前電力市場為例，研究電廠競價策略模型及求解方法，力求通過研究成熟的美國PJM 日前電力市場的規(guī)則以及運作方法，將電力市場的競價策略及方法進行詳細的探索及研究。

對于電廠報價問題中所涉及的策略性競價問題，使用差分進化算法對其求解。 做了大量對比研究及實驗，使用選取的SLSQP，L-BFGS-B，TNC 和DE 算法與論文中的MC 算法以及PSO 算法結(jié)果進行對比，結(jié)果表明，作為全局搜索算法的DE 算法性能優(yōu)于其他幾種方法，算法穩(wěn)定性好，運行時間較少，基于該算法的報價結(jié)果的利潤較高，可以用來求解策略性競價問題。