基于多階次二維分數階傅里葉變換的頻譜彌散干擾抑制算法

張亮，王國宏，張翔宇，李思文

(1.海軍航空大學 信息融合研究所，山東 煙臺 264001；2.94326部隊，山東 濟南 250000)

0 引言

脈沖多普勒(PD)雷達是在動目標顯示雷達基礎上發展起來的一種雷達體制，在空間監視、武器控制、導彈告警、氣象觀測等領域應用廣泛[1-2]。基于數字射頻存儲裝置(DRFM)[3]的頻譜彌散(SMSP)干擾[4]，通過對截獲雷達信號頻率調制、延時拼接，單個干擾信號即可在雷達終端產生高密度距離多假目標，通過對干擾信號調制多普勒頻率，進一步達成對PD雷達的欺騙兼壓制干擾效果。圍繞SMSP干擾抑制，楊少奇等[5]基于模式識別的干擾對抗思路，通過提取雙譜盒維數、信息維數，利用支持向量機分類器識別回波類型，但當回波中包含真實回波和干擾信號時，即使識別出回波中的干擾類型，仍需要做進一步抑制處理；針對該問題，尹洪偉等[6]、Li等[7]分別設計了基于盲源分離、極化對消的干擾抑制算法，但算法均要求多通道雷達接收模型；為提高算法適用范圍，盧云龍等[8]、趙楊等[9]聯合分數階傅里葉變換(FRFT)和壓縮感知(CS)對抗SMSP，但文獻[8]利用FRFT進行干擾初步抑制時設置了較大帶寬的濾波器，高干信比條件下初步抑制回波中剩余干擾較多，影響了真實回波重構效果，而文獻[9]利用短時傅里葉變換(STFT)估計干擾參數、構造信號- 干擾聯合字典，但受STFT時頻分辨率和噪聲影響，低干信比條件下難以準確估計干擾參數，構造的聯合字典與干擾不匹配，真實回波重構效果同樣不夠理想；李欣等[10]、原慧等[11]通過估計干擾參數重構干擾信號，然后從回波中減去重構信號、達成干擾抑制目的，但為重構干擾信號需要估計干擾時延、幅度、相位、調頻斜率等參數，參數估計精度對干擾抑制效果影響較大。

排除算法實現環節、計算復雜度等問題，大部分算法[8-11]均針對一個脈沖重復周期回波，涉及相干處理間隔(CPI)整體回波時，需要分別對每個重復周期回波中的干擾進行抑制，且部分算法[8-10]要求已知長度為雷達發射信號的受干擾回波，實際上未考慮回波時延。針對上述問題，本文以遠距離支援干擾條件下線性調頻(LFM)全相參PD雷達抗SMSP為背景，以雷達在真實目標方位接收到的一個CPI回波為處理對象，利用真實回波和SMSP不同階次下二維FRFT分布差異，通過調整變換階次，在進行二維濾除干擾信號的同時，實現真實目標檢測和運動參數估計。

1 LFM與SMSP多階次分數階特征

設雷達發射信號為LFM脈沖信號，復數形式為

(1)

式中：t為脈沖時間；Tp為脈沖寬度；k為調頻斜率，k=B/Tp，B為信號帶寬。SMSP由N個LFM子信號拼接而成，每個子信號調頻斜率為雷達發射信號調頻斜率的N倍，時寬為發射信號的1/N，第1個子信號為

(2)

式中：kj為子信號調頻斜率，kj=Nk.將j1(t)復制N-1次，拼接得到SMSP為

(3)

當旋轉角度α≠nπ(n∈Z，Z為整數)時，信號x(t)的連續FRFT定義[12]為

(4)

式中：Xp(u)為x(t)的FRFT，u為自變量，對應u域；α=pπ/2，p為階次。

令階次pk=2arccot(-k)/π，(1)式代入(4)式，得到雷達發射信號pk階FRFT為

(5)

式中：αk=pkπ/2.同理，(2)式代入(4)式，得到SMSP第1個子信號pk階FRFT為

(6)

(6)式可理解為求LFM信號eiπ(N-1)kt2的傅里葉變換。根據FRFT時移性質[12]，得到SMSP干擾pk階FRFT為

(7)

同理，令pkj=2arccot(-Nk)/π，雷達發射信號pkj階FRFT為

(8)

式中：αkj=pkjπ/2.同樣，(8)式可理解為求LFM信號eiπ(1-N)kt2的傅里葉變換。SMSP第1個子信號pkj階FRFT為

(9)

SMSP的pkj階FRFT為

(10)

為直觀顯示，設SMSP子信號個數為3，圖1給出了雷達發射LFM信號和SMSP的pk、pkj階FRFT示意圖(用沖擊函數表示辛格函數)。由圖1可以看出，雷達發射信號pk階FRFT為一個辛格函數，u域能量得到充分聚焦，SMSP的pk階FRFT也存在能量聚焦，但聚焦程度不如雷達發射信號。同時，SMSP的pkj階FRFT為3個辛格函數，干擾子信號能量充分聚焦，而雷達發射信號pkj階FRFT不能充分聚焦。考慮到SMSP是相對雷達匹配濾波器的失配信號，干擾功率通常遠大于真實回波功率，干擾pk階FRFT存在淹沒真實回波的可能，且回波時延未知，對回波信號進行pk階FRFT峰值濾波難以準確提取真實回波。可行的方法是先對回波信號進行pkj階FRFT處理、濾除干擾信號，然后對回波進行pk階FRFT處理，檢測真實目標。

圖1 LFM信號和SMSP干擾FRFT示意圖Fig.1 FRFT sketch map of LFM signal and SMSP jamming

2 干擾抑制原理

遠距離支援干擾條件下[13]，干擾機位于雷達探測威力外釋放SMSP，利用生成的虛假目標支援掩護友機突防，支援干擾態勢如圖2所示。

圖2 遠距離支援干擾態勢Fig.2 Stand-off jamming situation

設干擾機徑向速度為vj，被掩護目標初始距離為Rt，速度為vt，加速度為at，速度、加速度矢量與雷達夾角均為0°，則雷達一個CPI內接收真實目標回波基帶信號可表示為

(11)

(12)

式中：L為SMSP個數；Al為第l個SMSP幅度；jl()表示第l個SMSP；tl(tm)為jl()相對雷達發射信號慢時間延時函數；fl(tm)為干擾機對第l個SMSP調制的多普勒頻率函數。受干擾機處理能力限制，對于密集假目標干擾，干擾機通常選擇一個固定多普勒頻率或從多個固定多普勒頻率中隨機選擇某一頻率對干擾信號進行調制[14]。設真實目標未發生距離走動，第l個SMSP不同重復周期多普勒頻率相同，則雷達一個CPI內接收到的受干擾回波為

xr(,tm)=sr(,tm)+j(,tm)+w(,tm)=

(13)

式中：w(,tm)為雷達基底噪聲。連續信號x(s,t)在階次(p1,p2)下的二維FRFT定義[15-18]為

(14)

(15)

式中：Kp1,p2(s,t,u,v)為二維FRFT核函數；β為第2維FRFT旋轉角度。對受干擾回波信號進行二維FRFT處理，使SMSP充分聚焦，設置遮蓋窗濾除干擾，然后調整階次使真實回波充分聚焦，即可在抑制掉干擾的同時實現真實目標檢測。由(10)式、(13)式可知，為使SMSP充分聚焦，二維FRFT階次應為

pf,1=pkj，

(16)

ps,1=1，

(17)

式中：pf,1為快時間一維FRFT階次；ps,1為慢時間一維FRFT階次。暫不考慮雷達基底噪聲，回波信號xr(,tm)在階次(pf,1,ps,1)下的二維FRFT為

(18)

式中：α1=pkjπ/2，此時v域為多普勒域；F[·]表示求慢時間傅里葉變換。聯合(10)式可以看出，SMSP的二維FRFT由N×L個辛格函數組成，干擾能量充分聚焦。(13)式假設tl(tm)=tl，而實際上tl(tm)=tl+4vjmTr/c.分析干擾u域走動，由(18)式可知

(19)

由(19)式可以看出，SMSP一個CPI內u域偏移量為

Δuj=|cos[(-Nk)]||2vj(M-1)Tr/c|.

(20)

Δu=1/Δx=1/fs=ts，

(21)

式中：fs為采樣頻率；ts為采樣周期。利用尺度因子對(20)式中SMSP調頻斜率進行修正，得到

Δuj=|cos[arccot(-NkTr/fs)]||2vj(M-1)Tr/c|.

(22)

令Δuj<Δu，得到

(23)

不同于常規距離走動，SMSP發生u域走動時干擾機臨界運動參數不僅取決于相參積累個數、脈沖重復周期、采樣周期，還與干擾調頻斜率有關，只要干擾機徑向速度滿足(23)式，在階次(pf，1,ps，1)下對回波信號進行二維FRFT處理，就能夠確保干擾充分聚焦。設計N×L個u-v域遮蓋窗濾除干擾，干擾抑制后回波信號可表示為

(24)

pf，2=pk，

(25)

ps，2=2arccot(-2at/λ)/π.

(26)

干擾抑制后，回波信號在階次(pf，2,ps，2)下的二維FRFT為

(27)

式中：α2=pf，2π/2，β2=ps，2π/2.聯合(5)式可知，真實回波能量得到充分聚焦。分析真實目標回波u域走動，由(5)式可知

(28)

真實回波一個CPI內u域偏移量為

Δut=|cos[(-k)]|·
|2{vt(M-1)Tr+0.5at[(M-1)Tr]2}/c|，

(29)

(29)式修正后為

Δut=|cos[arccot(-kTr/fs)]|·
|2{vt(M-1)Tr+0.5at[(M-1)Tr]2}/c|，

(30)

令Δut<Δu，得到

(31)

(32)

(33)

(34)

3 實現方法

基于多階次二維FRFT的SMSP抑制算法需要確定兩組階次，即(pf，1,ps，1)和(pf，2,ps，2)，對于雷達方pf，1和ps，2未知，需要通過估計干擾調頻斜率和真實目標加速度確定。同時，對SMSP進行遮蓋處理，需要確定遮蓋窗寬度。下面介紹具體實現方法。

3.1 基于匹配輸出矩特性的干擾參數估計

估計SMSP調頻斜率方法主要包括自相關法[10]和奇異值比譜法[11]。奇異值比譜法通過估計干擾子信號時寬進而得到干擾調頻斜率，但為估計子信號時寬，每搜索一個時域采樣點，需要對回波重排矩陣進行一次奇異值分解，因此計算量過大[20]；自相關法計算量相對較小，但估計結果受噪聲影響較大。根據SMSP發明專利可知，當子信號調頻斜率為雷達發射信號調頻斜率的5～7倍時，干擾效果最優[4]。以干擾調頻斜率倍數為搜索參數，設定某一評估指標，即可估計出干擾調頻斜率。高階矩[21-23]是一種描述樣本偏離均值程度的尺度化指標，樣本偏離程度越大，矩值越大。當樣本服從0均值高斯分布時，其奇數階矩恒為0，因此可認為高階矩對高斯隨機過程是“盲的”。樣本y的R階中心矩計算公式為

(35)

式中：I為樣本數量。以不同調頻斜率倍數的干擾信號為匹配信號，對一個重復周期內的受干擾回波進行匹配濾波，計算輸出信號R階中心矩，最大矩值對應的調頻斜率即為干擾真實調頻斜率。

3.2 基于時頻重排的真實目標加速度估計

由(27)式可知，干擾抑制后回波信號pf，2階一維FRFT為M個辛格函數，且當目標運動參數滿足(31)式時，不會出現u域走動，取回波信號一維pf,2階FRFT絕對值，慢時間求和得到

(36)

當u=2Rtcosα2/c時，(36)式取得最大值。令ut=2Rtcosα2/c，代入(27)式得到

(37)

由(37)式可以看出，干擾抑制后回波一維FRFT慢時間為初始頻率為2vt/λ、調頻斜率為2at/λ的LFM信號。STFT時頻重排[24-25]能夠獲得高精度時頻矩陣，且不存在交叉項，對慢時間LFM信號進行時頻重排，利用Radon變換將重排矩陣轉換至參數空間，峰值搜索即可估計出真實目標加速度。

3.3 二維遮蓋窗設計

為濾除SMSP，需要設計N×L個u-v域遮蓋窗，分析遮蓋窗u域、v域最小寬度。由(10)式可知，SMSP信號pkj階FRFT為N個辛格函數，每個辛格函數第1級0點寬度為

uw=2N|sin[arccot(-Nk)]|/Tp.

(38)

(38)式修正后，遮蓋窗u域最小寬度對應的離散采樣點數為

(39)

當ps，1=1時，FRFT等同于傅里葉變換，遮蓋窗v域最小寬度應不少于2個采樣點。圖3給出了SMSP抑制流程。

圖3 SMSP抑制流程Fig.3 Flow chart of SMSP jamming suppression

4 仿真與分析

4.1 參數設置和SMSP特征

設雷達載頻為400 MHz，脈沖重復頻率為2 000 Hz，相參積累個數為128；雷達發射LFM脈沖信號，脈寬50 μs，帶寬4 MHz，采樣頻率16 MHz.真實目標為點目標，初始距離30 km，徑向速度112.5 m/s，徑向加速度75 m/s2.遠距離支援干擾機徑向速度15 m/s.雷達在真實目標方位接收到2個SMSP(調頻斜率為雷達發射信號調頻斜率的5倍)，干擾前沿分別為23 km、31 km，多普勒頻率均為260 Hz.圖4通過對比雷達發射信號給出了SMSP時域波形。

圖4 信號時域波形Fig.4 Time-domain waveform of signal

對SMSP進行脈沖壓縮，結果如圖5所示，單個干擾信號即可在雷達終端生成高密度虛假目標。設干信比(JSR)為0 dB，圖6和圖7分別給出了雷達發射信號、SMSP的pk和pkj階FRFT結果。由圖6和圖7可以看出，真實回波與干擾信號分數階域重疊，當JSR較大時，對回波pk階FRFT進行峰值濾波，恢復信號中將包含大量的干擾分量。

圖5 SMSP脈沖壓縮結果Fig.5 Pulse compression result of SMSP jamming

圖6 雷達發射信號和SMSP的pk階FRFTFig.6 pk order FRFTs of radar transmitting signal and SMSP jamming

圖7 雷達發射信號和SMSP的pkj階FRFTFig.7 pkj order FRFTs of radar transmitting signal and SMSP jamming

4.2 算法可行性分析

為驗證算法可行性，設信噪比(SNR)為-5 dB、JSR為20 dB，圖8給出了雷達在真實目標方位接收到的一個CPI受干擾回波。設干擾調頻斜率倍數搜索范圍為1～20，構造匹配信號，對第1個重復周期回波進行匹配濾波，計算輸出信號7階中心矩，結果如圖9所示，可見最大矩值對應的調頻斜率倍數與真實SMSP調頻斜率倍數一致。

圖8 一個CPI受干擾回波信號Fig.8 Jammed echo within one CPI

圖9 SMSP調頻斜率估計Fig.9 Chirp rate estimation of SMSP jamming

將仿真使用的干擾機徑向速度、估計的干擾調頻斜率代入(23)式，結果表明SMSP未發生u域走動。將估計的干擾調頻斜率代入(16)式，確定第1組階次(pf，1,ps，1)，回波二維FRFT結果如圖10所示，可見干擾能量得到充分聚焦。

圖10 原始回波信號第1組階次下二維FRFT結果Fig.10 2D-FRFT result of raw echo signal in the 1st group orders

設二維遮蓋窗u域寬度為16個采樣點，v域寬度為4個采樣點，干擾濾除后回波信號在第1組階次下二維FRFT結果如圖11所示，對比圖10可知干擾大部分被濾除。

圖11 干擾濾除后回波第1組階次下二維FRFT結果Fig.11 2D-FRFT result of echo signal in the 1st group orders after filtering out jamming

將真實目標徑向速度、加速度代入(31)式，可知真實目標同樣未發生u域走動。計算干擾濾除后回波信號一維pf，2階FRFT，結果如圖12所示，可見真實目標未發生u域走動，與理論分析結果一致。

圖12 目標加速度估計步驟1Fig.12 1st step of target acceleration estimation

對圖12第1 068個u域單元慢時間信號進行STFT時頻重排，利用Radon變換將重排后的時頻矩陣轉換至參數空間，結果如圖13所示，估計得到目標加速度為74.62 m/s2，與仿真使用的75 m/s2較為接近。將估計得到的目標加速度代入(26)式，確定第2組階次(pf，2,ps，2)。圖14給出了干擾抑制前后效果對比。由圖14可以看出，干擾抑制前真實目標完全淹沒在虛假目標中，經抑制處理，真實目標得到有效檢測，根據目標峰值點對應的u、v域位置估計得到目標初始距離為30 km，與仿真參數一致，徑向速度為121.1 m/s，與仿真使用的112.5 m/s較為接近。

圖13 目標加速度估計步驟2Fig.13 2nd step of target acceleration estimation

圖14 干擾抑制效果對比Fig.14 Comparison of jamming suppression effects

4.3 算法效能仿真分析

4.3.1 干擾參數估計準確率

多階次二維FRFT抑制SMSP需要確定兩組階次，其中第1組階次涉及干擾調頻斜率估計。定義SMSP參數估計準確率(PEA)[11]為

(40)

式中：PEA單位為百分比；MTK為蒙特卡洛次數；Eij為第i次蒙特卡洛估計的第j個脈沖重復周期內SMSP參數準確度量，估計的子信號調頻斜率與真實參數一致時Eij=1，否則Eij=0.設SNR分別為-10 dB、-5 dB、0 dB、5 dB，JSR取值0～40 dB，間隔5 dB，運行300次蒙特卡洛仿真，圖15對比文獻[10]自相關估計法給出了PEA隨JSR變化曲線。由圖15可以看出，當SNR分別取值為-5 dB、0 dB、5 dB時，不同JSR條件下，兩種算法PEA較為接近，當JSR大于5 dB時，均能準確估計干擾參數。當SNR減小至-10 dB，本文算法PEA接近100%的臨界JSR為5 dB，而文獻[10]為15 dB.

圖15 干擾參數估計準確率隨JSR變化曲線Fig.15 Jamming PEA vs.JSR

4.3.2 目標加速度估計精度

利用平均絕對誤差(MAE)分析SNR、JSR對真實目標加速度估計影響。由4.3.1節分析可知，當JSR大于5 dB時，不同SNR條件下，本文算法PEA為100%.SNR取值同4.3.1節，JSR取值5 dB～40 dB，間隔5 dB，設加速度分別為75 m/s2和375 m/s2，運行300次蒙特卡洛仿真，圖16給出了加速度估計MAE隨JSR變化曲線及克拉美羅界[26](CRLB)。由圖16可以看出，加速度越大，MAE越小，對于同一加速度，相同JSR條件下，SNR越高、MAE越小。同時可以看出，JSR對真實目標加速度估計影響較大，當JSR大于30 dB時，MAE呈明顯上升趨勢，估計誤差迅速增大，這是因為當JSR過大時，干擾濾除不徹底，導致慢時間信號時頻重排效果不夠理想，影響了加速度估計精度。

圖16 真實目標加速度估計MAE隨JSR變化曲線Fig.16 Target acceleration estimation MAE vs.JSR

4.3.3 真實目標檢測概率

為評估算法性能，定義真實目標檢測率(TDR)為

(41)

式中：TDR單位為百分比；Ei為第i次蒙特卡洛仿真對真實目標檢測度量，當檢測到真實目標時Ei=1，否則Ei=0.設距離(u域)保護單元數量為4個、參考單元為16個，多普勒維(v域)保護單元數量為2個、參考單元為8個，利用二維單元平均恒虛警檢測器，分析干擾抑制前后真實目標檢測概率。SNR、JSR同4.3.2節，運行500次蒙特卡洛仿真，圖17對比文獻[8-9]給出了TDR隨JSR變換曲線(文獻[8-9]回波模型均未考慮時延，對比分析考慮了時延因素)。由圖17可以看出，干擾抑制前不同SNR條件下，當JSR大于30 dB時，SMSP生成的虛假目標完全淹沒真實目標，TDR為0.文獻[8]基于雷達發射信號先驗信息，FRFT掃頻濾除SMSP，但由于回波時延未知，無法確定濾波器中心位置，當JSR大于20 dB時，FRFT峰值濾波無法提取真實回波，文獻[9]相比文獻[8]有一定改善，但同樣因為回波時延因素，影響了真實目標檢測。相比文獻[8-9]，當SNR大于等于-5 dB，不同JSR條件下，本文方法對真實目標的檢測概率接近100 %，當SNR減小至-10 dB時，TDR仍能接近80%.

圖17 TDR隨JSR變化曲線Fig.17 Changing curve of TDR with JSR

5 結論

現有SMSP抑制算法涉及相干處理間隔整體回波時需要分別對每個脈沖重復周期回波中的干擾進行抑制。針對該問題，本文以一個CPI回波為處理對象，提出基于多階次二維FRFT的SMSP抑制算法。仿真結果表明，如果考慮回波時延因素，則現有部分干擾抑制算法效能將明顯降低；而本文算法在回波時延未知的情況下，利用不同階次下真實回波和干擾信號二維FRFT分布差異，通過兩組階次調整，二維濾除干擾同時實現真實目標檢測。仿真所設干擾機、突防飛機運動參數不會導致真實回波和干擾信號u域走動，二維FRFT處理能夠使信號充分聚焦，對于目標超高速機動導致真實回波或干擾信號無法充分聚焦的情況如何改進，后續將做進一步研究。