圖像表征在小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決中的思考與實踐

王城城

摘要：圖象表征可以讓復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得具體、形象，促進學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生問題解決的能力。但在實際教學(xué)中，學(xué)生問題解決能力普遍薄弱，結(jié)合多年的教學(xué)實踐和經(jīng)驗，筆者意圖通過具體的教學(xué)案例，談?wù)剤D象表征在小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決中的一點體會。

關(guān)鍵詞：圖象表征;問題解決;思考實踐

“問題解決”既是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點，也是教學(xué)中的難點。培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效途徑。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》明確指出：“要使學(xué)生初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實際問題，增強應(yīng)用意識，提高實踐能力”。然而，事與愿違，雖然在實際教學(xué)中教師教得很辛苦，學(xué)生學(xué)得也很認真，但錯誤率仍舊居高不下，問題解決能力成為學(xué)生數(shù)學(xué)成績差異的重要因素。通過調(diào)查，筆者發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生很少有意識、自覺地進行表征，也有的甚至不會進行表征，嚴重阻礙了學(xué)生問題解決能力的提高。作為數(shù)學(xué)老師，如何在課堂上引導(dǎo)學(xué)生有意識、主動地進行表征呢。筆者做了以下嘗試：

一、學(xué)會再現(xiàn)——圖像表征

首先，讓學(xué)生感悟到圖像表征的優(yōu)勢，進而提高學(xué)生用圖表征的興趣。這也是全國各個版本教材中普遍采用可視化插圖進行表征的原因，有助于教師在分析、解決問題時，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷信息收集、問題提出的過程。鼓勵學(xué)生從圖中搜索有效的數(shù)學(xué)信息，找到解決問題的思路與方法。

例如在教學(xué)《一個數(shù)乘分數(shù)》，首先就開門見山，出示主題圖中的第一部分：“三桶共多少升？”

這個問題，學(xué)生根據(jù)原有經(jīng)驗“一桶水的體積×桶的數(shù)量=水的總體積”這一數(shù)量關(guān)系便可以解決。緊接著，出示半桶水，問孩子們：你看到了什么？你能提一個什么數(shù)學(xué)問題？學(xué)生立刻會脫口而出："半桶水是多少升？"教師繼續(xù)追問：“你能借助直觀圖列式嗎？”學(xué)生出現(xiàn)兩種方法，方法一：12÷2=6（L）;方法二：12×1/2=6（L）。學(xué)生A：“半桶水就是一桶水的一半，就是把一桶水平均分成兩份，求一份是多少，所以用除法。”學(xué)生B：“半桶水就是一桶水的1/2，根據(jù)‘一桶水的體積×桶的數(shù)量=水的總體積這一數(shù)量關(guān)系，所以用乘法。”通過情境圖引導(dǎo)學(xué)生理解一個數(shù)乘分數(shù)的意義：求一個數(shù)的幾倍是多少，當(dāng)表示的倍數(shù)不到一倍的時候，就是求一個數(shù)的幾分之幾是多少。

這一環(huán)節(jié)充分利用直觀圖，讓學(xué)生學(xué)會看圖，感受圖像表征的優(yōu)勢，引導(dǎo)學(xué)生搜集數(shù)學(xué)信息，找到解決問題的思路，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的審題、分析問題的能力，而且運用正遷移及認知上的同化作用，還把分數(shù)乘法的意義和已經(jīng)學(xué)過的整數(shù)乘法的意義統(tǒng)一起來。所以，培養(yǎng)學(xué)生用圖像進行表征的一個有效策略就是增加用圖像進行表征的頻率。

其次，使用圖像表征，雖然能促進學(xué)生思維從具體到抽象發(fā)展，但使用過多也可能會影響學(xué)生理解數(shù)學(xué)深層次的內(nèi)容。因此，教師要盡可能地引導(dǎo)學(xué)生進行半抽象化的表征，掌握了這一本領(lǐng)，才能減輕認知負荷，縮減運算量，更有效地充分利用工作記憶的空間，最終學(xué)生才會形成習(xí)慣，養(yǎng)成意識。

例如在解決“3件上衣、2條褲子搭配，一共有幾種不同的方法？”時，我們要讓學(xué)生盡量畫示意圖來嘗試解決，然而總有學(xué)生選擇實物圖。由此可見，圖像表征首先就是要引導(dǎo)學(xué)生循序漸進地學(xué)會如何用圓圈或者其他圖形去替代實物，畫出半抽象化的示意圖。

再如：在教學(xué)《求一個數(shù)的幾分之幾是多少的問題》例題時，學(xué)生對“求一個數(shù)的幾分之幾是多少用乘法計算”已經(jīng)有了不少的經(jīng)驗，因而教學(xué)時，教師先讓學(xué)生嘗試單獨解決問題。在明確題意之后，學(xué)生作圖方法也多種多樣。

面對不同的作圖方法老師都給予肯定，然后讓學(xué)生通過比較得出如圖所示的三種較為半抽象化的作圖方法。接著讓不同層次的學(xué)生利用圖像表征來分析數(shù)量關(guān)系，從圖中，大部分學(xué)生都能找到單位“1”的量，要求的量是單位“1”的幾分之幾，最終順利解決紅蘿卜的面積。整節(jié)課學(xué)生積極參與，主動思考，少部分獨立畫圖有困難的學(xué)生最后也能根據(jù)圖意分析出數(shù)量關(guān)系，體驗到作圖的價值。正如波利亞在關(guān)于《怎樣解題》的論述中提出，“畫張圖，引入適當(dāng)?shù)姆枴笔墙忸}者“弄清問題”的重要途徑，而幾何圖形和符號都是數(shù)學(xué)圖像表征的內(nèi)容。借助圖像表征理解數(shù)學(xué)問題，可以在問題解決中獲得策略，提高效率。

二、學(xué)會聯(lián)系——圖式表征

如果上述的圖像表征是靜態(tài)的話，那么在培養(yǎng)學(xué)生圖像表征意識的同時，更需要聯(lián)系動態(tài)。一般來說，學(xué)困生之所以產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的障礙，往往是因為學(xué)生在問題解決時關(guān)注情節(jié)中的一些細節(jié)、數(shù)字，思維機械、單一，比如最為常見的是學(xué)生看到“一共”就用加法等讓人頭疼的困惑。而學(xué)優(yōu)生則關(guān)注的是問題解決中的關(guān)系，從整體去聯(lián)系問題，對問題中的信息了解的比較全面，且會采用動態(tài)變化的關(guān)系表征，從而順利解決問題。這其實就是學(xué)習(xí)個體的知識達到了再組織的目的，建立了良好的知識結(jié)構(gòu)，處于相對更高的再認知水平。

在日常檢測中，有幾道題目的錯誤率相當(dāng)高，從而充分說明了這一點。例如，

1.??? 從下圖可以知道，a比b多（）%，b比a少（）%。此題的得分率只有73.7%。

2.??? 一盤水果，蘭蘭吃了總數(shù)的1/4，苗苗吃了1/4kg，那么（）。

A.蘭蘭吃得多B.苗苗吃得多C.兩人吃得一樣多D.無法確定誰吃得多

此題的得分率只有36.7%。

“欲速而不達”，上面習(xí)題錯誤率那么高的很大原因就在于在課堂教學(xué)中沒有注重知識的探究過程，即相當(dāng)多的錯誤根源在于問題表征沒有關(guān)注過程。因此，老師在課堂教學(xué)中應(yīng)該隨時幫助學(xué)生挖掘一些隱含的內(nèi)在關(guān)系，注重過程教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的眼光探討數(shù)學(xué)的概念、關(guān)系以及外在表征，這有利于學(xué)生建立全面的內(nèi)在表征，進而幫助學(xué)生快速地形成數(shù)學(xué)抽象表征，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高問題解決的能力。

三、學(xué)會建構(gòu)——組織化的圖式結(jié)構(gòu)

如果說上述圖像表征和圖式表征都是單個的話，那么更恰當(dāng)、更高層次的表征就應(yīng)該是組織化，幫助學(xué)生建構(gòu)新知，尤其是借助可視化表征能夠優(yōu)化學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，在復(fù)習(xí)時教師要盡可能幫助學(xué)生建立良好的知識結(jié)構(gòu)。

比如，在解決“小剛10歲，他的年齡比爺爺少5倍，爺爺幾歲？”這個問題時，不同的教師可能采用不同的教學(xué)策略。以下是筆者觀察到的幾種：

A教師：從字面出發(fā)，強調(diào)題目說的小剛年齡比爺爺少5倍，反過來就是爺爺年齡比小剛多5倍，接著，多5倍就是小明年齡的6倍，從而列出算式。

B教師：及時引導(dǎo)學(xué)生利用爺爺和小剛年齡的線段圖。

利用圖像對問題進行表征，使得問題中的數(shù)量關(guān)系變得更加直觀形象，避免了復(fù)雜的言語表征。

C教師：在B教師的基礎(chǔ)上，又增加了一組題：

（1）???? 小剛10歲，媽媽的年齡是她的3倍還多2歲，問媽媽幾歲？

（2）???? 小剛10歲，爸爸的年齡比他的年齡多3倍，問父子倆一共幾歲？

（3）???? 小剛10歲，他的年齡比爺爺少5倍，問爺爺幾歲？

很顯然，A教師表面上看思路很清晰，可反復(fù)的說教之后，學(xué)生似乎無法完全理解。B教師關(guān)注到了對于三年級學(xué)生來說，邏輯思維能力并不強，僅僅通過言語表征，學(xué)生無法在短時間內(nèi)尋找圖式中與問題相關(guān)的信息。所以在此時用半抽象化的線段圖幫助學(xué)生順利解決了問題。而C教師還注意到在教學(xué)本課之前，學(xué)生還不太熟悉線段圖，對這種表征方式的理解和運用還存在一定的難度。所以嘗試利用問題鏈的方式，將本題進行變式，遵循了學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律，尤為難能可貴的是建立良好的認知結(jié)構(gòu)，構(gòu)成了有組織的圖式結(jié)構(gòu)。

由此可見，學(xué)生在問題解決時發(fā)生“懂而不會”現(xiàn)象，往往是學(xué)生不能夠有效激活原有認知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的結(jié)點，其根本原因在于學(xué)生對知識的理解往往只停留在“工具性理解”上，而沒有內(nèi)化為自己的認知結(jié)構(gòu)，從而影響了數(shù)學(xué)問題解決能力的提高。

正如華羅庚說的：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”。圖像表征能促進數(shù)學(xué)智慧的生成，使數(shù)學(xué)思維的過程變得簡約，使問題的本質(zhì)得以凸顯進而解決，減輕學(xué)習(xí)的負擔(dān)。

參考文獻

[1]?? 中華人民共和國教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）.北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2]?? 朱德江.小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)策略與案例[M].北京師范大學(xué)出版社，2008.