裝配故障對齒輪嚙合剛度的影響研究*

張琛良，趙 鑫

(貴州大學 機械工程學院，貴州 貴陽 550025)

0 引 言

由于安裝原因或運行不當，傳動系統容易發生變形，導致齒輪副發生錯位。而這一錯位會造成齒輪的齒面受力不均勻，局部區域產生應力集中，造成額外的動載荷，使齒輪產生齒面點蝕、齒根裂紋，嚴重時會導致齒輪失效。

針對幾種齒輪的裝配故障，許多學者進行了相關的研究。KUMAR[1]研究了軸向、徑向與角度錯位對齒輪嚙合面積的影響；GUO[2]研究了齒隙與中心距變化對齒背側嚙合剛度函數中相位滯后的影響；SAXENA[3]基于計算機仿真求解直齒圓柱齒輪副總有效嚙合剛度的方法，研究了齒輪副的偏轉和摩擦對時變嚙合剛度的影響；YE[4]考慮了齒輪尖角接觸與軸不對中的條件，分析了齒輪副接觸應力變化狀態；LI[5]對軸偏差齒輪嚙合進行了模擬實驗，實驗結果表明，當齒輪出現軸偏差時，主頻率為嚙合頻率的2～3倍頻，其調制頻率為輸入軸轉頻與輸出軸轉頻，且相對于無故障時沖擊明顯增大，調制頻率增大；吳紅玉[6]分析了角度錯位引起的應力分布，分析結果表明，當發生角度錯位時，齒輪接觸面積與偏差角成正比，齒根一側應力增大量與偏轉角度增大量成正比，而齒根另一側的應力減小；林家春[7]研究了偏置距對齒面傳動誤差的影響，得出齒輪向上偏差對傳動誤差影響較小的結論；許鳳華[8]研究了偏載對齒輪齒條嚙合的影響，結果表明，偏載增加了齒輪的應力集中，增加了齒輪損壞的風險；CHAARI[9]提出了采用勢能法來求解齒輪嚙合剛度的計算方法，并對此進行了研究，結果表明，勢能法能夠很準確地計算故障齒輪的嚙合剛度。

筆者在總結前人研究成果的基礎上，對采用勢能法求解嚙合剛度的方法進行改進，使其能夠計算錯位故障時的嚙合剛度，并用該方法對徑向、軸向、角度錯位進行分析，最后與仿真結果進行對比，為齒輪的錯位故障診斷提供理論依據。

1 幾種裝配故障

在齒輪的安裝或運行過程中，會出現的裝配故障大致可以分為3種：

(1)軸向錯位。軸向錯會使接觸線長變短，全部受力集中在接觸區，導致接觸部分受力變大，更容易發生點蝕、裂紋等故障；

(2)徑向錯位。齒輪在設計制造時，會將齒隙考慮進去，以滿足潤滑、偏轉、制造誤差和熱膨脹的需要；但徑向錯位會使齒輪齒側的間隙變大，齒側間隙過大時，可能會出現脫齒現象，增大沖擊載荷，使齒輪運行變得不平穩，特別是在齒輪箱的啟動或反向運轉時出現巨大沖擊，縮短齒輪箱的運行壽命；

(3)角度錯位。角度錯位會改變齒輪接觸的線長與受力，角度錯位的主要原因是由軸的不平行引起的，這會使兩平行齒面出現夾角，導致沿齒面傳遞的載荷分布不均勻，在齒面一側出現應力集中，而另一側分離，長時間的不對中容易導致輪齒突然斷裂。

2 勢能法求解齒輪嚙合剛度原理

筆者應用勢能法求解齒輪時變嚙合剛度，勢能法計算精度較高。勢能法求解齒輪嚙合剛度包括4個部分：赫茲能Uh、彎曲勢能Ub、徑向壓縮變形能Us、剪切變形能Ua。

齒輪受力圖如圖1所示。

圖1 齒輪受力示意圖

勢能法求解原理如下式所示：

(1)

式中：F—齒輪動態嚙合力，方向沿嚙合線方向；d—嚙合點距基圓的距離；Fa，Fb—F在x、y向分量；E—彈性模量；Ix—面積慣性矩；Ax—輪齒截面積；α1—任一時刻壓力角；L—齒輪接觸線長；z1，z2—主、從動齒輪齒數。

式(1)中的各個參數如下式所示：

(2)

將式(1，2)進行整理后可得：

(3)

則一對齒輪的綜合嚙合剛度為：

(4)

式中：kb—齒輪彎曲剛度；ka—剪切變形剛度；ks—徑向壓縮變形剛度；kf—柔性變形剛度，角標1，2分別代表主動輪與從動輪。

3 3種裝配故障嚙合剛度變化

接下來對3種裝配故障導致的齒輪嚙合剛度變化分別進行計算。

取齒輪副齒數分別為：z1/z2=34/50，模數m=4，壓力角α=20°，齒寬b=40 mm。

無故障時的齒輪嚙合剛度變化如圖2所示。

圖2 無故障狀態下的嚙合剛度

由圖2可知：嚙合剛度是隨齒輪轉動周期變化的函數；齒輪內部的激勵造成了齒輪箱運行時的振動，而當齒輪發生故障時其振動形式發生改變。

3.1 軸向錯位

當齒輪發生軸向錯位時，接觸面積的變化使接觸線長L發生變化，變為Lc=L-ΔL，ΔL—軸向錯位距離。式(1)中橫截面積Ax與面積慣性矩Ix發生變化，其表達式分別為：

(5)

將式(5)代入式(4)，可得到軸向錯位嚙合剛度變化情況，如圖3所示。

圖3 軸向錯位時的嚙合剛度

當齒輪發生軸向錯位時，時變嚙合剛度隨著錯位距離的增加等比例的減小，這與之前分析得到的結果相同；軸向錯位相當于齒輪齒寬減小，而時變嚙合剛度的減小表現為幅值的減小。

3.2 徑向錯位

當齒輪發生徑向錯位時，嚙合面積發生變化，輪齒背側不再接觸，齒輪中心距變為ac=a+Δc,其中：Δc—齒輪沿徑向錯位距離。

由漸開線齒廓特征可知：齒輪相鄰兩齒同側齒廓在嚙合線上的齒矩等于基圓節距弧，即使中心距發生變化，齒輪在嚙合線上的齒矩保持不變，齒輪依然可以保證嚙合。

但中心距變大后，齒輪嚙合角變大。由齒輪重合度公式可知，齒輪重合度變小，如下式所示：

(6)

式中：αa—齒輪齒頂圓壓力角；α′—嚙合角。

中心距變動后的齒輪嚙合角為：

(7)

齒輪重合度變小的原因是由于齒輪有效嚙合面積變小，即齒輪開始進入嚙合的點向齒頂靠近。公式(2)中，時變嚙合剛度算法中的α取值范圍發生變化，變化量的算法如下：

從動輪齒頂圓與嚙合線交點為主動輪開始進入嚙合的最低點，徑向錯位嚙合示意圖如圖4所示。

圖4 徑向錯位嚙合示意圖

根據圖4可知：

根據圖4中各參數，可求得O1B的長度為：

(8)

式中：ra—齒頂圓半徑；rb—基圓半徑，角標1，2分別代表主動齒輪與從動齒輪。

根據O1B的長度，可求得α1的下限為：

(9)

α1的上限不變，則α1的取值范圍為：

將式(8，9)代入式(3，4)中，可得到齒輪發生徑向錯位時的嚙合剛度變化情況，如圖5所示。

圖5 徑向錯位時的嚙合剛度

當齒輪發生徑向錯位時，齒輪中心距發生變化，導致重合度減小；由于漸開線齒輪的嚙合關系，重合度的減小不會影響齒輪的正常嚙合，只是使單齒嚙合時間縮短。

因此，當齒輪發生徑向錯位時，嚙合剛度的變化形式表現為：剛度曲線相位的偏移以及幅值的減小。

3.3 角度錯位

當齒輪發生角度錯位時，齒輪接觸面積如圖6所示。

圖6 角度錯位時齒輪接觸面積

由圖6可以看出：

(1)兩齒輪軸不再平行，呈一定的錯位角；(2)兩齒輪一側接觸，另一側處于分離狀態，齒輪接觸面積由矩形變為3次曲線；(3)其受力也不再均勻，受力呈拋物線型。

齒輪受到扭矩時，一部分能量會以扭轉能的形式被儲存在齒輪中，被儲存在齒輪中的扭轉能可表示為：

(10)

式中：T—齒輪由于角度偏差所受扭矩，T=Ftt；t—載荷作用點與齒輪中線的距離；kτ—扭轉剛度；Ipx—距齒根距離為x的截面的極慣性矩；Ft—軸向力，Ft=Fcosαcosθ。

(11)

齒輪的接觸線長由其偏轉角θ決定，偏轉角越大則接觸線長越小。接觸線長L′可由下式計算[10]得到：

(12)

式中：Cz—彈性常數；fRW—方向誤差。

扭轉剛度為：

(13)

原齒輪時變嚙合剛度變為：

k=

(14)

齒輪發生角度錯位時的時變嚙合剛度如圖7所示。

由圖7可知：

(1)當發生角度錯位時，即使微小的角度偏差也會導致齒輪嚙合線發生很大的變化，接觸面積由最初的矩形變為拋物線形；(2)角度偏差會導致齒輪一側遭受很大的壓力，而齒輪另一側發生分離，造成嚴重的受力不平衡；(3)隨著角度偏差的出現，嚙合剛度急劇減小；且當角度增大時，嚙合剛度的減小過程變得緩慢。

對比以上3種錯位形式可知：

(1)角度錯位對嚙合剛度影響最大，即使是非常微小的角度錯位也會引起嚙合剛度巨大的降低；(2)對嚙合剛度影響大的其次是徑向錯位；(3)對嚙合剛度影響最小的是軸向錯位。

4 仿真分析

筆者建立齒輪有限元模型，主動齒輪順時針旋轉，齒輪正處于單齒嚙合狀態。

在邊界條件與載荷施加完畢后，主動齒輪旋轉角度與剛度計算公式如下：

(15)

(16)

式中：T—主動輪扭矩；dθ—主動輪旋轉角度；Km—扭轉剛度；rb—基圓半徑；K(t)—直線剛度。

筆者將主動齒輪嚙合角在區間(-0.459,0.064)內等分成27份，并根據嚙合角計算齒輪轉過角度θn，將模型旋轉θn繼續測值，得到嚙合剛度曲線；并對軸向錯位2 mm、徑向錯位2 mm、角度錯位0.2°，以同樣的方法通過仿真得到的模型如圖8所示。

圖8 仿真模型對比

圖8(a)中，將得到健康的嚙合剛度曲線與筆者提出的方法進行對比可知，曲線下方面積誤差在0.568%以內。由此可見，該方法是有效的；

圖8(b)中，通過徑向錯位故障與無錯位嚙合剛度的對比可知，仿真分析與理論計算得到的趨勢相同；

圖8(c)展示了幾種錯位故障與無錯位嚙合剛度對比，從圖中也可以明顯看出幾種錯位對嚙合剛度的影響大小。

5 結束語

由于齒輪副的安裝或運行不當，導致傳動系統發生變形、齒輪副發生錯位，造成齒輪副運行不穩定的問題，筆者對齒輪副的徑向錯位、軸向錯位、角度錯位3種裝配故障進行了分析，對3種裝配故障情況下嚙合剛度的變化情況進行了計算，并得出以下結論：

(1)3種錯位均會導致齒輪嚙合面積的減小，其中，角度錯位對嚙合面積的減小量最多，徑向錯位其次；

(2)對比3種嚙合剛度曲線可知，3種錯位均會使嚙合剛度有不同程度的降低，其中，角度錯位最為明顯，其次是徑向錯位，影響最小的是軸向錯位；

(3)將理論計算模型與有限元模型進行對比，驗證了理論模型的準確性。

該結果為后續故障狀態下，進行齒輪箱動力學模型的計算提供了基礎。