UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的推進(jìn)性能研究

杜曉強(qiáng)，于福杰，陳 原

(山東大學(xué)(威海)機(jī)電與信息工程學(xué)院，山東 威海 264209)

1 引 言

海洋占地表面積約71%，蘊(yùn)藏著豐富的礦產(chǎn)資源和海洋生物資源，對(duì)海洋資源的勘測(cè)和開(kāi)發(fā)是建設(shè)海洋強(qiáng)國(guó)、捍衛(wèi)國(guó)家安全和實(shí)現(xiàn)海洋可持續(xù)發(fā)展的重要技術(shù)基礎(chǔ)。裝備各種探測(cè)儀器的水下機(jī)器人是探索海洋資源的重要設(shè)備，現(xiàn)有的絕大多數(shù)水下機(jī)器人具有路徑規(guī)劃簡(jiǎn)單、運(yùn)動(dòng)模式單一和推進(jìn)效率低等缺點(diǎn)。因此，研制機(jī)動(dòng)靈活的水下機(jī)器人對(duì)推動(dòng)海洋資源探測(cè)技術(shù)的發(fā)展具有重要意義[1]。

機(jī)器人在執(zhí)行水下作業(yè)任務(wù)的過(guò)程中，螺旋槳推進(jìn)機(jī)構(gòu)是保障水下機(jī)器人機(jī)動(dòng)靈活作業(yè)的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)裝置，單螺旋槳只能產(chǎn)生大小可變而方向固定(沿轉(zhuǎn)動(dòng)軸方向)的推進(jìn)力。當(dāng)水下機(jī)器人進(jìn)行不同方向?qū)虿倏v運(yùn)動(dòng)時(shí)，比如俯仰和偏轉(zhuǎn)，需要安裝多個(gè)螺旋槳來(lái)產(chǎn)生多維方向推進(jìn)力。但是，多個(gè)螺旋槳組合的推進(jìn)方式會(huì)增加水下機(jī)器人的航行阻力，增大推進(jìn)系統(tǒng)占據(jù)的空間，降低水下機(jī)器人低速航行時(shí)的水下定位能力。矢量推進(jìn)技術(shù)作為一項(xiàng)新興的推進(jìn)技術(shù)，已經(jīng)成熟地應(yīng)用于航空飛行器上，它可以有效地提高航空飛行器的機(jī)動(dòng)性和敏捷性，具有極其廣闊的發(fā)展空間。然而目前國(guó)內(nèi)外對(duì)水下機(jī)器人矢量推進(jìn)技術(shù)的研究還較少。通過(guò)研究水下機(jī)器人矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)單機(jī)構(gòu)多姿態(tài)調(diào)整的矢量推進(jìn)技術(shù)，對(duì)于提高復(fù)雜海洋環(huán)境下水下機(jī)器人的機(jī)動(dòng)性和敏捷性具有重要的學(xué)術(shù)意義和工程應(yīng)用價(jià)值。

目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)水下機(jī)器人矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的研究還處于初級(jí)階段，大部分矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)由傳統(tǒng)串聯(lián)機(jī)構(gòu)或者并聯(lián)機(jī)構(gòu)組成。Lin等人[2-3]提出了具有噴水矢量推進(jìn)技術(shù)的水下球形機(jī)器人，設(shè)計(jì)了由轉(zhuǎn)動(dòng)副組成的噴水矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)，通過(guò)矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)改變噴水推進(jìn)力方向來(lái)調(diào)整機(jī)器人的姿態(tài)。高富東等人[4-5]設(shè)計(jì)了柔性傳動(dòng)軸構(gòu)成的螺旋槳矢量推進(jìn)裝置，該柔性傳動(dòng)軸的偏擺和旋轉(zhuǎn)會(huì)使螺旋槳推進(jìn)裝置實(shí)現(xiàn)矢量推進(jìn)技術(shù)。方世鵬等人[6-8]設(shè)計(jì)了一種基于錐齒輪調(diào)向的矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)由一個(gè)電機(jī)給螺旋槳提供動(dòng)力，另外兩個(gè)電機(jī)改變錐齒輪的位置角度以調(diào)整螺旋槳的空間姿態(tài)。鄭昆山等人[9-10]基于蝸輪蝸桿結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)了噴水矢量推進(jìn)裝置，矢量推進(jìn)裝置中的翼管與空心軸固聯(lián)，高壓水流由蝸輪帶動(dòng)的翼管轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)推進(jìn)力的矢量化。基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)除了能提供前進(jìn)推進(jìn)力外，還可根據(jù)水下機(jī)器人的導(dǎo)向操縱任務(wù)需求，改變螺旋槳推進(jìn)姿態(tài)來(lái)調(diào)整推進(jìn)力方向，產(chǎn)生其它多維方向上的推進(jìn)力，使得水下機(jī)器人在低速航行時(shí)的導(dǎo)向操縱運(yùn)動(dòng)不依賴(lài)于航行速度，極大地提高了其低速航行時(shí)的水下定位能力[11-13]。Roque等人[14]設(shè)計(jì)了基于Stewart六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的矢量推進(jìn)水下機(jī)器人，它的螺旋槳安裝于并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)上，螺旋槳的姿態(tài)會(huì)隨動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)變化而變化。Saltaren等人[15]借助Stewart-Gough并聯(lián)機(jī)構(gòu)研制了REMO I型遙控水下機(jī)器人，使用了連接頭部引導(dǎo)環(huán)與尾部隨動(dòng)環(huán)的六個(gè)直線驅(qū)動(dòng)電機(jī)，實(shí)現(xiàn)螺旋槳的矢量推技術(shù)。目前對(duì)矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的研究?jī)H局限于傳統(tǒng)串聯(lián)機(jī)構(gòu)或Stewart六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)。然而，傳統(tǒng)串聯(lián)機(jī)構(gòu)的自重負(fù)荷比大，很難適應(yīng)深海重壓環(huán)境，雖然六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)在靈活性和自重負(fù)荷比等方面滿(mǎn)足導(dǎo)向操縱動(dòng)作要求，但是其工作空間小、結(jié)構(gòu)和控制較復(fù)雜，對(duì)水下機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的靈活性和敏捷性影響較大，也很難應(yīng)用于工程實(shí)際。少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)制造更為簡(jiǎn)單，導(dǎo)向操縱動(dòng)作也不需要空間所有的自由度，因此基于少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)將為矢量推進(jìn)方式提供新的設(shè)計(jì)理念。

為了實(shí)現(xiàn)水下機(jī)器人的推進(jìn)裝置具備空間姿態(tài)調(diào)整和大轉(zhuǎn)矩的動(dòng)力傳遞功能，本文提出了UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)。首先，運(yùn)用螺旋理論計(jì)算了矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的自由度，基于解析法構(gòu)建了矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的位置模型。其次，推導(dǎo)出了矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的輸出矢量和輸入矢量之間的關(guān)系，并采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了位置正解計(jì)算。然后，基于矩陣分析法從速度雅克比矩陣和機(jī)構(gòu)特征性角度研究了機(jī)構(gòu)奇異性，計(jì)算了矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的工作空間。最后，搭建了UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，并進(jìn)行了試驗(yàn)研究。

2 UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的創(chuàng)新設(shè)計(jì)

2.1 設(shè)計(jì)思想與坐標(biāo)系構(gòu)建

水下機(jī)器人矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)是通過(guò)改變螺旋槳推進(jìn)姿態(tài)來(lái)改變推進(jìn)力的方向，它的不同運(yùn)動(dòng)方案直接關(guān)系到矢量推進(jìn)技術(shù)實(shí)現(xiàn)原理。任何導(dǎo)向操縱動(dòng)作都可以分解為螺旋槳旋轉(zhuǎn)和螺旋槳空間姿態(tài)調(diào)整這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，它們兩者之間可為解耦運(yùn)動(dòng)關(guān)系，也可為耦合運(yùn)動(dòng)關(guān)系，不同運(yùn)動(dòng)關(guān)系將對(duì)應(yīng)著不同矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方案。如果為解耦運(yùn)動(dòng)關(guān)系，僅需要矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)提供姿態(tài)調(diào)整功能。當(dāng)它們兩者之間為耦合運(yùn)動(dòng)關(guān)系時(shí)，除了矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)完成的螺旋槳空間姿態(tài)調(diào)整功能外，還需要再增加一條傳動(dòng)鏈，將驅(qū)動(dòng)源的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)傳遞給螺旋槳。本文基于矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)上的螺旋槳旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)及其空間姿態(tài)調(diào)整運(yùn)動(dòng)之間的耦合運(yùn)動(dòng)關(guān)系，創(chuàng)新設(shè)計(jì)了UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)，不僅能為水下機(jī)器人提供推進(jìn)力，而且可準(zhǔn)確靈活地調(diào)整螺旋槳的姿態(tài)，實(shí)現(xiàn)水下機(jī)器人的姿態(tài)調(diào)整功能。

如圖1所示是本文提出的UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)，該矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)與靜平臺(tái)通過(guò)三條運(yùn)動(dòng)支鏈連接。由一個(gè)U副、一個(gè)移動(dòng)副P(pán)和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R組成支鏈，稱(chēng)為UPR支鏈。由一個(gè)移動(dòng)副P(pán)和兩個(gè)U副連接組成支鏈，稱(chēng)為UPU支鏈。由一個(gè)U副和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R組成支鏈，稱(chēng)為主軸支鏈UR。這三條運(yùn)動(dòng)支鏈都是通過(guò)靜平臺(tái)上的交流伺服電機(jī)進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，一個(gè)電機(jī)驅(qū)動(dòng)主軸支鏈的螺旋槳為水下機(jī)器人提供推進(jìn)的動(dòng)力，另外兩個(gè)電機(jī)驅(qū)動(dòng)兩條支鏈的絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)改變支鏈的P副運(yùn)動(dòng)引起機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)改變，以此靈活地調(diào)整矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)姿態(tài)以改變水下機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方向。

圖1 UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的三維圖Fig.1 Three dimension of UPR-UPU-UR vector propulsion mechanism

如圖2所示，在靜平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)上分別建立靜坐標(biāo)系和動(dòng)坐標(biāo)系，記為O-XYZ和o-xyz。在主軸支鏈UR下端的U副中心標(biāo)記為點(diǎn)O，在UPR支鏈下端的U副中心標(biāo)記為點(diǎn)D1，在UPU支鏈下端的U副中心標(biāo)記為點(diǎn)D2。在主軸支鏈UR上端的R副中心標(biāo)記為點(diǎn)o，在UPR支鏈上端的R副中心標(biāo)記為點(diǎn)d1，在UPU支鏈上端的U副中心標(biāo)記為點(diǎn)d2。主軸支鏈UR中R副垂直于動(dòng)平臺(tái)，X軸正方向是由點(diǎn)O指向點(diǎn)D1的方向，Y軸正方向是由點(diǎn)O指向點(diǎn)D2的方向，Z軸方向由右手螺旋定則確定。x軸正方向是由點(diǎn)o指向點(diǎn)d1的方向，y軸正方向是由點(diǎn)o指向點(diǎn)d2的方向，z軸方向由右手螺旋定則確定。設(shè)定OD1和OD2的長(zhǎng)度均為A=270 mm，od1和od2的長(zhǎng)度均為a=47 mm，Oo的距離為e=220 mm。

圖2 UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的螺旋分布圖Fig.2 Screw distribution diagram of UPR-UPU-UR vector propulsion mechanism

2.2 UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的自由度計(jì)算

當(dāng)機(jī)構(gòu)的動(dòng)坐標(biāo)系的z軸與靜坐標(biāo)系的Z軸重合時(shí)，動(dòng)坐標(biāo)系的x軸和y軸分別與靜坐標(biāo)系的X軸和Y軸平行時(shí)，將動(dòng)平臺(tái)的位置設(shè)置為矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的初始位置。用$ij表示機(jī)構(gòu)中運(yùn)動(dòng)副的方向向量，用rij表示機(jī)構(gòu)中運(yùn)動(dòng)副的中心點(diǎn)坐標(biāo)(i=1, 2, 3;j=1, 2, 3, 4, 5)。

在初始位置下，點(diǎn)d1在靜坐標(biāo)系下的位置為r14=(a,0,e)，點(diǎn)D1在靜坐標(biāo)系下的位置為r12=(A, 0, 0)，那么UPR支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋可以表達(dá)為：

(1)

進(jìn)一步，可以得到其約束螺旋為:

(2)

在初始位置下，點(diǎn)d2在靜坐標(biāo)系下的位置為r24=r25=(0,a,e)，點(diǎn)D2在靜坐標(biāo)系下的位置為r21=(0,A, 0)，那么UPU支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋可以表達(dá)為：

(3)

進(jìn)一步可以得到其約束螺旋為:

(4)

在初始位置下，點(diǎn)o在靜坐標(biāo)系下的位置為r33=(0, 0,e)，主軸支鏈UR的運(yùn)動(dòng)螺旋可以表達(dá)為：

(5)

進(jìn)一步，可以得到其約束螺旋為:

(6)

那么，機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的約束螺旋可以表達(dá)為:

(7)

接下來(lái)，可以求解得到如下機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)約束螺旋的反螺旋：

(8)

根據(jù)式(8)，可知UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)具有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。機(jī)構(gòu)有6個(gè)約束螺旋，實(shí)際上構(gòu)成4系螺旋，所以冗余約束數(shù)ν=2。由UPR- UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)可知，機(jī)構(gòu)所有的構(gòu)件數(shù)n=7，運(yùn)動(dòng)副總數(shù)g=8，運(yùn)動(dòng)副的相對(duì)自由度f(wàn)i累積求和為12，局部自由度ζ=0。公共約束λ=0，所以機(jī)構(gòu)的階數(shù)d=6。將上述各參數(shù)代入Kutzbach-Grübler公式[16]，可以得出UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的自由度為：

(9)

3 UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

3.1 UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的位置反解模型

位置正反解模型是分析機(jī)器人矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能的基礎(chǔ)[17-19]。為方便表達(dá)，規(guī)定sinθ=sθ，cosθ=cθ，tanθ=tθ。在初始位置下，動(dòng)平臺(tái)通過(guò)繞靜坐標(biāo)系O-XYZ的X軸旋轉(zhuǎn)β角后，繼續(xù)繞新生成的靜坐標(biāo)系O-XYZ的Y軸旋轉(zhuǎn)α角實(shí)現(xiàn)姿態(tài)的變化。則矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的從靜坐標(biāo)系O-XYZ運(yùn)動(dòng)到動(dòng)坐標(biāo)系o-xyz的旋轉(zhuǎn)變換矩陣可表達(dá)為：

(10)

初始狀態(tài)下，動(dòng)平臺(tái)上的點(diǎn)d1在動(dòng)坐標(biāo)系o-xyz下位置為od1=(a, 0, 0)，點(diǎn)d2在動(dòng)坐標(biāo)系o-xyz下位置為od2=(0, a, 0)，動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)o的在靜坐標(biāo)系O-XYZ下位置為Oo=(0, 0,e)。

經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換矩陣轉(zhuǎn)換后，點(diǎn)d1、點(diǎn)d2、點(diǎn)o在靜坐標(biāo)系下O-XYZ的位置變?yōu)椋?/p>

(13)

由靜坐標(biāo)系O-XYZ的點(diǎn)D1的位置為OD1=(A, 0, 0)，點(diǎn)D2的位置為OD2=(0,A, 0)，得到如下閉環(huán)矢量關(guān)系：

D1Od1=OOo+OoOd1-OD1，

D2Od2=OOo+OoOd2-OD2，

(14)

主軸支鏈UR的長(zhǎng)度為固定值，剩余兩條支鏈的長(zhǎng)度是變化的，且UPR支鏈和UPU支鏈的矢量分別為：

(15)

矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)中U副的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍有限，且L1，L2和L3均是正值。主軸支鏈UR與動(dòng)平臺(tái)固接，取點(diǎn)o為動(dòng)平臺(tái)的參考點(diǎn)，那么可以推導(dǎo)出UPR支鏈的長(zhǎng)度L1和UPU支鏈的長(zhǎng)度L2分別為：

L1=|D1Od1|=

L2=|D2Od2|=

(16)

由式(16)可見(jiàn)，α和β決定著機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的位姿。當(dāng)α和β確定后，動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)o在靜坐標(biāo)系O-XYZ下的位置Oo=(Oox,Ooy,Ooz)也便確定了。

如果動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)角按照一定規(guī)律發(fā)生變化，那么可以通過(guò)反解模型求出兩條支鏈的長(zhǎng)度變化規(guī)律。假設(shè)對(duì)動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)角隨時(shí)間t的變化表達(dá)式為：α=15sin(πt/2)和β=15sin(πt/2)，且t的取值范圍為[0, 12]。根據(jù)該矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的位置反解公式(16)，在MATLAB中可以求解兩條支鏈的長(zhǎng)度L1和L2關(guān)于時(shí)間的變化曲線如圖3所示。

圖3 兩條支鏈的長(zhǎng)度隨時(shí)間的變化曲線Fig.3 Variation curve of the length of branch chains

從圖3可以看出，矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的支鏈UPR與支鏈UPU的長(zhǎng)度變化曲線呈現(xiàn)近似于正余弦函數(shù)圖像，變化曲線的增減趨勢(shì)恰好相反。矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的兩條支鏈的長(zhǎng)度變化曲線較為平滑，不存在階躍突變現(xiàn)象，說(shuō)明矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和參數(shù)選擇較為合理，表明其位置反解模型的正確性。

3.2 UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的位置正解模型

應(yīng)用PSO算法進(jìn)行矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的位置正解建模，具體建模過(guò)程如下:

(1)構(gòu)建粒子適應(yīng)度函數(shù)‖C‖F(xiàn)作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，設(shè)定當(dāng)粒子適應(yīng)度函數(shù)值小于10-4時(shí)結(jié)束算法。

(17)

(2)初始化PSO算法的參數(shù)

為提高計(jì)算效率，根據(jù)動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)范圍[21]設(shè)置搜索范圍，并設(shè)置如表1所示的種群規(guī)模、學(xué)習(xí)因子、最大迭代次數(shù)、最大搜索速度和標(biāo)準(zhǔn)慣性權(quán)重等基本參數(shù)。

表1 粒子群優(yōu)化算法參數(shù)

(3)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的三維空間仿真

圖4 算例一(L1=330 mm，L2=335 mm)Fig.4 The first example(L1=330 mm，L2=335 mm)

圖6 算例三(L1=303 mm，L2=280 mm)Fig.6 The third example(L1=303 mm，L2=280 mm)

圖7 算例四(L1=296 mm，L2=313 mm)Fig.7 The fourth example(L1=296 mm，L2=313 mm)

圖8 算例五(L1=280 mm，L2=340 mm)Fig.8 The fifth example(L1=280 mm，L2=340 mm)

(4)粒子速度及位置更新過(guò)程

首先將每一個(gè)粒子的初始位置都設(shè)置為自身最佳位置Pid，同時(shí)計(jì)算并比較各粒子的適應(yīng)度函數(shù)。尋找到粒子群中最佳的粒子作為全局最優(yōu)粒子Pgd，隨后更新粒子的速度和位置，其更新公式為：

(18)

(19)

通常在個(gè)體的各維度上設(shè)置搜索區(qū)間邊界，防止個(gè)體微粒在某一個(gè)維度上超出搜索范圍。設(shè)置新的粒子速度和位置進(jìn)行適應(yīng)度計(jì)算，將每一次的計(jì)算結(jié)果與上一次結(jié)果進(jìn)行比較。如果使用當(dāng)前位置來(lái)計(jì)算的適應(yīng)度結(jié)果優(yōu)于自身之前的最佳位置的適應(yīng)度結(jié)果，那么用該粒子當(dāng)前位置替代之前位置Pid。同理，若種群中的最佳粒子優(yōu)于Pgd，則替代之。循環(huán)迭代過(guò)程，直至當(dāng)適應(yīng)度函數(shù)值小于或等于10-4后停止迭代，即得到輸入支鏈長(zhǎng)度值對(duì)應(yīng)的動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角(α,β)。經(jīng)過(guò)上述算例分析，結(jié)果如表2所示。各算例PSO算法的粒子適應(yīng)度函數(shù)值隨著算法迭代次數(shù)增加的變化關(guān)系如圖9所示。

表2 位姿正解算例結(jié)果

圖9 各算例PSO算法適應(yīng)度曲線Fig.9 PSO algorithm fitness curves of different examples

3.3 UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的速度建模

本小節(jié)基于位置模型求解機(jī)構(gòu)的速度雅克比矩陣，對(duì)UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)進(jìn)行速度建模[23]。對(duì)公式(16)兩邊分別對(duì)時(shí)間t求偏導(dǎo)數(shù)，可得：

(20)

據(jù)此得到該矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)和靜平臺(tái)之間的速度關(guān)系表達(dá)式：

(21)

圖10 兩條支鏈的速度隨時(shí)間的變化曲線Fig.10 Variation curve of velocity of branch chains

從圖10可以看出，矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的支鏈UPR和支鏈UPU的速度隨時(shí)間變化呈現(xiàn)近似正余弦函數(shù)變化規(guī)律，兩條支鏈的速度始終在一定范圍內(nèi)進(jìn)行波動(dòng)，兩條變化曲線比較平滑，沒(méi)有發(fā)生階躍突變的現(xiàn)象。同時(shí)對(duì)比分析圖3所顯示的支鏈長(zhǎng)度隨時(shí)間的變化曲線，可見(jiàn)支鏈的速度變化規(guī)律符合支鏈長(zhǎng)度的變化規(guī)律。兩圖證實(shí)了矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的位置建模的正確性與合理性。

3.4 UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的奇異性分析

當(dāng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)處于奇異位形時(shí)，其實(shí)際自由度發(fā)生變化，影響機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性能，同時(shí)改變機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)性能、剛度、穩(wěn)定性及靈巧度[24]。根據(jù)機(jī)構(gòu)奇異位形的特點(diǎn)將機(jī)構(gòu)奇異性分為邊界奇異和內(nèi)部奇異[25]。本文采用雅克比矩陣分析法對(duì)該矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)進(jìn)行奇異性分析。

機(jī)構(gòu)中各支鏈的長(zhǎng)度L1，L2和L3均是正值，不可能存在|Jq|=0的情況，矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)不會(huì)增加自由度，導(dǎo)致機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)失去控制，故不存在反解奇異。機(jī)構(gòu)各支鏈長(zhǎng)度是大于零的正數(shù)，即|Jq|≠0，不存在|Jq|和|G|同時(shí)為零，因此矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)不可能存在混合奇異。機(jī)構(gòu)各支鏈長(zhǎng)度均大于零的正數(shù)，因此|Jq|≠0。根據(jù)式(20)中的|G|=0時(shí)，G11G22-G12G21=G11G22=0。所以矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的正解奇異具有以下兩種情況：

(1)當(dāng)G11=A(asα-ecα)=0時(shí)，α=arctan(e/a)，代入相關(guān)尺寸，解得α=77.94°，這種奇異位形稱(chēng)為第一類(lèi)正解奇異。此時(shí)機(jī)構(gòu)中UPR支鏈的絲杠長(zhǎng)度不足，其位形如圖11(a)所示的第一類(lèi)奇異。

圖11 UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)正解奇異Fig.11 Positive solution singularity for UPR-UPU-UR vector propulsion mechanism

(2)當(dāng)G22=A(asβ-ecαcβ)=0，所以β=arctan(ecosα/a)，假設(shè)α處于轉(zhuǎn)動(dòng)角度的最大值，代入相關(guān)尺寸，解得β=44.36°。這種奇異位形稱(chēng)為第二類(lèi)正解奇異。此時(shí)該機(jī)構(gòu)中UPU支鏈的絲杠長(zhǎng)度不足，其位形如圖11(b)所示的第二類(lèi)奇異。

3.5 UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的工作空間分析

機(jī)構(gòu)的工作空間是衡量矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)推進(jìn)性能的重要指標(biāo)。影響工作空間的因素主要有機(jī)構(gòu)本身結(jié)構(gòu)、支鏈長(zhǎng)度限制、運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角限制、支鏈間的互相干渉限制和奇異位形限制等。本文將通過(guò)數(shù)值搜索法求解矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的工作空間。

(1)支鏈長(zhǎng)度限制

UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的兩條支鏈的絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)長(zhǎng)度是有限的，故兩條支鏈的長(zhǎng)度L1和L2存在最小值和最大值表示成Li min和Li max，則變化范圍可以表示成Li min≤Li≤Li max(i=1, 2)。設(shè)定Li min=264 mm，Li max=364 mm。設(shè)定OD1和OD2的長(zhǎng)度均為A=270 mm，od1和od2的長(zhǎng)度均為a=47 mm，Oo的長(zhǎng)度為e=220 mm。

(2)運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角限制

(3)支鏈間的相互干涉限制和奇異位形限制

分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間時(shí)，需要考慮機(jī)構(gòu)的實(shí)際尺寸，各支鏈間有可能發(fā)生互相干涉。UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)有兩個(gè)自由度，各支鏈間發(fā)生運(yùn)動(dòng)干涉的概率較小，所以求解此機(jī)構(gòu)工作空間不需要考慮各支鏈之間的相互干涉限制。當(dāng)UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)處于奇異位形時(shí)，影響其矢量推進(jìn)性能，所以求解此機(jī)構(gòu)工作空間需要避免機(jī)構(gòu)的正解奇異位形。

綜上所述，矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)工作空間的限制表達(dá)式如式(22)所示：

(22)

將矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)原點(diǎn)o相對(duì)于靜坐標(biāo)系的位置(esα, -ecαsβ,ecαcβ)T作為工作空間的參考點(diǎn)，經(jīng)MATLAB計(jì)算并繪制三維圖，得到如圖12所示的UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的工作空間。動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)的工作空間的形狀為球面的一部分，圖12(a)表示其在O-XYZ三維視圖，圖12(b)表示其在XOZ平面投影視圖，圖12(c)表示其在YOZ平面投影視圖，圖12(d)表示其在XOY平面投影視圖，圖中可見(jiàn)，工作空間的形狀關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)且關(guān)于Y軸對(duì)稱(chēng)。

圖12 UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)工作空間Fig.12 Workspace of moving platform for UPR-UPU-UR vector propulsion mechanism

在UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)中，在初始位置下，繞X軸旋轉(zhuǎn)β角，后繞Y軸旋轉(zhuǎn)α角。當(dāng)β的角度取值范圍是[-45°，45°]，α的角度取5°，矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖13所示。動(dòng)平臺(tái)上點(diǎn)o的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條形似為拋物線的曲線，圖13(a)表示其在O-XYZ三維視圖，圖13(b)表示其在XOZ平面投影視圖，圖13(c)表示其在YOZ平面投影視圖，圖13(d)表示其在XOY平面投影視圖，圖中可見(jiàn)，該運(yùn)動(dòng)軌跡是關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)。

圖13 UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.13 Trajectory of moving platform for UPR-UPU-UR vector propulsion mechanism

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的矢量推進(jìn)性能，搭建了如圖14(a)所示的UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)主要由UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)、交流伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)模塊、傳感模塊和控制模塊組成。傳感模塊由光柵尺、數(shù)顯表和航姿傳感器組成，其中：光柵尺測(cè)量?jī)蓷l支鏈的長(zhǎng)度變化，分別傳輸至數(shù)顯表和計(jì)算機(jī)的串口助手，實(shí)時(shí)準(zhǔn)確讀取矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的兩條支鏈長(zhǎng)度變化數(shù)據(jù)。利用航姿傳感器測(cè)量矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)的俯角、仰角和轉(zhuǎn)角的變化，并向計(jì)算機(jī)反饋動(dòng)平臺(tái)的位姿變化。如圖14(b)所示為UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的控制原理圖。圖14(c)所示為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的人機(jī)交互界面，通過(guò)設(shè)置機(jī)械部分的運(yùn)行參數(shù)和輸入運(yùn)行程序代碼可以控制該矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的運(yùn)行情況，可以實(shí)時(shí)調(diào)整機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)。

圖14 UPR-UPU-UR實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.14 Experimental platform for UPR-UPU-UR

圖15 實(shí)驗(yàn)中支鏈長(zhǎng)度變化Fig.15 Variation curve of the length of branch chains in the experiment

圖16 實(shí)驗(yàn)中支鏈速度隨時(shí)間的變化Fig.16 Variation of the velocity of branch chains with time in the experiment

5 結(jié) 論

根據(jù)水下機(jī)器人矢量推進(jìn)的要求，首先，提出了一種UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)方案。UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)不僅能夠?yàn)樗聶C(jī)器人提供向前的推進(jìn)力，而且主軸支鏈在縱向平面內(nèi)可以靈活地偏轉(zhuǎn)來(lái)改變螺旋槳的推進(jìn)方向，實(shí)現(xiàn)偏航、俯仰、橫滾等多種運(yùn)動(dòng)模式。經(jīng)過(guò)位置建模，推導(dǎo)出該機(jī)構(gòu)的位置反解表達(dá)式，然后，利用PSO算法驗(yàn)證了位置建模的正確性，各數(shù)值算例在動(dòng)平臺(tái)位姿絕對(duì)誤差小于0.001°下獲得機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的精確位姿。緊接著使用數(shù)值搜索法分析，矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的工作空間是一部分球面。構(gòu)建了機(jī)構(gòu)中靜平臺(tái)與動(dòng)平臺(tái)之間的速度映射關(guān)系，最后搭建了UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。經(jīng)過(guò)數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證表明，UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)的實(shí)際推進(jìn)性能與理論設(shè)計(jì)存在誤差最大為5%。UPR-UPU-UR矢量推進(jìn)機(jī)構(gòu)靈活性高，工作空間大，可以在狹小空間內(nèi)實(shí)現(xiàn)多方向姿態(tài)擺動(dòng)，有助于水下機(jī)器人在復(fù)雜海洋環(huán)境勝任作業(yè)任務(wù)。