基于DWT 和FRFT 的數字圖像水印算法

龔成清

（廣東女子職業技術學院應用設計系，廣州 511450）

0 引言

數字圖像版權保護的問題是信息化時代研究的一個熱點問題。數字水印是有效保護數字圖像版權的方法。根據水印嵌入的區域不同，數字水印算法可以分為空間域算法和變換域算法[1]。變換域法因其魯棒性好而得到廣泛應用。常用的變換域法有離散小波變換（DWT）[2]、離散余弦變換（DCT）[3]、奇異值分解（SVD）[4]、分數階傅里葉變換（FRFT）[5]等。

離散小波變換（DWT）是變換域法的典型代表，具有良好的特性。文獻[6]將原圖像進行多層小波分解，提出了一種基于DWT 變換域的數字水印方案，具有良好的魯棒性，但水印的嵌入容量受到限制。文獻[7]結合DWT 和SVD 的特點，利用DWT 變換構造水印后對系數矩陣進行SVD 變換，提出了一種基于DWT 和SVD 的數字水印算法。該算法具有良好的不可感知性和魯棒性，但只適用于處理平穩的信號。分數階傅里葉變換（FRFT）則可以用來處理非平穩的信號。相對傳統的傅里葉變換，FRFT 具備運算速度快，高聚焦性等特性，可以有效提升水印算法的效率。文獻[8]對整幅圖像進行離散分數階傅里葉變換，通過系數的修改提出了基于分數階傅里葉變換的隨隨機序列水印算法，實現了水印的嵌入和提取，但圖像容易失真。

本文利用DWT 和FRFT 的特性來提升水印的視覺性和魯棒性。水印嵌入時，對載體圖像進行DWT 變換，選擇低頻子帶進行FRFT 變換后嵌入水印信息，同時生成兩個偽隨機序列（PN 系列）。利用FRFT 多角度變換的特性，在x 方向和y 方向均嵌入水印信息增強水印的魯棒性。水印提取時，計算兩個PN 系列與FRFT 的系數的相關性，并與閾值對比，確定水印的信息是0 還是1，從而提取出水印。

1 相關技術

1.1 DWT

離散小波變換是對基本小波的尺度和平移進行離散化。經過離散小波變換后圖像會生成低頻子帶和高頻子帶。在圖像處理中，常采用二進小波作為小波變換函數，第α層離散小波變換的函數如（1）、（2）所示。

x[n]表示離散的輸出信號，長度為N。g[n]是低通濾波器，可以將輸入信號的高頻部份濾掉而輸出低頻部份。h[n]是高通濾波器，與低通濾波器相反，濾掉低頻部份而輸出高頻部分。

1.2 FRFT

FRFT 不但具有時域和頻域雙重特征，還具有旋轉特性和角度連續性，是一種非常有效的信號分析工具，被廣泛應用于數字水印領域[9]。運用分數階傅立葉變換能選取信息最集中的角度去分析，在不同的分數階得到的結果中選取幅值最大的那個結果，從而得到最優解。二維離散分數階傅里葉變換形式如下：

2 DWT-FRFT的水印算法

2.1 水印嵌入

水印的嵌入要兼顧視覺性和魯棒性。利用DWT快速變換的特點，對載體圖像進行2 級分解，選取低頻子帶進行水印嵌入，提升了水印嵌入的容量。對低頻子帶系數進行FRFT 變換，在x 和y 的角度方向都嵌入水印的信息，增強了水印的魯棒性。具體算法如下：

（1）對載體圖像進行DWT 變換；

（2）選取DWT 變換后的低頻子帶系數，進行二維FRFT 變換；

（3）定義起點F1 和系數的長度F2；

（4）讀取水印圖像，把水印圖像的信息轉化為向量；

（5）判段水印信息是否為1，如果是1，則起點和系數不作改變，F1=F1，F2=F2，跳轉到第8 步。否則，跳轉第6 步；

（6）使用密鑰 key，生成兩個隨機序列 PN_h 和PN-v；

（7）更 新 F1 和 F2，F1= F1+K*PN_h，F2=F2+K*PN-v；

（8）判斷是否所有水印信息已經完成變換，如果全部完成則進入下一步，否則跳轉回到第5 步；

（9）把水印信息F1 和F2 嵌入到載體圖像對應的位置，進行逆FRFT 變換，完成水印嵌入。

2.2 水印提取

水印提取是水印嵌入的逆過程。DWT-FRFT 的水印算法只需要使用水印嵌入時生成隨機序列的密鑰就可以實現水印的盲提取。提取過程中，使用公式（5）來計算提取信息的相關性，并與閾值進行比較，沒有嵌入水印的閾值的期望為零，而嵌入水印的閾值的期望大于零。

具體算法如下：

（1）對含水印的圖像進行DWT 變換；

（2）選取DWT 變換后的低頻子帶系數，進行二維FRFT 變換；

（3）定義起點F1 和系數的長度F2；

（4）使用密鑰 key，生成兩個隨機序列 PN_h 和PN-v；

（5）對每個水印信息計算F1 和F2 與相應PN 序列的相關性；相關性大于閾值則水印信息是1，否則，水印信息是0；

（6）重復步驟4，直到所有的水印信息提取完成。

3 實驗仿真

我們使用MATLAB 2018 對算法進行了實現，通過實驗對算法的性能進行了驗證。實驗使用的操作系統是Windows 7，計算機配置為Intel Core i7 3.0G 的CPU，4G 的內存。為了評價水印圖案提取的質量，使用歸一化的相關系數NC 值來對提取出來的水印圖案進行評價，NC 值計算公式如下：

3.1 視覺性驗證

為了驗證嵌入水印后的視覺性效果，采用峰值信噪比PSNR 和來評價圖像的視覺效果，PSNR 的計算公式表示如下：

圖1 水印的嵌入和提取

實驗使用了512×512 的Lena 的彩色圖像為載體圖像，水印圖像是32×32 的二值圖像，使用DWT-FRFT算法對水印進行了嵌入和提取，實驗結果如圖1 所示。

嵌入水印后的圖片具有良好的視覺性，與原始載體圖片視覺效果一致，肉眼無法分辨差別。在沒有受到攻擊的情況下，實驗對水印圖像實現了盲提取，提取的水印圖片與原始的水印圖片相似度NC=1，能很好地還原出原始的水印圖像。

3.2 水印容量驗證

實驗分別使用DWT-FRFT 的水印算法與文獻[8]的算法把 64×64、128×128、256×256 的圖 1（b）的水印圖像嵌入到圖 1（a）大小為 512×512 的 Lena 彩色圖像中，兩種算法的PSNR 計算結果如表1 所示。

表1

實驗結果表明，對于尺寸為128×128 以下的水印圖案，兩種算法均有較好的視覺效果。當水印的圖像為256×256 大小時，兩種算法進行水印嵌入后，PSNR有明顯的下降，含水印的圖像均出現了肉眼可見的雜點。DWT-FRFT 的水印算法由于選擇的是能量集中的低頻子帶嵌入，視覺性影響較小，相對于文獻[8]選擇中頻子帶嵌入的算法，DWT-FRFT 的水印算法的視覺性更好，水印嵌入的容量更大。

3.3 魯棒性驗證

實驗中，使用了DWT-FRFT 水印算法、文獻[7]水印算法和文獻[8]水印算法分別把圖1（b）的水印圖像嵌入到圖1（a）的載體圖像中并進行提取。為了驗證不同算法的魯棒性，實驗過程對含水印的圖像分別添加噪聲、幾何變換和壓縮等操作進行了抗攻擊的實驗。水印提取后的NC 值如表2-表4 所示。

表2 不同算法抵抗噪聲攻擊的NC 值對比

表3 不同算法抵抗幾何攻擊的NC 值對比

表4 不同算法抵抗JPEG 壓縮攻擊的NC 值對比

實驗結果表明，DWT-FRFT 算法由于在x 方向和y 方向均嵌入了水印信息，具有充足的信息冗余，在抵抗攻擊方面相對于文獻[7]和文獻[8]算法，具有更好的魯棒性，尤其是在抵抗剪切和JPEG 壓縮攻擊方面，魯棒性要遠遠優于對比的算法。

4 結語

為了更好地解決數字圖像的版權保護問題，本文利用了DWT 變換速度快的特點，在不同尺度上對信號進行分解，選取能量集中的低頻子帶進行分數階傅里葉變換后進行水印的嵌入和提取，解決了非平穩信號的處理問題。實驗證明，本文提出的DWT-FRFT 算法水印算法不僅具有良好的視覺性和嵌入容量，對噪聲、幾何變換和壓縮等常見的攻擊等都具有很好的魯棒性。