居家實驗：蛇擺的設計與制作

趙海發，朱瑞濱

(哈爾濱工業大學 物理實驗中心，黑龍江 哈爾濱 150001)

單擺是最簡單的物理擺，1582年伽利略通過觀察教堂中吊燈在微風下的擺動發現單擺具有等時性，1657年荷蘭物理學家惠更斯根據單擺的等時性設計制造了計時儀器——擺鐘，擺鐘的發明提高了當時計時的精度.

1991年馬里蘭大學的Richard E. Berg描述了利用1組無耦合單擺陣列構建擺波(Pendulun waves)的演示實驗[1],實驗展示出蛇擺會變幻出很多非常優美的陣型，給人驚奇的觀感. 2001年James A. Flaten等人在理論上對蛇擺的運動機理做了詳盡的理論分析[2]. 蛇擺的設計非常巧妙，蘊含很多物理原理和原理的巧妙應用[3],通過巧妙的物理設計讓相互無耦合的單擺之間加進時間關聯，使得各單擺陣列在擺動過程中演化出一系列規律的陣型，而這些陣型是設計時已計算好的動作. 蛇擺教學實驗既包含精妙的物理思想，又包含參量的設計選擇，再到實驗儀器的搭建以及精細的調節過程，是一個教學內容非常豐富、全面的實驗.

在今年疫情期間，哈爾濱工業大學開展了居家大學物理實驗教學活動. 將“蛇擺的設計和制作”列為必做的實驗內容，為便于學生盡快入手，給學生提供了相關的參考資料和制作要點提示. 教學實踐表明學生非常喜歡這個設計性DIY居家實驗. 當學生經過自己努力和教師線上指導終于圓滿完成實驗內容后，學生獲得了成功感，在實驗過程提高了分析能力和動手能力.

1 實驗原理

1.1 單擺和重力加速度

單擺是由1根不可伸長的輕質細線和懸掛在此細線下體積很小的重球所構成. 在擺長遠大于擺球直徑，擺球質量遠大于細線質量的條件下，將懸掛著的小球自平衡位置拉至一側很小的距離，使擺角小于5°，然后釋放，擺球即在平衡位置附近作周期性振動，其振動周期為

(1)

其中，g為重力加速度，L為擺長(擺長為擺線固定端到擺球重心的長度). 根據(1)式，可以得到重力加速度的測量公式為

(2)

實驗時，選取合適的擺長L，并測量擺的周期T,得到重力加速度g.L值是設計蛇擺時的關鍵參量.

1.2 蛇擺的設計原理

蛇擺是由等間隔排列、振動頻率等值變化、無耦合的多個單擺組成的單擺陣列，如果同時將其從最大擺幅處釋放，隨后會展現出一系列奇異的空間分布變化，展現出從行波、駐波、混沌再回到有序的周期性變化.

1)蛇擺的設計的關鍵參量

圖1 蛇擺的空間構型

根據上述分析，可以得到位于x=id位置處的第i個單擺的周期為

(3)

由式(1)，可得第i個單擺擺長公式為

(4)

或

(5)

可以看出不同位置處的單擺擺長不同.

2)蛇擺的運動狀態分析

讓上述設計的各單擺同時(t=0)從最大擺幅開始釋放，由于它們的周期不同，它們的相對相位隨著擺動而逐漸變化. 由于單擺的運動滿足余弦函數，則位于x處的單擺的橫向擺動方程為

(6)

上式可以整理表達成

(7)

在隨后的任一時刻，整個單擺陣列中相鄰的2個單擺的相位差是固定的，但是此相位差數值會隨時間逐漸增大. 這就會造成整個單擺陣列類似余弦函數的陣型出現. 假設n=14，所有單擺初始擺幅相同(同為最大擺幅)，分析可知在隨后的幾個特定振動時刻單擺陣列的圖樣會如圖2所示. 例如，在時間t=Γ/2，每個單擺正好處于與最鄰近的單擺反相的狀態，所以鄰近單擺間的相位差為π. 整個單擺整列分別排列成2行，陣線分明. 其他陣型也可同理分析得到.

圖2 蛇擺在振動的不同時刻擺球的分布形態

3)蛇擺參量設計

根據圖1分析，蛇擺中各單擺(隨x增大)的振動頻率按規律逐漸遞增，擺長逐漸減小. 設計蛇擺時，主要要考慮以下因素：

a.擺球個數，也就是n的選取，擺球越多當然視覺效果越佳，但是制作和調節難度也增大；擺球少，調節容易但相應的表現效果差. 10～15個擺球比較合適，這樣可以保證成三排時，每排有3個或以上的擺球.

b.相鄰單擺的頻率差(這里等于公周期的倒數)不要取太大，一般以0.04左右為佳，這樣可以比較細膩地表現蛇擺的陣型演化. 如果頻率差過大蛇擺的陣型變化會非常快，不容易觀察到陣型的演變;如果頻率差過小，相應的公周期過長擺幅會隨時間衰減影響效果. 另外也需要更多個數的擺才能比較完整地表現蛇擺的整體運動，同時也會使實驗調節困難，所以對應的公周期以25～60 s之間為宜.

c.N的取值，N越小單擺的周期越大、擺長越長，實驗調節越容易，但是擺長太長，整個蛇擺占的空間也大，一般以每個單擺的周期在1 s左右變化為宜，這時對應的15個單擺的擺長在20～40 cm之間，實驗時擺長調節在mm精度就可以達到較好的效果.

d.蛇擺設計時重力加速度要取本地加速度的標準值，具體可以通過網絡查找.

根據以上綜合分析，推薦選取蛇擺的參量為N=50，n=14，Γ=60 s，學生也可以根據居家條件自己選擇合適的參量. 據此根據蛇擺的設計規律和單擺周期公式(1)可以得到15個單擺的周期Ti和擺長Li具體參量.

4)蛇擺的搭建

首先要找到合適的直桿，長度不小于60 cm. 在居家的條件下擺球可選擇玻璃球、大螺帽等重些的物體，在選擇擺球物體時主要考慮形狀簡單、對稱，容易確定重心，易于計算擺長. 擺線可選大力馬魚線(這種線無彈性、無記憶，強度也很高)，其他線可能衰減會大.

制作蛇擺時，各單擺擺動時一定不能左右晃動，只能前后擺動，為此可以采用V型連線連接擺球；在擺線和桿固定方式，要便于擺長調節，不可直接固定死. 建議居家實驗時采取先用膠帶把擺線粘接在桿上，實驗過程中如某個擺擺動規律異常，可以很容易地細調這個單擺的擺長.

2 實驗內容

實驗的實驗內容包括：利用單擺原理測量學生居家當地的重力加速度大小，設計和制作蛇擺. 這2項內容聯系緊密，可以很好地融合.

2.1 測量重力加速度g

利用單擺測量本地重力加速度，實驗時要設法測得比較準確的單擺周期和擺長. 周期測量可利用PHYPHOX軟件的磁力計、加速度測量和計時秒表功能. 實驗中擺長要適當(>50 cm)，另外要通過測量多次擺動的時間來獲得振動周期T. 居家實驗實驗結果精度要求在2%內.

2.2 蛇擺中各單擺擺長的確定

設計蛇擺時要利用當地的重力加速度標準值，網上可以查到哈爾濱地區的重力加速度大小為g=9.806 6 m2/s. 蛇擺參量可選N=50，n=14，Γ=60 s. 然后計算得到蛇擺的各個單擺的周期和對應的擺長.

2.3 蛇擺的組裝和細調

按照各單擺擺長的計算值來組裝蛇擺，組裝時需要注意單擺擺長越小時安裝調節擺長時越要精細，組裝好后先觀察蛇擺的初始擺動效果,進而反復地細調. 調試時要注意觀察這幾個重要時間節點時蛇擺的狀態：1/3公周期時，擺球應為3排排列；1/2公周期時，擺球應為2排排列；2/3公周期時，擺球又為3排排列；1個公周期時，擺球應為1排排列. 實驗時可以用手機錄像記錄和分析這幾個時間節點，如某個單擺不符合預期須仔細調節此單擺擺長，使其達到預期效果，然后錄制1個公周期時間的蛇擺運動，作為實驗報告的附件提交.

3 居家實驗教學的效果和體會

單擺和蛇擺的設計與制作實驗原理簡單，通過分析既可容易掌握. 重點和難點在于實驗搭建和耐心調節的過程. 因為此實驗趣味性和實踐性比較強，雖然調節有一定難度，但還是受到了學生的歡迎. 有很多學生做出了非常漂亮的蛇擺(圖3). 居家實驗教學也遇到難點問題，比如有的學生動手能力比較差，遇到問題有畏難情緒，家中可用材料不足，要自己考慮解決，學生不習慣這樣的實驗，遇到這些問題教師需要通過正確引導、耐心的討論和指導和適當的鼓勵幫助學生解決問題.

圖3 學生制作的蛇擺