哲學角度下的微積分

蘇志勇 張飛羽

（蘭州大學數學與統計學院，甘肅 蘭州 730000）

微積分學是以實數理論為基礎，以極限為工具，來研究函數的分析性質，即連續性、可微性和可積性的理論，其中蘊涵著豐富的辯證思想和美妙和諧的表現方式.明白有限與無限、常量與變量是對立統一的，可利用有限和常量分別描述、處理無限和變量，體現了哲學對數學的指導意義.

1 有限與無限

黑格爾說：“真正的無限并不僅僅是超越有限，而且包括有限并揚棄有限于自身內.”我們說，有限與無限是對立統一的，有限能描述刻畫無限，無限可指導有限.微積分內容中幾乎所有的概念或定義都是由極限這個概念來定義的，而函數的極限涉及到兩個無限，即自變量的無限（變化）過程和對應的函數值的無限變化.人的認識是無限的，但實踐是有限的.如果不把我們認識到的無限用有限來描述和刻畫，就無法把握其概念的本質和內涵，自然也就無法發展和應用.這里關于極限定義的柯西語言是一個很好的示范，它用一系列的有限?ε ＞0 及δ ＞0，刻畫了兩個無限ax → 和.)(Axf→據此，我們了解了極限收斂的本質（常用幾何意義揭示）以及其屬性（即唯一性、局部有界性和局部保號性）.微積分學定義了許多無限（無窮），其公式為：

無限=有限+極限.

例如，比較直觀的是級數、無窮積分等的定義.極限的偉大意義就在于：把我們認識到的無限（或蘊含無限思想之概念）無須轉化成可實踐的有限，就可利用極限直接對其嚴格定義、計算、應用，如切線、曲率、幾何體的度量等概念.現舉例說明.

解此類題的切入點是依題意（條件）將無窮區間分成有限區間和條件約束區間后再分別處理［1］.另外，“數學歸納法”和“有限覆蓋定理”也是聯系有限與無限的橋梁.

通過對微積分課程的學習，我們也許有以下相應的公式：

無界=有界+極限，變量=常量+極限，精確=近似+極限.

2 局部與整體

函數的極限、連續、可導、可微等都是局部概念，所屬性質也稱為局部性質，即在給定點的附近來討論函數性質的.例如，局部保號性、局部有界性、極值、曲率、隱函數的存在性等等.而有界、可積、一致連續、一致收斂、凸性、單調性等都是整體概念，所屬性質可稱為整體性質，即在給定的數集（特別是區域）上來討論函數性質的［2］.例如，最值問題、實數連續性基本定理、微分積分中值定理等.因此，在討論具體問題時，首先要分清是局部性質還是整體性質，然后利用各自的屬性進行討論，要特別注意兩者之間的關系和橋梁（轉換）.現舉例說明.

局部與整體是對立統一的.例如，我們在討論冪級數在收斂區間上的連續性、可導性時，采用了在點的鄰域內構造小閉區間的方法，將局部問題轉化成整體問題，然后利用冪級數的內閉一致收斂性得到證明.同樣，隱函數存在定理的證明，也是利用了局部性質與整體性質的轉換.另外，“區間套原理”將區間上的屬性轉移到點的局部，以及“有限覆蓋定理”可將區間上每一點的局部性質綜合起來轉化成區間上的整體性質，更是體現了局部與整體的辯證關系［3］.

例3 利用區間套原理（或有限覆蓋定理）證明閉區間上的連續函數有界.（略證）

比較直觀地體現局部與整體關系的內容有：閉區間上連續函數的性質、泰勒公式、微分積分中值定理、單調區間與極值點、凹凸區間與拐點等等.

3 具體與抽象

數學是以抽象的形式，追求高度精確和可靠的知識.不僅概念抽象，而且其方法亦然.與抽象性相聯系的數學的另一特點是，在對自然界和人類社會的探索中追求最大限度的一般模式和算法.從數學的發展史來看，處處彰顯著特殊與一般的辯證關系.以微積分為例，從極限概念的建立開始，各種形式的微分積分定義以及各類級數概念的建立，都是從具體事例出發，利用極限進行了從量變到質變的過程，然后抽象到一般.以定積分為例：從“計算曲邊梯形的面積”出發，經過：①分割閉區間，將整體問題局部化；②在局部以直代曲，以常量代替變量；③做和，用近似代替精確；④取極限，從量變到質變等過程后，抽象成定積分定義.注意：這里的量變到質變涵蓋：有限到無限、有界到無界、常量到變量、近似到精確等等.

順便提一下，另一寓意下的特殊與一般.例如，關于初等函數連續性的論述，以及其導數公式，就是以三至四個基本初等函數為討論對象，具體證明了它們的連續性，以及求得其導數公式，再根據“連續和可導這兩種函數屬性經過四則運算、復合運算和反轉運算保持不變”，從而獲得了一般初等函數的連續性和導數公式.

具體與抽象是對立統一的.因為對具體的深入認識才能更好地抽象，因為抽象而能更好地把握具體.在微積分學理論中，同樣的內容，隨著目的或要求的不同，具體與抽象的概念也在轉換.例如，我們有時將函數表示成冪級數是為了便于求極限，或近似計算，或建立數學用表；反之，我們又希望求出冪級數的和函數，以了解其幾何特征，或分析性質.

在“微積分”一些內容的教與學中，把具體與抽象的關系視為實與虛之關系，可加深對這些內容和所用方法的理解.例如，在計算方程（實在）決定的函數（虛擬）的導數時，我們“虛擬”了該函數參與相應的運算和理論推導，只要在結論中沒有該函數的“身影”，那么，所用方法就是成功的.著名拉格朗日乘數法，就是虛擬了條件關系的隱函數，將條件極值問題轉化為無條件極值來處理，利用關系式消去表達式中隱函數的偏導數而得，這種思想手段有點像做輔助線.

4 常量與變量

微積分學的任務就是研究函數，而函數則是變量與變量之間的一種關系.有時我們無法把握變量，需要借助于常量，特別是運用“可在局部以直代曲，以常量代替變量”的思想.而常量這一概念可廣義化，如直、平、平均、常規等等.據此我們建立了積分理論，也嚴格定義了切線、曲率等概念.反之，在解決具體問題時，需要我們化常量關系為變量關系，實際上就是歸結成一個函數問題.例如，在計算一些數項級數和時，將其轉換成函數項級數，利用導數與積分運算的互逆性求出和函數而得之.類似地還有，二元泰勒公式的證明、施瓦茲不等式的證明、一些橢圓積分的計算等等.特別值得一提的是，定積分的變上限手段.偏導數概念、含參積分理論、微元法思想等，更是體現了常量與變量的辯證關系.

5 內容與形式

黑格爾說：“內容既在其自身中具有形式，同時形式對于內容也是一種外在的東西，……，存在著內容與形式的相互轉化.”我們說，內容決定形式，形式是內容的表現.從數學的角度來看，恰當的形式有助于內容的應用與發展.例如，積分符號的設制，給積分內容中命題論證和計算提供了極大的方便，可以說是內容與形式完美結合的典范.

另一方面，對不同內容，探索其本質，用同一形式表現，更是對內容的深刻反映.例如，在用柯西語言表示函數極限的收斂時，依據自變量的七種變化過程，相應有柯西語言的七種表示形式，這七種表示形式可歸結為一個形式：

lim X=A ??ε ＞0,?時刻T ，T 之后，有||X-A ＜ε.

上式將極限的收斂性聚焦于時刻的存在性.

綜觀數學的創造與發展，形式化語言和模式相當普遍，如代數學、幾何學等.四元數、非歐幾何的創造與發展就是典型.那么在微積分中，我們是不是也從這個角度來看一下呢?例如，記yx ΔΔ ,分別是自變量的改變量與函數值的改變量，考察下列情形：

6 一元與多元

在微積分學里，“一”與“二”是有本質區別的.例如，相對于一元函數，二元函數不再有單調、反函數等概念；“二”與“多”沒有本質區別，所以對多元函數的研究，主要以二元函數為主.進一步，對二元成立的結論，特別是一些（不）等式，可直接推廣到相應的多元形式；當然，“多”與無窮是有本質區別的［4］!

怎樣利用一元函數的理論來研究多元函數呢？常見的有以下幾種方法：

（1）累次法.即轉化成若干個一元函數的問題，做累次處理.例如，多元函數的微分積分中值公式、重積分計算、多元函數的極值和復合函數的鏈式法則等.

（2）折線法.即將所討論的有關點用直線或折線連接起來，在其上構造一元函數來討論問題.例如，多元函數的中值定理及泰勒公式的證明、用第二類曲線積分計算原函數等.

例5 證明二元函數的泰勒公式.

（3）統一符號法.在表達方式上采用統一的符號，可將一元函數的一些成果直接平行地轉移到多元函數方面.例如，極限、連續性、可微性、泰勒公式等.一般情況下，只要是關于局部問題的討論，都可考慮該法.

例6 試建立二元函數的泰勒公式.

（4）變量替換法.對一些特殊的多元函數，通過變量替換直接化成一元函數的形式.

反過來，利用多元函數的理論來研究一元函數，可解決許多問題.例如，隱函數存在定理的論證、含參積分理論的建立、討論由方程決定的一元函數的分析性質、極值、凸性等.

7 創造與重復

數學是人類精神世界的產物，可以說是天才們“憑空”創造的.數學史就是創造與重復的歷史.“微積分”課程一般分成兩部分：一元函數微積分學和多元函數微積分學.顯然，無論從形式還是概念與方法方面來看，前者是創造，后者是重復.當然，前者蘊含著重復，后者蘊含著創造.上面第6節展示的就是這種關系的一點細節.關于重復，柏拉圖、尼采等哲學家賦予了深刻內涵，并分成若干層次.我們在這里暫停留在第一層面：重復就是重復.比較直觀的案例就是在解決具體問題時，某一方法的累次使用.常見的此類方法如：洛必達法則、微分中值定理、導數與單調等.例如，利用洛爾定理證明：若區間上n 階可導函數有n+1個零點，則其n 階導數必有零點.一般情況下，命題中只要有關鍵詞函數、導數、高階導數可考慮這類方法.