含間隙曲柄滑塊機構自適應魯棒控制研究*

薛邵文,林乃昌*

(1.瀘州職業技術學院 機械工程學院，四川 瀘州 646005；2.四川省瀘州市智能制造重點實驗室，四川 瀘州 646005)

0 引 言

在機械裝備運動副中，間隙的存在在所難免。由于過大或者過小的間隙都會引起運動系統接觸的碰撞，從而也會引起系統穩定性、精度和可靠性的降低，甚至使得系統失效或降低其使用壽命[1-2]。因此，運動副中存在間隙問題帶來的負面影響需要加以研究和解決。

目前，有關運動副中間隙問題的研究重點主要聚焦于含間隙系統建模以及誤差補償方面[3-6]。李研彪等[7]采用牛頓-歐拉法，并結合拉格朗日乘子建立了含間隙空間并聯機構的動力學模型,但該模型計算量龐大，搭建模型過程復雜；郭嘉楠等[8]針對機構中旋轉鉸的結構特點,建立了一種兼顧能量損失和粗糙接觸面動力學特性的碰撞模型,因為建模當中需要忽略一些有關間隙方面的參數，使得該模型不能很好地反應機構的實際運動情況；宿月文等[9]針對多體系統，提出了一種基于查找表的間隙球鉸接觸區域檢索和磨損預測方法，但是這種方法要基于先驗知識，存在一定的主觀性；孫東陽[10]利用非線性彈簧阻尼模型，建立了諧波齒輪傳動的含間隙機構的接觸碰撞動力學模型，但該模型不便于參數的辨識；陳渭等[11]提出了一種求解含間隙曲柄滑塊機構副反力的靜態間隙桿算法，但此種算法建立的模型存在隨機性，不夠準確。

通過以上的分析表明，盡管針對含間隙系統建模所進行的研究已有很多，但是這些建模方法大都存在計算繁雜、模型搭建過程復雜、系統模型精度不高等特點。而目前針對間隙帶的誤差補償的相關研究還很少。

針對以上問題，筆者以實際的曲柄滑塊機構為研究對象，在確定系統中間隙存在的位置之后，結合改進的PSO算法進行系統辨識，建立含間隙曲柄滑塊機構模型，并運用自適應魯棒控制器，對間隙產生的誤差進行補償。

1 PSO算法及改進

1.1 PSO算法

粒子群優化(PSO)算法是由美國的KENNEDY和EBERHART依據Boid模型而提出的一種基于群智能的并行全局優化算法[12]。該算法將所有潛在解搜索空間處于D維空間中，假設粒子群中有N個粒子，每個粒子的位置和空間狀態分別用向量Xi(t)和Vi(t)表示；第i個粒子搜索到的最優位置記作Pbesti(t)，而當前搜索到的最優位置可由Gbest(t)來計算。

第i個粒子的速度和位置可以根據以下兩式來進行更新：

(1)

(2)

1.2 改進的PSO算法

1.2.1 慣性因子w的改進

為了增強算法的全局和局部最優值的搜索能力，SHI等[13]研究了慣性因子w的線性調整方法，即在迭代過程中線性減小慣性權重值，如下式所示：

(3)

式中：t—當前迭代次數；tmax—最大迭代次數；wstart—初始慣性因子；wend—最大迭代次數時的慣性因子。

SHI等[14]發現當wstart=0.95,wend=0.4時，PSO算法的性能最好。但是，慣性因子并非一成不變，需要按照優化對象自己的特點，進行某種線性或是非線性減小，然而使用線性減小的慣性因子存在“早熟”收斂和收斂精度比較低的問題。為了避免該問題出現，需要尋找一條和優化對象相適應的慣性因子。

在尋優初期，為增加算法的全局搜索能力，慣性因子應隨種群多樣性的增加而增加；在尋優后期，為了增加算法的局部搜索能力，慣性因子則應隨種群多樣的減少而遞減[15]。

按照以上原則，此處的慣性因子w不再是線性遞減，而是采用非線性遞減方式來進行設置，即：

(4)

式中：wmin—慣性因子最小值；wmax—慣性因子最大值。

(5)

(6)

式中：M—較大的正數。

M為所有f(Xi)中最大的修正，此處M取為：

M=max(f(Xi))×1.01+0.01

(7)

2 改進的PSO算法對含間隙曲柄滑塊機構參數辨識

2.1 含間隙曲柄滑塊機構的參數辨識原理

含間隙曲柄滑塊機構的參數辨識就是僅僅知道含間隙系統的輸入和輸出，按照一定的準則在一類曲柄滑塊機構模型中，選擇一個與含間隙系統數據擬合得最好的模型，使得在辨識過程中通過不斷調用改進的PSO辨識算法進行參數修正，當誤差函數的最小值滿足要求時，此時的參數就是最優辯識系統的參數。

參數辨識原理圖如圖1所示。

圖1 參數辨識原理圖u(k)—輸入信號；yo(k)—未加干擾信號輸出；v(k)—干擾信號；z(k)—加入干擾信號后系統輸出；y(k)—辨識模型輸出；e(k)—誤差信號

2.2 辨識模型參數的思路

理想曲柄滑塊(忽略O、A和B3處間隙)示意簡圖如圖2所示。

圖2 含間隙曲柄滑塊機構示意圖θ2—曲柄轉角；θ3—連桿轉角；R2—曲柄長度；R3—連桿長度；R1—滑塊位移

該理想機構的矢量方程式為：

R2+R3=R1

(8)

將該矢量方程分別在X軸和Y軸上進行分解，可得：

R2cosθ2+R3cosθ3=R1

(9)

R2sinθ2+R3sinθ3=0

(10)

圖2中，O、A和B3點代表實際曲柄滑塊機構中存在的間隙位置，由于間隙的存在運用傳統的方法建立含間隙曲柄滑塊機構的模型就過于復雜，也不利于實際應用，因此，為了建立更加準確的模型，降低建模難度，同時兼顧收斂速度，筆者采用改進的PSO算法來對該機構參數進行辨識。

在機構運行過程中，將O、A和B3處的間隙分解到連桿和曲柄，則連桿和曲柄的長度就是以時間為變量的函數，通過相應的傳感器進行測量，就可以得到曲柄和連桿長度隨時間的變化規律，最后運用式(9，10)即可推導出滑塊位移R1的變化規律，如下式所示：

(11)

因此，為得到R2和R3的變化規律，就需要運用傳感器測量曲柄轉角θ2和連桿轉角θ3的數據。

2.3 參數辨識所需實驗數據的測量

參數辨識所需的實驗平臺如圖3所示。

圖3 實驗平臺

筆者依據圖3中搭建的實驗平臺，進行所需數據θ2和θ3的測量。

實驗平臺中的相關參數如表1所示。

表1 實驗平臺參數

傳感器用于采集曲柄轉角、連桿傾角和滑塊位移的輸入信號，采集頻率為0.005 s，時間為60 s，曲柄轉速為5 r/min，輸出電壓值為0.3 V[16]。

最后在實驗平臺調試成功后，筆者開始進行實測，并保存相應的實驗數據。

所測得的實驗數據是傳感器的輸出電壓信號，所以必須要轉換成θ2和θ3的角度，即：

θ3=π(0.25V-0.625)

(12)

式中：V—傾角傳感器的輸出電壓值。

轉換角度后，可以分別得到曲柄轉角θ2、連桿轉角θ3、滑塊位移R1與時間之間的關系。

2.4 含間隙曲柄滑塊機構參數辨識過程

含間隙曲柄滑塊機構的參數辨識步驟如下：

(1)獲取曲柄轉角θ2、連桿轉角θ3、滑塊位移R1這3組數據量，根據采集測得的12 000組數據分別計算出θ2和θ3的正弦值和余弦值，作為樣本；

(2)在辨識所需數據選取結束后，執行改進的PSO算法。SHI[17]認為一般種群規模M取50較好；模型的粒子維數D=2(求解的未知數個數)，學習因子取k1=k2=2時，尋優能力最好。

最大迭代次數tmax=200，wmax=0.6,wmin=0.4,適應度函數f(x)為：

(13)

式中：yi—采樣數據輸出；f(ui,θ)—辨識參數的輸出；C—大于0的常數；ui，θ—待辨識系統的輸入參數；E—目標函數。

在這里，E和f(x)互為倒數，誤差越小則適應值越大，反映了該粒子性能越好，反之越差；

(3)將初始化的粒子個體代入式(5～7，13)中，計算出適應度值，并通過比較得到局部最優解Pbesti(t)和全局最優解Gbesti(t)；

(4)按照適應度值的高低對粒子個體進行排序，并根據式(1，2)來更新個體粒子的速度和位置；

(5)依據更新后的粒子位置，計算適應度函數f(x)的值；當第k代和k+1代的適應度函數f(x)<5×10-4,E<10-6時，停止搜索，此時函數收斂；

(6)否則，返回步驟(3)，循環更新，進行下一次迭代，直到達到需求的精度或種群最大迭代次數，算法結束；如此即可得到模型參數辨識后，曲柄長度R2和連桿長度R3的最優參數。

2.5 辨識結果分析

將參數辨識后的曲柄長度R2和連桿長度R3代入式(11)中，得到滑塊位移R1的變化規律。

采用改進的PSO參數辨識輸出結果和實測結果對比如圖4所示。

圖4 辨識結果和實測結果對比

由圖4可以看出，采用改進的PSO所辨識的滑塊位移R3仿真結果與實測的曲柄滑塊機構的運動軌跡的變化趨勢基本是一致的。但是在滑塊的最遠和最近位置附近誤差偏大，計算得到的誤差的均方差為0.314 026 mm，處于合理范圍之內。

為驗證改進的PSO算法以顯示其優勢性，筆者同時采用傳統的PSO算法對含間隙曲柄滑塊機構進行辨識，傳統的PSO算法中的局部最優值的搜索方法采用傳統方式進行搜尋，慣性因子w采用式(3)設置，除此之外，其他參數都與改進的PSO算法保持一致。

采用兩種辨識方法所得到的對比結果如表2所示。

表2 兩種算法對比

由表2可知：兩種PSO算法辨識模型產生的誤差都相對較少，尤其是采用改進的PSO算法迭代快，收斂速度明顯優于傳統的PSO算法。

因此，與采用傳統的PSO算法相比，采用的改進的PSO算法對含間隙曲柄滑塊機構進行辨識，其精度更高，模型也更為可靠。

3 含間隙曲柄滑塊機構的自適應魯棒控制

3.1 自適應魯棒控制器的設計

結合含間隙曲柄滑塊機構的參數辨識線性化的特點[18]，系統可以表示為：

(14)

式中：x—狀態變量；u—控制變量；f(x)—充分光滑的向量場；M—矩陣∈Rn×n；G(x)—g1(x),…,gm(x);W(x)—系統在結構M下的不確定性；F(x,t)—系統的不確定性輸入。

定理1對于如式(14)所示的系統，假設存在正定矩陣P=PT,Q=QT，X>0和矩陣K，可以使得：

(15)

則自適應魯棒控制律為：

(16)

以上結果表明，該閉環系統是漸進穩定的。

其中，u1和u2分別為：

(17)

魯棒控制器模塊的輸入輸出關系可以表示為：

(18)

根據式(16-18)，筆者在MATLAB中編寫了相應的M-Function函數文件，嵌入到Simulink系統子模塊中；并根據筆者所進行實驗的曲柄滑塊機構的具體參數，可以計算出曲柄滑塊機構的標稱值：θ0=[θ2,θ3]=[6.53,2.17]；滑塊的期望軌跡為qd=36.72cos(6.53t)+244.16cos(2.17t)；滑塊的初始速度為0 rad/s，初始位置為1 rad。

自適應魯棒控制器的參數設置為：K=diag(30,30),Λ=diag(4,4),ρ1=6,ρ2=10,ε1=ε2=1。

筆者組建的含間隙曲柄滑塊機構自適應魯棒控制系統仿真框圖，如圖5所示。

圖5 自適應魯棒控制仿真平臺

為了更好地驗證控制器的魯棒性，筆者在含間隙曲柄滑塊機構系統的輸入力矩中，加入如下式所示的干擾方波干擾信號，即：

(19)

3.2 控制結果及分析

通過自適應魯棒控制后，含間隙曲柄滑塊機構的控制效果如圖6所示。

圖6 控制效果對比圖

從圖6可以看出：

由于自適應魯棒控制器的加入，使得含間隙曲柄滑塊機構系統的誤差顯著降低，收斂速度更快，最大誤差由原來的2 mm降低為0.98 mm；控制的信號跟蹤精度平均提高了51%左右，有助于系統穩定性的有效提高。

以上結果表明，筆者設計的自適應魯棒控制器對提高含間隙曲柄滑塊機構系統的精度是有效的。

4 結束語

針對曲柄滑塊機構間隙引起的系統穩定性、精度和可靠性降低的問題，筆者運用改進的PSO算法對含間隙曲柄滑塊機構進行了辨識，并就間隙所產生的誤差，應用自適應魯棒控制器進行了補償。

主要研究結論如下：

(1)與傳統的PSO算法相比，在對含間隙曲柄滑塊機構參數進行系統辨識的仿真實驗中，采用改進的PSO算法可以有效地加速迭代過程，提高對系統辨識的精度，對參數辨識所建立的模型和實測結果的誤差處于合理范圍之內；應用改進的PSO算法進行系統辨識比傳統的復雜機理法建模更易實現，對工程實際中具有較強的應用價值，也為復雜的機電系統的建模提供了新思路；

(2)所提出的自適應魯棒控制器對間隙帶來的誤差補償方法使得誤差顯著降低，收斂速度更快，控制的信號跟蹤精度平均提高了51%左右，為復雜的非線性含間隙系統的誤差補償提供了新的方法。