考慮壓粘剛潤滑及彈流潤滑的圓柱滾子軸承疲勞壽命分析*

侯慧鵬，武 兵，牛藺楷，李國彥，蘭 媛

(太原理工大學 機械與運載工程學院，山西 太原 030024)

0 引 言

目前，滾動軸承被廣泛地應用于能源、交通、運載等各個關鍵領域，而軸承的疲勞壽命對整個設備的正常服役乃至安全運行具有重要的影響，因此有必要對軸承的疲勞壽命進行計算。

目前，應用最為廣泛的滾動軸承的疲勞壽命計算理論是基于Lundberg-Palmgren(L-P)理論[1-2]。為了對軸承的疲勞壽命進行計算，首先需要對軸承內部的接觸載荷分布進行分析。目前，已有許多學者提出了相應的計算模型，對軸承內部的接觸載荷分布以及軸承的疲勞壽命進行計算。

BERCEA等[3-4]建立了雙列圓柱滾子軸承的靜力學分析模型，并對軸承的接觸載荷分布和疲勞壽命進行了計算；BERCEA[5]和NéLIAS[6]建立了雙列圓錐滾子軸承的擬動力學模型，并基于L-P公式對軸承的疲勞壽命進行了計算；ZHANG等[7]基于套圈控制理論[8]建立了角接觸球軸承的擬靜力學模型，并分析了預緊力對軸承疲勞壽命的影響規律；汪久根等[9]建立了深溝球軸承的擬靜力學模型，并基于分析得到的應力循環次數，對L-P模型進行了修正；李潤林等[10]建立了風力發電機組雙列圓錐滾子軸承的擬靜力學模型，并基于L-P理論，對軸承的疲勞壽命進行了分析；張瑞田等[11]結合ISO 281標準分析了偏載對鐵路機車軸承壽命的影響，發現偏載會嚴重增加軸承的譜當量徑向載荷，降低軸承概率壽命；邱明等[12]采用軸系分析軟件RomaxDesigner建立了薄壁交叉圓柱滾子軸承的靜力學分析模型，并分析了工作游隙對軸承疲勞壽命的影響規律，得到了工作游隙的最優范圍；毛宇澤等[13]通過考慮套圈的彈性變形，建立了圓柱滾子軸承的靜力學平衡方程，并基于L-P理論對軸承的疲勞壽命進行了計算，結果表明負游隙會降低軸承的疲勞壽命。

從目前的研究可以看出，軸承內部的接觸載荷分布對軸承的疲勞壽命具有重要的影響。然而，目前的計算方法中有一個重要的假設，即假設如果滾動體和套圈之間的幾何趨近量Δ為負值(即二者之間不發生接觸)，這時滾動體和套圈之間的接觸載荷為0。然而，這種假設并未完整考慮軸承內部復雜的潤滑狀態。

根據HOUPERT的討論[14]，滾動軸承中主要有等粘剛(isoviscous-rigid, IVR)潤滑、壓粘剛潤滑和彈性流體動壓潤滑3種潤滑狀態。這3種潤滑狀態可以通過滾動體和套圈之間的幾何趨近量Δ，進行定性判別：(1)當Δ為負，且|Δ|較大時，為IVR潤滑狀態；(2)當Δ為負，且|Δ|較小時，為PVR潤滑狀態；(3)當Δ為負，且|Δ|非常小，或者當Δ為正時，為EHD潤滑狀態。其中，IVR潤滑是PVR潤滑的一種特殊情況。3種潤滑狀態都會對軸承的接觸載荷產生影響。特別是在PVR和IVR潤滑狀態下，即使滾動體和套圈不接觸(Δ為負值)，二者之間的接觸載荷也不會為0[15-16]。

然而，目前的軸承疲勞壽命分析的研究幾乎均未考慮IVR和PVR潤滑狀態的影響。為了對軸承的接觸載荷分布和疲勞壽命進行準確的計算，需要一種能夠考慮IVR、PVR以及EHD潤滑狀態的軸承疲勞壽命計算模型。由于IVR潤滑狀態是PVR潤滑狀態的一種特殊情況，則PVR潤滑狀態必然能夠涵蓋IVR潤滑狀態。

針對上述問題，本文通過考慮PVR和EHD潤滑狀態，建立圓柱滾子軸承疲勞壽命分析模型；首先，通過考慮PVR和EHD潤滑狀態，建立圓柱滾子軸承的擬靜力學分析模型；進而基于所建立的擬靜力學模型，采用L-P公式對圓柱滾子軸承的疲勞壽命進行分析，并重點分析外載荷、轉速以及潤滑油初始粘度對軸承疲勞壽命的影響規律。

1 圓柱滾子軸承擬靜力學建模

1.1 滾動體和套圈間的幾何趨近量

滾動體與套圈之間的相互作用如圖1所示。

圖1 滾動體與套圈之間的相互作用

圖1中，滾動體中心Ob和套圈中心Or在慣性坐標系Oixiyizi中的位置矢量分別為rb和rr，則滾動體中心相對于套圈中心的位置矢量為：

rbr=rb-rr

(1)

本文僅考慮圓柱滾子軸承在yizi平面內的運動，且外圈固定，內圈僅有沿zi軸方向的平移運動。

滾動體和套圈之間的幾何趨近量為：

Δ=±(|rbr|-dm)

(2)

式中:dm—軸承節徑；“+”號—用于外圈；“-”號—用于內圈。

兩個接觸體之間的幾何趨近量Δ大小如圖2所示。

圖2 兩個接觸體之間的幾何趨近量

根據HOUPERT的結論，幾何趨近量Δ、油膜厚度h和彈性變形量δ之間存在如下的關系：

(3)

為了計算接觸載荷Q，需要首先根據油膜厚度和幾何趨近量對式(3)進行求解，求出彈性變形量δ。在油膜厚度的計算上，需要根據潤滑狀態采用相應的計算公式進行計算。

1.2 油膜厚度的計算方法

EHD潤滑狀態下，中心油膜厚度采用DOWSON-

HIGGINSON公式進行計算，即：

HEHD=3.05U0.69G0.56W-0.1

(4)

PVR潤滑狀態下的油膜厚度采用下式進行計算:

HPVR=C×HIVR

(5)

系數C的計算方法為：

(6)

其中，系數A的計算方法為：

(7)

其中：k≈1 300。

由式(5)可知，當C=1時，HPVR=HIVR，此時的潤滑狀態即為IVR潤滑狀態。因此，IVR潤滑狀態是PVR潤滑狀態的一種特殊情況。本文所分析的PVR潤滑狀態涵蓋了IVR潤滑狀態。

在進行擬靜力學分析和計算時，需要對潤滑狀態進行判斷，以便使用合適的油膜厚度計算公式。

判斷方法采用下式：

(8)

當式(8)成立時，采用EHD潤滑油膜計算公式，否則采用PVR潤滑油膜計算公式[18]。

通過上述分析可知，無量綱油膜厚度H是無量綱載荷W的函數；進而根據HOUPERT公式，可知無量綱載荷W和彈性變形量δ之間存在著如下關系[19]：

(9)

其中：D≈1.310 371k-a-blnk+c(lnk)2-d(lnk)3；a=-0.166 24，b=0.015 265，c=0.000 947 95，d=0.000 024 801。

因此，無量綱油膜厚度H也是彈性變形量δ的函數。將油膜厚度的表達式代入式(3)中，采用非線性方程數值迭代求解方法，即可求出彈性變形量δ。當求出δ后，根據式(9)以及無量綱載荷W的表達式，即可求出接觸載荷Q。

當求出第j個滾動體與內圈的接觸載荷Qij，及其與外圈接觸載荷Qoj后，即可得到該滾動體的受力平衡方程式：

Qij+Fcj-Qoj=0

(10)

式中：Fcj—第j個滾動體的離心力。

Fcj的表達式為：

(11)

進而，可寫出套圈的平衡方程式為：

(12)

式中：Fr—施加在內圈上的徑向載荷；z—滾動體個數；θj—滾動體的軌道位置。

式(10，12)的未知量即為滾動體的徑向位置和套圈的位移，需要采用數值迭代方法進行求解。

2 軸承疲勞壽命計算

根據擬靜力學模型，在得到各滾動體與內圈和外圈的接觸載荷后，即可根據L-P公式計算軸承的疲勞壽命。

首先，計算各套圈的滾動體當量負荷：

(13)

其次，計算套圈的額定滾動體負荷：

(14)

式中：λ—降低系數；上面的符號用于內圈，下面的符號用于外圈；γ=D/dm。

則套圈的L10壽命為：

(15)

整套軸承的L10壽命為：

(16)

3 結果與討論

3.1 擬靜力學分析模型的計算流程

擬靜力學分析模型的計算流程如圖3所示。

圖3 擬靜力學分析模型的計算流程

根據圖3可知具體計算流程為：

(1)首先給定套圈和滾動體的初始位置，并計算滾動體和套圈之間的幾何趨近量以及二者之間的滾動速度及油膜厚度；

(2)進而，基于Newton-Raphson方法求解式(3)所給的非線性方程，得到彈性變形量,并進一步得到接觸載荷；

(3)在得到接觸載荷后，針對每個滾動體求解式(10)。若滿足精度條件，則輸出接觸載荷；若不滿足精度條件，則采用二分法更新滾動體的位置矢量，返回重新計算；

(4)將每個滾動體的接觸載荷代入式(12)中。若不滿足式(12)的精度條件，則采用二分法更新套圈的位置矢量，返回重新計算；若滿足精度條件，則輸出接觸載荷，并繼續對軸承的疲勞壽命進行計算。

本節主要討論PVR和EHD潤滑狀態對接觸載荷分布以及疲勞壽命的影響。為了對比分析，本文同時給出了基于所提擬靜力學模型的計算結果，以及基于de Mul建立的圓柱滾子軸承擬靜力學模型的計算結果。

在de Mul擬靜力學模型中，不考慮滾動體和套圈之間潤滑狀態，只考慮滾動體的離心力對接觸載荷的影響，并且只有當滾動體和套圈之間的幾何趨近量大于0時，二者之間才有接觸載荷。同時，為便于分析，本文僅分析軸承部件在yizi平面內的運動，軸承承受單一方向的純徑向力，不考慮轉矩的作用。

為了將分析重點聚焦到PVR和EHD潤滑狀態對壽命的影響，軸承的徑向游隙設置為0。圓柱滾子軸承的結構參數分別為：滾動體個數12，軸承節徑38.33 mm，滾動體直徑6.9 mm，滾動體長度6.45 mm，潤滑油的壓粘系數2.2×10-8m2·N-1，式(14)中的降低系數取0.5。

3.2 PVR潤滑狀態對軸承接觸載荷分布的影響

當軸承承受3 000 N的純徑向力，轉速為3 000 r·min-1，潤滑油的初始粘度為0.045 Pa·s時，具體分析滾動體和內外圈的接觸載荷分布、滾動體與套圈的幾何趨近量。

滾動體和內圈的接觸載荷分布如圖4所示。

圖4 滾動體-內圈接觸載荷

從圖4中可以看出：在de Mul模型的計算結果中，僅有滾動體5～滾動體9與內圈有接觸載荷(滾動體編號參見圖1)。

滾動體和外圈的接觸載荷分布如圖5所示。

圖5 滾動體-外圈接觸載荷

從圖5中可以看出：在de Mul模型的計算結果中，僅有滾動體5～滾動體9與外圈有接觸載荷。

滾動體-套圈幾何趨近量(de Mul模型)如圖6所示。

圖6 滾動體-套圈幾何趨近量(de Mul模型)

從圖6中可以看出：滾動體5～滾動體9與內圈之間的幾何趨近量大于0。該結果解釋了在de Mul模型中，僅有滾動體5～滾動體9與內圈有接觸載荷的原因。

滾動體-套圈幾何趨近量(本文所提模型)如圖7所示。

圖7 滾動體-套圈幾何趨近量(本文所提模型)

從圖7中可以看出：即使是當滾動體與內圈之間的幾何趨近量小于0(滾動體1～滾動體4、滾動體10～滾動體12)，滾動體與內圈之間的接觸載荷依然不為0，主要原因是受到PVR潤滑狀態的影響。

在模型的計算過程中，通過對各滾動體的潤滑狀態進行分析還可以看出：滾動體1～滾動體4以及滾動體10～滾動體12與內圈之間為PVR潤滑狀態，而滾動體5～滾動體9與內圈之間為EHD潤滑狀態。由于滾動體1～滾動體4以及滾動體10～滾動體12與內圈之間的潤滑狀態為PVR潤滑，即使滾動體和內圈之間的幾何趨近量小于0，二者之間的接觸載荷依然大于0，符合HOUPERT對滾動軸承內部接觸載荷分布的討論。

由于滾動體5～滾動體9與內圈之間為EHD潤滑狀態，所提模型計算得到滾動體5～滾動體9與內圈的接觸載荷與de Mul模型的計算結果差別不大。

下面討論滾動體和外圈之間的接觸。

在離心力作用下，滾動體與外圈始終能夠接觸。因此，滾動體和外圈之間的幾何趨近量總是大于0，如圖(6，7)所示。對于de Mul模型的計算結果，滾動體1～滾動體4以及滾動體10～滾動體12與外圈之間的幾何趨近量為5.63×10-6mm，接觸載荷等于離心力(0.605 8 N)。

另外，由于滾動體和外圈之間始終能夠接觸，二者之間的幾何趨近量均大于0。在模型的計算過程中可以發現，滾動體和外圈之間的潤滑狀態總是EHD潤滑(如圖7所示)。雖然滾動體和外圈之間總為EHD潤滑狀態，但由于PVR潤滑會影響滾動體和內圈在Δ<0時的接觸載荷，為了維持載荷平衡，導致本文計算得到的滾動體和外圈之間的接觸載荷分布與de Mul模型的計算結果存在一定的差異，且所提模型計算得到的接觸載荷整體上大于de Mul模型的計算結果。

3.3 徑向載荷對軸承疲勞壽命的影響

當軸承承受不同的徑向載荷時，本文基于所提擬靜力學模型和de Mul擬靜力學模型，計算軸承內圈、外圈以及軸承整體的L10壽命。

不同載荷下的軸承的L10壽命如表1所示。

表1 不同載荷下軸承的L10壽命(×106 r)

從表1中可以看出：(1)隨著載荷的增大，軸承的L10壽命會隨之減小；(2)同時，由于考慮了PVR潤滑后會增大軸承內部的接觸載荷，與基于de Mul擬靜力學模型的計算結果相比，基于所提模型計算得到的L10壽命會減小。

在考慮了軸承內部復雜的潤滑狀態基礎上，為了進一步研究其對軸承疲勞壽命計算結果的影響，下面分析基于所提模型計算得到的軸承整體L10壽命(L10_PVR/EHD)與基于de Mul模型計算得到的軸承整體L10壽命(L10_deMul)之間的相對偏差。

相對偏差的計算方法為：

(17)

不同載荷下的相對偏差如圖8所示。

圖8 不同徑向載荷情況下的相對偏差

從圖8中可以看出：隨著外載荷的增大，相對偏差首先隨載荷的增大而減小，進而隨著載荷的增大而逐漸增大。特別是當徑向載荷較小時，二者之間的相對偏差較大。

因此，對于低載荷情況，應特別注意PVR和EHD潤滑狀態對軸承疲勞壽命的影響。

3.4 轉速對軸承疲勞壽命的影響

軸承的轉速對軸承各元件的表面速度以及滾動速度有重大的影響，從而會對油膜厚度產生影響。因此，本節分析軸承轉速對疲勞壽命的影響規律。

本節中，軸承承受3 000 N的純徑向載荷，潤滑油的初始粘度為0.045 Pa·s。當軸承的轉速從1 000 r·min-1遞增到10 000 r·min-1時，具體分析軸承內圈、外圈以及軸承整體的L10壽命。

不同轉速下軸承的L10壽命如表2所示。

表2 不同轉速下軸承的L10壽命(×106 r)

從表2中可以看出:由于de Mul模型僅能考慮離心力的影響，de Mul模型計算得到的疲勞壽命受轉速的影響較小。

由于轉速會嚴重影響各潤滑狀態下油膜厚度的計算結果，而油膜厚度又會對彈性變形量產生較大的影響，從而對接觸載荷分布和軸承的疲勞壽命產生影響。

從表2中可以看出，當考慮PVR和EHD潤滑后，軸承的疲勞壽命首先隨轉速的增大而增大，并繼而隨著轉速的增大而減小。

基于所提模型計算得到的軸承整體L10壽命，與基于de Mul模型的計算結果之間的相對偏差如圖9所示。

圖9 不同轉速下的相對偏差

從圖9中可以看出:隨著轉速的增大，相對偏差會先減小，后增大，整體上呈非線性變化。

根據本節的分析可以發現，轉速對疲勞壽命的影響存在一定的非線性，這可能是由于油膜厚度與滾動速度之間的非線性關系而導致的。

進而，根據本節的分析可知，在高轉速下需要著重考慮PVR潤滑和EHD潤滑對軸承疲勞壽命的影響。

3.5 潤滑油初始粘度對軸承疲勞壽命的影響

根據前面的討論，油膜厚度對接觸載荷有重要的影響；同時，油膜厚度會受到潤滑油初始粘度η0的影響。因此，本節分析η0對軸承疲勞壽命的影響規律。

本節中，軸承承受3 000 N的純徑向載荷，軸承的轉速為3 000 r·min-1。當η0從0.01 Pa·s遞增到0.1 Pa·s時，具體分析軸承內圈、外圈以及軸承整體的L10壽命。

不同η0下軸承的L10壽命如表3所示。

表3 不同η0下軸承的L10壽命(×106 r)

從表3中可以看出:由于de Mul擬靜力學模型無法考慮潤滑效應，當轉速和載荷確定后，基于de Mul模型的計算值不會隨η0的改變而改變。然而，筆者所提模型能夠考慮PVR和EHD潤滑，因此，從表3中也可以看出，當η0發生變化時，軸承的疲勞壽命也隨之發生較大的變化。

另外，從表3中還可以看出，軸承疲勞壽命首先隨η0的增大而增大，并進一步隨η0的增大而減小。這種非線性變化可能是由于油膜厚度與η0之間的非線性關系而導致的。

基于本文所提模型計算得到的軸承整體L10壽命，與基于de Mul模型的計算結果之間的相對偏差如圖10所示。

圖10 不同潤滑油初始粘度下的相對偏差

由圖10可見：二者之間的相對偏差首先隨潤滑油初始粘度的增大而減小，并進一步隨潤滑油初始粘度的增大而增大。

根據本節的分析結果可知，當潤滑油初始粘度較小或較大的時候，需要重點考慮PVR潤滑和EHD潤滑對軸承疲勞壽命的影響。

4 結束語

筆者通過考慮PVR和EHD潤滑，建立了圓柱滾子軸承疲勞壽命分析模型；采用L-P公式對圓柱滾子軸承的疲勞壽命進行了分析，并重點分析了外載荷、轉速以及潤滑油初始粘度對軸承疲勞壽命的影響規律，得到以下結論：

(1)在PVR潤滑狀態下，即使滾動體和套圈之間的幾何趨近量小于0，二者之間的接觸載荷依然大于0，并對軸承的疲勞壽命產生影響；在考慮PVR潤滑后，計算得到的接觸載荷會整體增大，軸承疲勞壽命會減小；

(2)在考慮PVR和EHD潤滑后，軸承的疲勞壽命首先隨轉速的增大而增大，并繼而隨著轉速的增大而減小；在高轉速情況下，應著重注意PVR和EHD潤滑對軸承疲勞壽命的影響；

(3)在考慮PVR和EHD潤滑后，軸承疲勞壽命首先隨潤滑油初始粘度的增大而增大，并進一步隨潤滑油初始粘度的增大而減小；當潤滑油的初始粘度較小或較大時，應著重考慮PVR和EHD潤滑對軸承疲勞壽命的影響。