空間光調制器像素結構對波前重建的影響

肖昭賢，溫金鵬，趙自新，樊 晨

(1.中國工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽 621999；2.西安交通大學 機械工程學院機械制造系統國家重點實驗室，陜西 西安 710049)

1 引 言

液晶空間光調制器(Liquid Crystal Spatial Light Modulator ,LC-SLM)[1]是由在空間上二維陣列排布的獨立單元構成，基于液晶的電控雙折射原理，它可以在光信號或電信號隨時間和空間變化的驅動和控制下，對光波的振幅、相位、波長、偏振態和相干性進行調制，是在光邏輯運算、光互聯、實時光學信息處理等系統中的關鍵器件[2]。LC-SLM 具有空間分辨率高、可編程控制、質量輕等優點[3]，在材料的顯微處理[4]、全息三維成像[5-6]、空間光束整形和脈沖整形[7-8]、波前傳感器[9]及自適應光學[10]等領域有著廣泛應用。

在傳統的計算全息(Computer-generated Holography,CGH)補償檢測中，非球面與計算全息實體具有一一對應關系，應用通用性較差，而且制造工藝程序復雜、成本高、周期長?？蒲腥藛T嘗試利用LC-SLM對光波相位近似連續調制的能力，作為 CGH 的記錄介質，從而實現光學非球面元件的動態計算全息補償檢測。

南京理工大學的朱日宏教授等人[11-12]自2004 年起提出使用液晶電視實時測量非球面的方法，探究了液晶電視的光學性質及它應用于非球面檢測的可行性。西安工業大學韓軍等人[13-15]利用 LC-SLM 重建波面的PV值為0.420 3λ，RMS值為0.091 4λ。哈爾濱理工大學的周昊[16]基于LC-SLM搭建泰曼格林型干涉光路，對口徑為50 mm和 52 mm的兩個凹拋物面鏡進行了檢測，證明了 LC-SLM 作為 CGH 記錄介質實時動態靈活測量非球面方法的可行性。2019 年國防科技大學[17]提出了一種使用 LC-SLM 作為可重新配置波前形狀的多級干涉圖型計算機生成全息圖(ICGH)的方法，對非球面和自由曲面進行動態零位測量，提高了測試的靈活性和效率。

非球面動態檢測的精度直接取決于LC-SLM波前重構的精度。目前，制約LC-SLM取代實體記錄介質，實現高精度波前調控的主要因素包括LC-SLM的像素結構因素、液晶分子響應的自身非線性以及基底空間的不一致性。中科院上海光機所劉世杰等人[18-20]基于菲涅耳衍射原理以及離散傅里葉變換算法,重點分析了像素結構因素的影響，精確地仿真波面經SLM 調制并傳播到待測表面的過程,從而獲得待測元件處補償波面誤差。在此基礎上，本文使用德國 LightTrans 公司研發的物理光學數值分析軟件 VirtualLabTM中LC-SLM模塊對像素尺寸、填充因子比例及灰度等級對補償波面的重建精度進行了研究，通過理論分析獲得了算法本底誤差及多因素耦合誤差，從而建立了LC-SLM高精度波前重建的前提條件。

2 仿真原理及模型

利用SLM動態檢測非球面的基本原理如下：SLM作為CGH的記錄介質，平面波入射至SLM靶面，經調制產生被測光學面的補償波面。調制函數也就是計算全息圖，傳統的計算全息圖是被相位刻蝕在實體介質上，而SLM則是通過液晶分子偏轉，實現離散相位編碼輸出。

假定被測光學鏡面為球面鏡，那么理想的補償波面為：

(1)

由文獻[16]可知，補償波面逆向傳播距離為z時，通過光線追跡此平面內波前的理想相位分布為：

(2)

該相位分布即是計算全息圖相位，被包裹調制在[-π,π]后，編碼加載至SLM上。圖1(a)為VirtualLabTM軟件中構建的波前重建系統光學系統3D視圖，圖1(b)為SLM波前重構及檢測系統光學流程。

圖1 VirtualLabTM仿真Fig.1 VirtualLabTM simulation

SLM上的初始光場為U(x,y)=Aeiφ(x,y)，其中φ(x,y)即為公式(2)所表示的相位分布。光場進行菲涅爾正向傳輸，光場分布為：

(3)

獲得復振幅U(u,v)=A′eiφ(u,v)，提取其相位分布φ(u,v)。雖然菲涅爾傳輸算法本身存在固有計算誤差，但在滿足采樣定理的前提下，φ(u,v)極限接近于φ(x,y)。

實體SLM由大量像素獨立單元構成，具有一定的尺寸、填充因子比例及電子器件固有的灰階量化級次。前兩項可直接通過設置參數實現；而灰階量化級次采用Hard Quantization方法，其表達式如下：

φ(x,y)′=

(4)

其中Q為量化級次，Round[]為取整符號。

像素結構因素被調制疊加到連續相位中，獲得實際的相位分布φ(x,y)′，如圖2所示。經菲涅爾正向傳輸，提取實際的補償波面相位分布φ(u,v)′。實際補償波面光場A′eiφ(u,v)′通過與理想共軛光場A′e-iφ(u,v)相乘，提取相位誤差，得到：

圖2 仿真系統疊加像素結構后實際相位分布Fig.2 Phase distribution of simulation system after superposing pixel structure

φerror(u,v)=φ(u,v)′-φ(u,v).

(5)

分別用PV(φerror)/λ(Peak-to-Valley of Wavefront Error /λ)和RMS(φerror)/λ(RMS of Wavefront Error/λ)值表征相位誤差。

3 仿真結果

明確仿真系統中傳輸距離z=500 mm，使用紅光波長λ=632.8 nm，理想球面波半徑r=100 mm。

3.1 系統原始誤差

實體介質計算全息可以是連續的，但是使用數字仿真技術，即使是理想的波前相位分布也會被數字化離散。同時菲涅爾算法中使用離散傅里葉變換，空域的采樣間距、空域有限的采樣范圍以及頻域的采樣間距都會給計算結果帶來誤差[21]。經過光場傳輸，攜帶算法本身以及數字離散引起的誤差，生成存在系統原始誤差的理想補償波面。通過理想補償波面光場與其共軛光場相乘，提取相位獲得系統原始誤差，結果如圖3所示。

圖3 8 mm×6 mm靶面系統原始誤差計算示意圖Fig.3 Original error calculation diagram of 8 mm×6 mm target system

在計算系統原始誤差時，設計的像素尺寸為1 μm。從圖3可以看出，8 mm×6 mm靶面尺寸系統補償波面的原始誤差振幅部分處處相等，相位結果近似于零。從表1可知：靶面尺寸越小，系統原始誤差反而越大；當靶面尺寸大于8 mm×6 mm時，系統原始誤差幾乎不變。因此，本文在SLM靶面尺寸為8 mm×6 mm的條件下開展仿真工作，同時忽略由仿真系統引入的原始誤差。

表1 SLM不同靶面尺寸對應的系統原始誤差Tab.1 Original errors of SLM system with different target sizes

3.2 像素結構因素誤差

目前，同類相位型空間光調制器最小的像素尺寸可達3.74 μm，但價格高昂，因此在光學工程領域常用的SLM像素尺寸仍不小于6 μm。仿真過程中，設定像素尺寸分別為8，10，12，14，16，18，20，25，30 μm，設定填充因子比例分別為40%，50%，60%，70%，80%，90%，100%，設定灰階量化級次分別為24，25，26，27，28。在VirtuaLabTM軟件中搭建仿真系統并進行掃描計算，獲得補償波面誤差的PV和RMS值，分別如圖4和圖5所示。

設定灰階量化級次為28，補償波面誤差PV值隨像素尺寸的變化情況圖4(a)所示，圖中每一條曲線對應SLM不同填充因子比例，圖4(b)則表示補償波面誤差的RMS值?？梢钥闯?，不論是補償波面誤差的PV值還是RMS值，在總體趨勢上均是隨像素尺寸增大而增大，當像素尺寸小于20 μm時，PV值為0.03λ～0.05λ，RMS值為0.005λ～0.007λ，均能滿足高精度補償波前的要求，且填充因子比例對補償波面誤差的影響較??；但是，像素尺寸一旦超過20 μm，PV值和RMS值開始顯著增大，并且填充因子比例不同曲線的增長斜率也不同，也就是填充因子比例越低，補償波面誤差增長得越快。

圖4 灰階量化級次為28，補償波面誤差的PV值和RMS值Fig.4 PV and root mean square values of compensating wave surface error with gray-level number of 28

設定填充因子比例為100%，補償波面誤差PV值隨像素尺寸的變化情況如圖5(a)所示，圖中每一條曲線對應SLM不同灰階量化級次，圖5(b)則表示補償波面誤差的RMS值。可以看出，不論是補償波面誤差的PV值還是RMS值，在總體趨勢上均是隨像素尺寸的增大而增大，和圖4(a)、4(b)相似的地方仍然是20 μm存在增長拐點，區別在于像素尺寸小于20 μm時，灰階量化級次對補償波面誤差的影響已經相對明顯。不難理解，離散級次會直接影響著波前調控精度。

圖5 填充因子比例為100%，補償波面誤差的PV值和RMS值Fig.5 PV and RMS values of compensating wave surface errorr with filling factor ratio of 100%

4 分析與討論

由上文的仿真結果可知，補償波面誤差隨像素尺寸的變化存在“拐點”。本文中仿真的SLM像素尺寸為8 mm×6 mm，對于球面波而言，式(2)中的φ(x,y)加載到SLM調制全息圖的口徑即為D=8 mm。不難得到，這類對稱相位分布的最大空間頻率位于邊緣處。首先獲得φ(x,y)的微分函數，公式如下：

(6)

本文補充計算了像素尺寸為48 μm時的補償波面誤差，設定填充因子比例為100%，量化灰度級次為28，計算誤差的PV值和RMS值，結果如表2所示。像素尺寸為48 μm時，對應的采樣倍數僅為1.32。從表中看出，在滿足采樣定理的條件下，隨著采樣倍數的增加，補償波面的精度也在提高；當采樣倍數大于3時，精度趨于一個緩慢增加的過程，此時已能夠滿足高精度測量的要求。而在不滿足采樣定理的情況下，補償波面誤差PV值和RMS值急劇增長，可見決定補償波面誤差真正的“拐點”，出現在滿足理論奈奎斯特采樣頻率對應的空間分辨率。

表2 不同像素尺寸對應的補償波面誤差

在滿足以上條件的基礎上，填充因子比例及灰階量化級次的影響并不顯著，不作為決定性因素。那么，只要計算出被測光學曲面的最大空間頻率，適當提高采樣倍數，例如3倍，就能選擇出合適特性參數的SLM以實現高精度動態測量。這種方法可以有效降低成本，不盲目追求像素尺寸小、填充因子比例高、灰度量化級次高的調制器件。

5 結 論

本文基于菲涅耳衍射原理以及離散傅里葉變換算法,使用物理光場數值分析軟件 VirtualLabTM對LC-SLM重建補償波面精度進行了系統研究，獲得了像素結構因素的理論算法本底誤差及多因素耦合誤差。針對主要由像素采樣尺寸帶來的誤差“拐點”問題，結合重建波面空間頻率，提出在滿足奈奎斯特定理的基礎上，根據被測波面最大空間頻率恰當選擇符合特性參數的LC-SLM，可降低構建曲面動態檢測系統的成本。而且，有賴于電子刻束和微納制造技術的發展，液晶空間光調制器的像元尺寸完全能夠提供一個高精度動態測量的基本條件。由于空間頻率的限制，如何提高LC-SLM的動態調制范圍是接下來非常重要的研究方向，后續工作更應該關注液晶分子響應的自身非線性以及基底空間不一致性帶來的調控誤差。