含剛性及彈性約束的振動系統的動力學特性

王世俊，馬 琳

(蘭州交通大學 機電工程學院，蘭州 730070)

機械系統中由于裝配需要、加工精度的限制、運轉過程中的正常損耗等諸多因素的影響,不可避免的存在間隙和約束.間隙和約束的存在使得機械系統在運轉時會發生沖擊振動,異常的沖擊振動可能會造成噪聲加劇、使用壽命降低等諸多不利情況的發生.因此研究含間隙、約束的沖擊振動系統的動力學特性具有重要的現實意義,國內外學者對此展開了大量的研究.Shaw等[1]發現含間隙沖擊振動系統中由于分段非光滑特性,可能會由于擦邊分岔而導致分岔行為的奇異性.Nordmark等[2]研究了單自由度沖擊振動系統在低頻時存在的完整顫沖擊振動.文獻[3-7]對單自由度沖擊振動系統做了細致而深入的研究,針對單側和雙側剛性及彈性約束的不同情況研究了系統的低頻特性、周期運動的轉遷規律、局部吸引域結構變化機理.葉建聰等[8]研究了一類含摩擦兩自由度沖擊振動系統,分析了系統參數對于動力學特性的影響.張艷龍等[9]研究了隨機干擾對系統動力學的影響,發現了在一定隨機干擾強度下,系統周期運動參數域存在抗干擾能力強的點和抗干擾能力弱的點.樂源[10]研究一類碰撞振動系統在內伊馬克沙克-音叉分岔點附近的局部動力學行為.朱喜鋒等[11]研究了一類含剛性約束兩自由度沖擊振動系統在低頻時的顫碰行為.文獻[12-15]研究了含剛性約束兩自由度沖擊振動系統基本周期運動的轉遷規律,以及低頻時顫沖擊振動的產生機理.

在以往的研究中主要針對單純剛性約束或彈性約束的單自由度或兩自由度沖擊振動系統進行研究,而現實機械系統中常常是具有這兩種類型復合約束的系統.本文針對具有剛性及彈性復合約束的兩自由度受迫振動系統,研究其低頻動力學特性,并分析彈性約束剛度比對μk0系統沖擊動力學特性的影響.

1 兩自由度受迫振動系統的力學模型

系統無量綱化后的運動微分方程為：

(1)

(2)

(3)

兩質塊相互碰撞前后的瞬時速度可根據動量守恒確定

(4)

所引入的無量綱化參數為

(5)

系統經過無量綱化后,可以方便的確定部分參數的取值范圍：μm∈(0,1),μk∈(0,1),μk0∈(0,1),μc∈(0,1),f∈[0,1].

兩質塊間的相互作用力滿足：

(6)

2 系統低頻特性研究

為了確定沖擊振動系統的激振力周期數以及在各碰撞面的沖擊次數,建立如下Poincaré映射：

(7)

在所建立的映射的基礎上,對于約束A12和約束A2處的單側碰撞面可以用符號p/n來描述其沖擊振動的模式,其中n表示周期數(n=1,2,3,…),p表示質塊和約束的沖擊振動次數；對于雙側約束A1,引入符號n-z-q來描述其運動,其中z和q分別表示對于雙側約束左側碰撞面和右側碰撞面的沖擊振動次數(z,q=0,1,2,3,…).

研究時選取無量綱化參數μm=0.5,μk=0.5,μc=0.5,ζ=0.1,R=0.8,δ1=0.6,δ2=0.4,μk0=0.7,f=0作為基準參數,考慮激振力頻率ω變化時系統的動力學特性.圖2是當激振力頻率ω∈(0,2]時,系統的總體分岔圖,可以看到當ω∈(0,0.883]時,系統主要在約束A12和約束A1處發生沖擊振動,由于激振力作用在質塊M1上,通過約束A12處質塊M1和質塊M2相互沖擊振動帶動質塊M2運動,此時質塊M2未與約束A2發生沖擊振動.當ω∈[0.883,1.396]時,系統在三處碰撞面都發生沖擊振動,圖3是ω=1.0時系統的相圖,質塊M1在約束A1處左側和右側各發生一次沖擊振動,質塊M2在約束A2處發生一次沖擊振動,兩質塊在約束A12處相互之間發生一次沖擊振動.當ω∈(1.396,2]時,系統只在約束A1和約束A12處發生沖擊振動.可見在中等頻率范圍時系統在三處約束處都會發生沖擊振動,而在低頻以及高頻時則主要是在約束A1和約束A12處發生沖擊振動.

在圖2(b)中可以看到,系統在約束A12處碰撞面低頻范圍會發生具有粘滯特性的完整顫沖擊振動,從式(6)系統發生粘滯運動的條件可以知道同時具有剛性約束和彈性約束的系統中,質塊M1和質塊M2發生粘滯時其相互之間的作用力N更為復雜.圖4是當ω=0.2時系統的時間歷程圖,由分段函數f1(x1)可以知道當質塊M1的位移|x1|≥δ1時,質塊M1在約束A1處將受到彈簧所提供的彈性力,在圖4(a1)中可以看到當ωt到達A點后,質塊M1的位移量超過了約束A1右側的間隙值δ1=0.6,此時質塊M1將受到約束A1處彈簧力f1(x1)的作用,而此時質塊M1和M2之間的相對位移量x1-x2正在逐步減小,但兩者還未進入粘滯；當ωt越過B點之后,此時質塊M1仍然受到彈簧力f1(x1)的作用,而質塊M1和M2之間的相對位移量縮減為零,進入了粘滯運動狀態；當越過C點之后,彈簧力f1(x1)的作用消失,但質塊M1和M2在剛性約束A12處仍然保持粘滯運動狀態,直到到達D點結束了粘滯運動狀態.由此我們可以看到,當系統逐步進入粘滯運動狀態的過程中,有彈簧所提供的彈性力的介入,系統仍然會進入粘滯運動狀態,而當彈性力消失,系統不會立即結束粘滯運動狀態,而是會繼續保持粘滯運動狀態一段時間.

3 彈性約束剛度比對于系統沖擊振動特性的影響

考慮改變彈性約束剛度比μk0的參數值時,對于系統沖擊振動特性的影響.在基準參數μk0=0.7時,這里分別考慮取較小值μk0=0.3和較大值μk0=0.9時的情況,激振力頻率變化范圍ω∈(0,1]選取.由圖7(a1-a4)可以看到,當μk0=0.3時,系統在約束A1處主要沖擊振動模式為：1-1-0,1-1-1運動；在約束A12處,4/1運動在ω≈0.45附近經Bare Grazing分岔出現了5/1運動的半環狀周期窗口,隨著ω的遞減而消失.當ω進一步的減小,5/1運動經連續的Real Grazing分岔,沖擊振動次數p逐次增加,最小沖擊速度逐漸減小,逐步進入非完整顫沖擊振動,當最小沖擊速度減小到0進入具有粘滯特性的完整顫沖擊振動；在約束A2處低頻區域為無沖擊振動的0/1運動,在中等頻率范圍出現了1/1運動.

由圖7(b1-b3)可以看到,當μk0=0.9時,此時彈性約束處具有較大的約束剛度比,從而質塊M1的運動范圍將被約束A1限制在較小的范圍,而約束A2處表現為無沖擊振動,故而此處未繪制約束A2處的分岔圖.在約束A1處,沖擊振動的模式類型顯著增多,并且在對于雙側約束A1左側和右側的沖擊次數上表現出了強烈的非對稱性,除1-1-1,3-3-3運動外,還存在2-3-2,2-4-2,1-2-1運動,在整個頻率范圍引入了較多的概周期運動和混沌運動,在超低頻區域表現為1-z-0的單側沖擊狀態.在約束A12處,亞諧運動,概周期運動,混沌運動的頻率范圍增大,基本周期沖擊振動p/1經Grazing分岔向(p+1)/1轉遷的規律被打破,隨著ω的減小系統仍然能夠進入具有粘滯特性的完整顫沖擊振動,但Sliding分岔線已經消失,系統經過混沌運動而直接躍遷到完整顫沖擊振動.

4 結論

研究了一類剛性及彈性復合約束的受迫振動系統的動力學模型,分析了復雜受力情況下的粘滯條件,對系統的低頻動力學特性、分岔規律進行了研究,并分析了系統參數彈性約束剛度比μk0對于系統沖擊振動特性的影響,得出了以下主要結論.

1) 復合約束條件下,系統約束在結構上具有強非對稱性,激振力頻率決定了系統與幾處約束發生沖擊振動.中等頻率范圍系統對三處約束處都會發生沖擊振動,低頻以及高頻時則主要是在約束A1和約束A12處發生沖擊振動.

2) 在系統逐步進入粘滯運動狀態的過程中,有彈簧所提供的彈性力的介入,系統仍然會進入粘滯運動狀態,而當彈性力消失,系統不會立即結束粘滯運動狀態,而是會繼續保持粘滯運動狀態一段時間.

3) 系統在剛性碰撞面A12處,隨著激振力頻率ω遞減,基本周期沖擊振動p/1向(p+1)/1轉遷的過程中,p/1運動經Real Grazing分岔導致沖擊振動次數增加1次,直接進入穩定的(p+1)/1運動；Bare Grazing分岔導致p/1運動進入包含亞諧運動、概周期運動、混沌運動的轉遷域,穿越轉遷域后進入(p+1)/1運動.復合約束條件下由Bare Grazing分岔可能會激發半環狀周期窗口.

4) 彈性約束剛度μk0取較小值時,系統具有較好的緩沖減振特性,彈性約束A1處主要沖擊振動模式較為簡單,主要包括：1-1-0,1-1-1運動,剛性約束A12處基本周期沖擊振中夾雜了包含亞諧運動、概周期運動、混沌運動的轉遷域范圍減小；μk0取較大值時,系統具有較好的限位特性,質塊M1的位移范圍被約束A1限制在有限范圍,導致在約束A2無沖擊振動,約束A1處出現了較多的強非對稱性的沖擊振動模式,主要包括：2-3-2,2-4-2,1-2-1運動,剛性約束面A12處基本周期沖擊振動p/1向(p+1)/1轉遷的規律性被打破,同時嵌入了較多的混動運動.