變間距凸面光柵成像光譜系統的消像散設計

趙美紅，王新宇，姜巖秀，楊 碩，李文昊*

(1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033；2.中國科學院大學，北京 100049)

1 引 言

成像光譜儀是一種以高分辨率同時獲取每個探測目標的圖像信息和特征光譜信息的輻射遙感儀器，其“圖譜合一”的特點不僅可以幫助人們直觀地確定探測目標的存在，而且可以實現對材料成分微觀細節的分析。因此，成像光譜儀可用于執行對廣域精確制圖、軍事目標的識別與鑒定、目標檢測、過程監控控制、臨床診斷、影像學以及環境評價等探測任務[1]。目前，成像光譜儀已經發展成為很多領域不可或缺的一部分，并在生物制藥、食品安全、農林、加工制造、國防安全、海洋監測、礦物勘探及空間探測等領域[2-6]具有廣闊的應用前景。

成像光譜儀按照掃描成像方式一般分為推掃型、擺掃型和凝視型三種。其中，推掃型[7]成像光譜儀在像面處的探測器采用面陣CCD，它隨搭載平臺沿軌方向的推掃而實現對探測目標的二維空間信息和一維光譜信息的實時獲取，從而實現高空間分辨率與光譜分辨率成像。以凸面光柵為核心分光元件的成像光譜儀采用全反射式Offner同心結構的光譜分光系統，結構簡單緊湊，色差、譜線彎曲和畸變小，分辨率高且成像速度快，因此成為推掃型成像光譜儀應用領域的首選。

然而，反射式、對稱結構的成像光譜系統在成像時一般會因光學元件的離軸配置而受系統像散的影響，因此，減小系統像散是該類系統在優化設計時首要考慮的問題。目前，已經有一些借助光學設計軟件優化設計凸面光柵成像光譜儀的方法，如傾斜凸面光柵，對凹面反射鏡加離心，將凹面反射鏡一分為二并優化其曲率半徑與離軸量，以及在光路中加入消像散的彎月透鏡等[8]。這些消像差方法雖然能夠減小一部分系統像差，在一定程度上滿足應用需要，但是會使得系統復雜化，增加系統負荷，從而增大儀器加工和裝調的難度，不僅大大提高了儀器的研制成本，還會破壞原有系統的反射式結構，使其應用受限。

像差是影響光譜儀器分辨率的重要因素，而影響光柵像差的兩個因素分別是光柵的基底面形和刻線密度及形狀。理論分析表明，通過改變光柵的刻線密度分布或是光柵面形可以消除系統像差。1960年，Murty研究了變柵距圓條紋凹面光柵的成像特性，確定了刻線密度的變化可以消除部分像差[9-12]，之后，人們開始展開對變間距光柵的研究。目前，用于光譜儀器像差校正的變間距光柵主要是變間距的平面光柵和凹面光柵，還未見變間距凸面光柵用于成像光譜儀像差校正的報道。

本文基于凸面光柵成像光譜系統的幾何像差理論模型[13]，分析了系統的聚焦情況，并通過計算離軸物點的子午聚焦曲線、弧矢聚焦曲線以及它們的位置關系，構建了凸面光柵刻線函數與像散的數學模型，設計出了變間距的消像差凸面光柵，并以此為色散元件簡化了分光系統的結構，降低了系統的設計與研制難度，為凸面光柵成像光譜儀的消像差設計提供了一種新思路。

2 凸面光柵成像光譜系統的消像差設計理論

2.1 幾何像差理論模型

圖1所示為三光學元件的凸面光柵成像光譜系統，M1和M2是兩個凹面反射鏡，G為凸面光柵，S和分別是系統的物平面和像平面，三光學元件的頂點O1，O2，O與物面中心A0、像面中心B0在同一水平面內(即該系統的子午面)，而且在A0，O1，O，O2，B0處建立的直角坐標系的XS,x1，x，x2，X軸也在子午面內。A(0,s,z)點是物面上一入射點光源，由A點發出的光線經過M1鏡上一點Q1(ξ1,w1,l1)反射后，與凸面光柵表面交于一點P(ξ,w,l)，由凸面光柵上P點衍射后與M2鏡表面交于一點Q2(ξ2,w2,l2)，然后由M2鏡聚焦于像面上一點B(0,Y,Z)。子午面上A0O1，O1O，OO2，O2B0的距離大小分別為r1，r，r′，r2，其中A0O1與x1軸的夾角為θ1，O1O與x軸的夾角為θ，子午面上O點的衍射角為θ′，OO2與x2軸的夾角為θ2。θ1，θ，θ′和θ2的正負分別取決于其對應的點和光線所在的坐標系x1y1z1，xyz和x2y2z2的第一象限或第四象限。

圖1 三光學元件凸面光柵成像光譜系統Fig.1 Schematic diagram of three-element imaging spectrum system with convex grating

在該系統中，凹面反射鏡M1，M2和凸面光柵G的面型均為球面，而且滿足方程：

(ξτ-Rτ)2+ωτ2+lτ2=Rτ2,

(1)

其中Rτ表示球面曲率半徑，τ=0,1,2分別代表凸面光柵G和凹面反射鏡M1，M2。依據Namioka的幾何像差理論，式(1)可以展開為坐標ωτ和lτ的級數，即：

(2)

點光源A發出的光線經過整個分光系統后的光程函數為：

(3)

式中:qτ，pτ分別為凹面反射鏡(或凸面光柵)上入射光線和出射光線的光程；n為凸面光柵上入射點P對應的第n條刻線，定義光柵面頂點處為第零條刻線；m為光柵衍射級次；λ0為光柵的記錄波長，λ為系統的使用波長；Mijkh，Hijkh分別表示系統結構參數和光柵制作參數引入的像差項，i，j，k，h表示凸面光柵成像光譜系統的像差項數；Hijkh[13]為與光柵刻線函數相關的項，隨光柵刻線密度的變化會對系統像差進行調制。光柵刻線函數的級數展開式為:

(4)

對光程函數使用費馬原理，可以得到像面點列圖函數，即:

(5)

(6)

式(5)和式(6)即為凸面光柵成像光譜系統的幾何像差理論模型，Eijkh，Fijkh為像差系數。

2.2 凸面光柵成像光譜系統的聚焦情況分析

當系統的凹面反射鏡與凸面光柵的結構配置合理時，系統的離焦系數項E1000,F0100的值為零，近軸光線在像平面上的子午像與弧矢像聚焦。依據幾何像差理論模型，以子午面上的像點聚焦條件E1000=C1000A1000+C0001=0為例，可得:

(7)

式中:

(8)

圖2 Offner同心結構的羅蘭圓示意圖Fig.2 Schematic diagram of Rowland circles for concentric Offner configuration

(9)

式中：

(10)

由式(10)可以看出子午像點的成像位置是與光柵刻線函數的二階項n20相關的函數，該項直接影響光柵的柵距；同樣，可以得出弧矢像點的成像位置與光柵刻線函數的二階項n02相關的函數，該項對光柵刻線的形狀有影響。弧矢像點的聚焦距離為：

(11)

式中：

(r2)S=r′+

(12)

一般情況下，一個實際的點光源或像經過一個具有完美對稱性的橢圓反射鏡或超環面反射鏡系統時，系統配置會滿足聚焦條件(r2)M=(r2)S而成無像散像。但是，因色散作用，凸面光柵成像光譜系統不再具有完美的系統對稱性，而且隨著使用光譜范圍的增加，這種不對稱性影響越大，由此產生的像散也越大。近軸光線的系統像散可以表示為：

(13)

Last是與光柵刻線函數的系數項n20，n02相關的函數，式中ε(λ)是不同波長對系統像散影響的權重因子，以此為優化目標的適應度函數，并通過光柵刻線函數的高階系數項(與系統的高階像差相關)的調制，可以實現對系統主要像差——像散的優化。在該結構中，系統像差主要是由物、像光線不對稱性引起的，一般通過對設計波長處的子午與弧矢聚焦曲線進行優化[1,14],使系統結構在該波長處滿足像方遠心[15-16]條件，就可以獲得滿足設計要求的優化結果。

3 凸面光柵成像光譜儀的消像散設計

凸面光柵作為Offner同心成像光譜系統的關鍵色散元件，同時又處于分光系統的光闌位置，決定著成像光譜儀的光學性能。為了得到高像質、高分辨率、低加工成本以及低裝調難度的標準Offner成像光譜系統(如圖3所示)，本文通過優化凸面光柵刻線間距的設計方法，以減小并均衡不同波長的光線因色散不對稱性引入的系統像散。

圖3 凸面光柵成像光譜系統示意圖Fig.3 Schematic diagram of imaging spectrum system with convex grating

在該設計中，凸面光柵G和凹面反射鏡M均為球面，且其球心位于同一坐標處，兩光學元件共軸，簡化了系統結構。其中，狹縫尺寸為10 mm10 μm，凸面光柵的曲率半徑為R=100 mm，光柵中心點處的刻線密度為100 gr/mm，光柵口徑約為30 mm30 mm，光柵衍射級次為-1級，反射鏡M的曲率半徑為R1=R2=193.2 mm，主光線在光柵上的入射角為θ=30°，光譜波段為300～800 nm。以上述參數為結構優化設計的基本結構參數，為實現對多變量非線性目標函數的全局優化，選用高效率的遺傳算法進行優化，并通過多組優化結果的對比篩選出最優的設計結果。

表1 變間距凸面光柵的設計結果

圖4 光柵周期隨空間位置變化的示意圖Fig.4 Schematic diagram of grating period changing with space position

圖5 在子午與弧矢方向的優化結果Fig.5 Optimal results in both meridional and sagittal directions

系統在設計波長處的全視場光線追跡結果如圖6所示，分辨力優于2.4 nm；如圖7、圖8所示，系統在600 nm處有極限分辨力1.9 nm，在800 nm處的分辨力優于3.3 nm。在系統的相對孔徑為F/2.7時，對300，600,800 nm的波長分別在0,0.7和1視場處對10 μm10 μm的物點進行光線追跡，得到的點列圖如圖9所示。圖中，點列圖是對均勻取樣光線追跡的結果，實際的能量分布滿足高斯分布，即光斑能量主要集中在譜線半高位置，如600 nm、0.7視場處的點列圖所示，能量集中分布在直徑約為10 μm的光斑范圍內。整個系統的極限分辨力達1.9 nm，可實現約201個高光譜通道。

圖6 (7002.4)nm波長的全視場光線追跡結果Fig.6 Ray tracing results at wavelengths of (7002.4)nm for whole field of view

圖7 (6001.9)nm波長的全視場光線追跡結果Fig.7 Ray tracing results at wavelengths of (6001.9)nm for whole field of view

圖8 (8003.3)nm波長的全視場光線追跡結果Fig.8 Ray tracing results at wavelengths of (8003.3)nm for whole field of view

圖9 不同波長、不同視場處的點列圖Fig.9 Spot diagrams at multi-wavelengths for different fields of view

在成像光譜系統中，譜線彎曲會導致光譜混疊，色畸變會使像面強度空間分布不均勻，一般要求譜線彎曲和色畸變均不超過探測器像元尺寸的一半。凸面光柵成像光譜系統是基于1∶1倍率放大的Offner同心對稱結構，其色畸變因系統對稱性消除，設計結果如圖10所示。其中，橫軸為光譜維方向，縱軸為每個波長狹縫像的長度相對于設計波長狹縫像的長度差，可見系統色畸變可以忽略。系統的譜線彎曲變化曲線如圖11所示，

圖10 不同波長、不同視場處的色畸變Fig.10 Keystone at different wavelengths and fields of view

圖11 不同波長、不同視場處的譜線彎曲變化曲線Fig.11 Curves of smile at different wavelengths and fields of view

其中橫軸為系統的歸一化視場，縱軸為實際的狹縫像相對理想像的中心偏移量，系統的最大譜線彎曲量約為1.25 μm。當系統選用探測器的尺寸為14 μm時，它遠小于半個像元。在奈奎斯特頻率為35 lp/mm時，不同波長處各視場的調制傳遞函數(Modulation Transfer Function,MTF)如圖12所示，系統的MTF值大于0.7，成像質量優良。

圖12 系統在不同波長處的調制傳遞函數Fig.12 MTFs of system at different wavelengths

基于文中的系統結構，分別采用等間距的凸面光柵與變間距凸面光柵作為系統的分光元件，系統對應全波段內不同視場處的光譜像展寬變化曲線如圖13所示。其中，橫軸為系統的使用波長，縱軸為狹縫經過系統后的光譜像寬，顯然變間距光柵的引入使得光譜像半高寬在光斑尺寸附近收斂，可以更好地實現全波段內光譜像的聚焦成像。

圖13 不同視場處的光譜像展寬變化曲線Fig.13 Curves of spectral image broadening at different fields of view

4 結 論

本文提出了一種基于變間距凸面光柵的凸面光柵成像光譜系統的消像散設計方法。 對凸面光柵成像光譜系統的幾何像差理論和聚焦情況進行分析，得出近軸光線的像散與凸面光柵刻線函數的關系式。并根據該關系式對凸面光柵的刻線型進行數值擬合，得到變間距凸面光柵的數值解，將設計波長處的像散優化到0.025 μm，實現了全波段內像散的均衡。本文設計的消像散凸面光柵成像光譜系統結構簡單，易加工、裝調，且相對孔徑大、成像質量好，整體光譜分辨力在系統F數為2.7時優于3.3 nm，系統的極限分辨力為1.9 nm，可實現約201個高光譜通道，且系統在全波段內的光學傳遞函數值優于0.7，滿足系統要求，對輕小型、高光譜的消像差凸面光柵成像光譜儀的研究具有重要意義。