基于圓弧擬合的軸承滾子凸度最優設計研究*

賈 磊，李云峰

(1.河南科技大學 機電工程學院，河南 洛陽 471039；2.商丘工學院 機械工程學院，河南 商丘 476000)

0 引 言

作為工業基礎件，滾動軸承被廣泛應用于各類機械產品中。在有些場合，軸承的壽命決定了機械主機的壽命；有些場合軸承成為消耗件，主機需要定期更換新的軸承，軸承壽命的長短決定了每年的維護成本。

滾動軸承的壽命理論經歷了長期的發展，其中經典L-P壽命理論[1]被列入國際及國家標準，因其計算方法簡單而被廣泛應用。其定義為90%可靠度下，軸承工作表面出現疲勞剝落之前完成的工作轉數。因此，軸承工作表面的疲勞剝落成為軸承領域關注的核心。

在線接觸類型軸承中，如圓柱滾子軸承、圓錐滾子軸承、滾針軸承等，軸承工作表面的接觸為滾子和滾道的有限長線性接觸。根據赫茲接觸理論[2]發現，線接觸的滾子邊緣會出現應力集中現象，導致邊緣剝落較快。隨后Lundberg[3]提出了對數曲線輪廓，可以使線接觸實體上的應力均勻分布，有效解決了邊緣應力集中問題，可以使滾動軸承壽命提高數倍以上，被認為是理想的滾子輪廓形狀。

然而，由于加工技術的限制，Lundberg對數理論提出后的很長一段時間內，都無法加工出對數曲線輪廓的滾子[4-6]。因此，在其基礎上，后來又發展出多種修正線型輪廓滾子[7-8]，如輪廓是中間直線，兩端圓弧的修正線。隨著技術進步，目前對數輪廓的加工初步得到實現，但尚不成熟。直至今日，絕大部分的線接觸滾動軸承仍使用的是修正線形輪廓滾子，僅相對少數使用對數曲線輪廓滾子。其中有很大一部分凸度的加工是采用砂輪多圓弧仿形磨削[9-12]。同時，軸承滾子凸度的檢測技術中，也采用曲線擬合方法對輪廓誤差進行評定[13-14]。由于對數曲線的加工和測量相對較難，實際生產中更多的采用的是圓弧曲線。

在設計上容易給出對數曲線方程，但目前制造和檢測相對困難；同時，依靠多圓弧擬合方法進行加工和檢測顯然又會存在誤差。

面對目前大部分軸承還沒有使用對數曲線的實際現狀，筆者借鑒曲線擬合方法，在設計源頭對軸承進行圓弧輪廓的設計，使軸承設計、加工、檢測達到統一，從而保證軸承滾子的精密度和良好的質量。

1 滾子輪廓修形方法

目前，對于線接觸的滾動軸承滾子表面輪廓的介紹已有很多，主要包括：直線不修形、全凸型、相交修正線型、相切修正線型及理想的Lundberg對數曲線。

不同滾動軸承滾子表面輪廓如圖1所示。

圖1 不同滾動軸承滾子表面輪廓

圖1(a)中，直線型會出現邊緣應力集中的現象，因此是不可以應用的類型。

圖1(e)中，Lundberg對數型是最理想的類型，但卻存在難以加工的問題。

其他類型各有特點。目前常用的是圖1(d)所示的中間直線兩端圓弧且圓弧和直線相切的修正線型。

雖然理想的對數型輪廓可以提高軸承壽命幾倍到幾十倍，但顯然任何非對數的修形都無法達到該效果。而修正線型只是一種折中的辦法。

相對應的，滾動軸承滾子表面輪廓的修形方法如表1所示。

表1 滾動軸承滾子表面輪廓的修形方法

R0—圓弧半徑，mm；c—直線與圓弧相切或相交的交點坐標，mm；Q—軸承中滾子最大受力，N；Lwe—滾子有效接觸長度，mm；E—接觸體彈性模量，MPa；ν—材料泊松比；y—修形值，mm

2 滾子輪廓修形圓弧擬合理論

鑒于以上情況，考慮到與對數輪廓的相似性，本研究提出一種雙圓弧曲線輪廓，兩段弧曲線輪廓如圖2所示。

圖2 兩段弧曲線輪廓

圖2中，滾子中部為R1圓弧，兩端邊緣為R2圓弧，形成兩段圓弧結構。該輪廓和對數型輪廓有一定的相似度。加工上可以使用被修整為圓弧R1和R2的砂輪分兩次精磨，容易實現。

基于圓弧擬合理論，筆者擬在無限接近對數輪廓的情況下，求出兩段圓弧的最優參數，從而完成相關的設計。相比較現行的修正線輪廓，該輪廓更接近最優的對數曲線輪廓，而又比對數輪廓更易于加工實現。

首先，對于已知參數軸承，可寫出其對數曲線函數為：

(1)

圖2的兩段圓弧的坐標方程為：

(2)

c為兩段圓弧的交點。如果定義R1圓弧段占滾子有效半長的m倍，那么c為：

(3)

用式(2)擬合式(1)，建立優化目標函數為：

(4)

由于R1在R2圓弧方程中是一個參數，要首先擬合R1圓弧段。

首先設置m值，給出兩段圓弧的交點c，然后在0≤x

f1=

(5)

式中：R1—未知數，對其進行無約束最小值優化。

優化方法有很多，這里使用牛頓迭代法進行運算。設置一定的收斂精度，并給予適當初值，經過簡單迭代即可得到最優R1的值。

計算出R1后，進行R2段圓弧的曲線擬合，建立目標函數：

(6)

類似地，可使用牛頓迭代法進行R2值求解。

通過以上步驟，可以得到在特定m值時，無限接近對數曲線的兩段圓弧曲線。而實際上該特定m值是否設置得合理，還需要作進一步的迭代運算。

參照修正線型曲線的R0圓弧段一般占比不超過30%，所以可以認為m值在0.5～0.9之間。那么就可以設置m值的范圍和步長，逐一進行迭代計算(每一個m值均對應一條無限接近對數曲線的圓弧曲線)，最后在結果中篩選出最接近的一條曲線，即為整個擬合過程的最優解。

3 計算實例及分析

3.1 計算程序

筆者對以上步驟采用MATLAB編寫計算程序，其中，牛頓迭代法的收斂精度設置eps=1×10-10mm，R1和R2的初值均設置為1 000 mm。

為驗算程序的通用性，本文分別列舉3個不同長度滾子的案例。

其計算流程如圖3所示。

圖3 計算流程圖

3.2 計算案例1

滾子有效長度為Lwe=47 mm，其Lundberg對數方程為：

(7)

迭代過程不足1 s。

擬合后曲線如圖4所示。

圖4 案例1的擬合曲線

計算后得到的案例1最優結果如表2所示。

表2 案例1最優結果

3.3 計算案例2

滾子有效長度為Lwe=39 mm，其Lundberg對數方程為：

Y=-0.002 6ln[1-(2x/39)2]

(8)

案例2的擬合曲線如圖5所示。

圖5 案例2的擬合曲線

案例2的最優結果如表3所示。

表3 案例2最優結果

3.4 計算案例3

滾子有效長度為Lwe=30 mm，其Lundberg對數方程為：

(9)

案例3的擬合曲線如圖6所示。

圖6 案例3的擬合曲線

案例3的最優結果如表4所示。

表4 案例3最優結果

3.5 結果分析

從以上3個案例可以看到：

(1)不同滾子對應的擬合圓弧在滾子長度上所占的比例m值不同，但基本都在0.85左右，與對數曲線在滾子末端極速下降相似。在m值這一點上，與現行設計方法還是有所不同。在現行設計方法中，不論滾子尺寸大小，m值均是定值；

(2)另外，兩條曲線的擬合度非常之高，差值f在10-5或10-6數量級以上。至于兩端圓弧交點處的尖點，在加工上只需要采取圓滑過渡的方法即可。

在設計上，上述擬合方法使滾子輪廓非常接近對數曲線；

在加工過程中，也可以完全按照設計圖樣進行仿形磨削，砂輪可以按照R1和R2進行修整；

在檢測上，也可以完全對比圖樣進行檢測。

由此可見，該方法在真正意義上實現了軸承滾子在設計、加工、檢測方面的統一。

4 結束語

本研究提出了一種新型兩段圓弧型軸承滾子凸度，以最優Lundberg對數曲線為目標，借助曲線擬合方法，依次對R1、R2、m值進行多次迭代計算，最終得到了最優的兩段圓弧曲線半徑值及最優的占比值；不同滾子的擬合結果不同，所有的結果非常接近對數曲線，因此，該計算方法具有正確性和通用性。

該方法所得到的結果比現行設計方法中直線加圓弧的修正線型設計更為合理，同時又比對數曲線更容易加工，在工程應用上實現了易加工、應用好的效果。

另外，在后續的研究中，對于其中的迭代程序，則還需要開發出適合技術人員易于使用的簡單的交互界面。