立足學生實際 探究數學魅力—以面積教學為例

陳 娟

（江蘇省啟東市長江小學，江蘇啟東 226200）

引 言

數學是研究模式、規律的學科。小學數學課堂教學中，教師要引領學生從數學視角來探索身邊的數學現象和變化規律，幫助學生在數學探究活動中學會觀察、操作、猜想、驗證、歸納，提高學生的數學學習效率。在“面積”教學中，筆者通過安排探究活動，讓學生結合已有的知識經驗，鼓勵學生在測量、計算、比較、思考、交流中經歷“猜想、驗證、結論”的學習過程，強化學生的自主探索意識，體會“面積”的內涵，使學生從所獲得的數學經驗、方法中發展數學解題能力。

一、確立教學目標，引出數學猜想

在學習“面積”時，對“面積”概念的理解，教師可以通過數學活動，引領學生在測量、計算、比較中進行認知；對平面圖形面積的變化規律進行觀察，可增強學生對“面積”規律的理解，獲得良好的學習體驗。本節課的教學目標重點放在平面圖形放大前后面積的變化規律并對其進行探究的問題上。

為此，教師可以創設這樣的問題情境：春天來了，小明和父母一起去大自然游玩，拍了很多照片。通過PPT 出示兩張照片，詢問學生：如果小明想將其中一張照片打印出來，再裝上相框來裝扮書房，請問這個相框是什么形狀的？很顯然，學生看到照片是“長方形”的，那么相框也應該是“長方形”的。假如它長12厘米，寬8厘米，我們將這個照片按照2∶1的比例放大，放大后的形狀是什么樣的？“長方形”，很多學生快速回答道。放大后的照片，長是多少，寬是多少？根據放大比例，學生也能很好地理解長為24厘米，寬為16厘米。對于放大后的照片，面積是原來的幾倍？這時很多學生不假思索地回答“2倍”，也有個別學生回答為“4倍”。問題產生了，我們就此展開驗證，到底是“2倍”還是“4倍”？根據長方形的面積計算公式，讓學生在演草紙上對放大前、放大后的照片面積進行計算，并對結果進行比較。然后，組織學生探究交流。有學生通過計算，發現放大后的面積是原來的“4倍”；有學生通過畫圖的方式，先在紙面上畫出原圖，再畫出放大后的圖，兩者比較，可以分成四個原來的小長方形。最后得出結論，在對原長方形放大2倍后，其面積會放大4倍。

接下來，請學生觀察另外一張照片，如果我們想將它放大5倍，放大后的面積是原來的幾倍？如果我們將它放大10倍，放大后的面積是原來的幾倍？請學生自主嘗試，并與同桌交流。很快，在學生的自主計算、嘗試、比較中，他們發現放大5倍后，面積是原來的25倍，即25∶1；放大10倍后，面積是原來的100倍，即100∶1。為什么學生回答得這么快？有學生提出，長方形放大一定倍數后，其面積的比是原來的對應邊長度的比的平方，這就是計算后得出的規律。也就是說，如果我們對一個長方形按照n∶1的比例放大，放大后的面積是原來的n2倍，面積之比為n2∶1。

在整個探究過程中，我們結合生活中的照片原型，以長方形為例，觀察放大前后面積的變化，并鼓勵學生通過計算來驗證規律，從而得出長方形放大后的面積變化規律。

二、合作探究，延伸數學思維

在數學認知發展過程中，通過對照片放大規律的探究，啟發學生從畫圖、計算、推理中形成直覺思維。整個探索過程實現了學生已有知識與新知識的銜接。前面我們對長方形的長或寬按n∶1 比例放大，然后得出放大后的面積與原來長方形的面積之比為n2∶1。從這個規律中，學生是否還能提出其他的、新的問題？有學生提出，對于正方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓等其他平面圖形，當按比例放大后，其面積是否也存在同樣的規律？對此，我們就平面圖形中按比例放大后，其放大前后圖形面積之比的變化規律進行合作探究，并進行歸納。在探究中，將不同平面圖形進行分類，計算放大前后的面積并填表，觀察表格中的數據，找出對應的規律。

根據平面圖形按比例放大后面積的變化規律，請學生討論交流，結合具體的平面圖形，按照相應的數值進行類比推理。有學生提出，當平面圖形按照比例放大后，其面積之比都是n2∶1。因此，教師可請學生思考，為什么平面圖形中會有這樣的變化規律？“實踐是檢驗真理的唯一標準。”對于長方形，通過按比例放大，對放大后的面積進行計算，得出n2∶1的變化規律；那么，對于其他圖形，如三角形、平行四邊形、圓等，是不是也具有同樣的規律？這一探究問題順應學生的學習心理，加深了他們對問題的探索，讓學生能夠通過小組合作，對其他圖形放大后的面積變化規律進行驗證，深化對數學規律的理解和感知，從合作、探究中提升認識，發展數學思維能力[1]。

三、分層練習，促進數學規律的內化

結合前面的探究實踐活動，接下來我們要展開數學習題訓練，引領學生從分層演練中洞悉數學規律，促進數學規律的內化。如某平行四邊形的面積為8cm2，按照3∶1的比例放大后，得到的平行四邊形的面積是多少？同樣，一個三角形按照4∶1的比例放大，放大后的三角形的高為8cm，則原來三角形的高是多少？根據所掌握的平面圖形按比例放大的面積變化規律，請學生對上述問題進行求解。然后，結合前面所學知識，教師引入應用題：假設校園的花圃需要擴建，按照平面圖比例尺1∶1000，平面長方形的長為4cm，寬為2cm，請學生計算校園花圃擴建后的面積是多少？這里的比例尺1∶1000 代表什么？通過學生的回顧和反思，他們了解到應用題中的比例尺1∶1000 就是平面圖與實際花圃尺寸的比值，也就是將平面圖放大1000倍，得到的就是真實花圃的大小。根據比例尺的比值，我們可以將平面圖的長、寬放大1000倍，得到花圃實際的長和寬，就可以計算出花圃的實際面積了。

由此，基于對平面圖放大過程中的面積變化規律的探究，我們可以結合生活實例，進行驗證和解決實際問題。“提出一個問題比解決一個問題更重要。”結合所學規律，讓學生思考還能提出哪些猜想？如通過放大平面圖形分析面積的變化規律，縮小平面圖形來分析其面積變化規律，通過面積的變化規律來分析圖形周長的變化規律……在探究體驗中，我們由“問號”讓學生展開猜想、思考、合作學習，得到“句號”，再由“句號”進行延伸，提出“問號”。這種循環往復的不斷推想的過程，能夠促進學生數學問題意識的形成，使學生迸發創新思維，促進其數學規律的內化與應用。

結 語

總之，在數學教學中，圍繞數學問題展開規律探索與實踐，在數學猜想、驗證、總結中激發學生的好奇心，引領學生探索數學規律，感受數學探究的樂趣，積累數學經驗。數學中的概念、法則、公式、性質等規律性知識，抽象性較強，理解較困難。通過問題探究、合作學習，幫助學生從數學發散思維中來觀察、比較、歸納、總結，逐漸建構數學規律，形成數學問題意識，發展學生的數學解題能力和創新精神，實現數學綜合素養的漸進提升。