診斷高血糖高滲狀態的數學模型及其應用

羅振國 李 星* 黃 瓊 李石生 黃 麗

（衡陽師范學院南岳學院，湖南 衡陽421008）

1 概述

糖尿病高血糖高滲綜合征是糖尿病嚴重急性并發癥表現之一，病情嚴重的患者經常會出現嚴重高血糖和血漿高滲透壓，不同程度神經系統障礙或昏迷，死亡率高達40% 以上。高血糖高滲狀態的病人多為非胰島素依賴糖尿病，血漿胰島素水平比糖尿病酮癥酸中毒者要高，本身有拮抗酮體作用，目前這一類糖尿病在臨床上還沒有有效的治愈手段，治療的作用是在與控制血糖并延緩并發癥的發作。

近年來，我國許多學者深入探討了成纖維細胞生長因子在調控機體、維護血糖平衡、增加胰島素敏感性等方面扮演的角色，從而證實成纖維細胞生長因子參與了調控和維持機體的血糖代謝平衡[1-3]。2016 年，文獻[4]研究I 型糖尿病患者血糖控制系統，找到控制輸入和控制目標輸出之間的關系，得出正常血糖濃度所對應的精確控制輸入，保證血糖的平衡。目前還有學者探討了糖尿病酮癥酸中毒和高血糖高滲狀態，但只是研究病理生理、誘因、治療原理等方面，沒有應用數學模型來研究血糖、胰島素、胰島素拮抗激素之間的關系。

因此建立一個描述血糖- 胰島素調節系統的數學模型對于量化血糖與胰島素之間的作用，預測病人體內血糖的變化十分必要。

1.1 病理生理

高血糖高滲狀態發病機制復雜，主要是肝臟與脂肪組織中的胰島素不足，而胰島素對抗性調節激素，特別是胰高血糖素素的升高而造成的。胰高血糖素促進了糖原分解和糖異生，皮質醇刺激蛋白質的分解，產生的氨基酸又成為糖異生的底物，從而進一步阻礙胰島素的外周作用，加重高血糖。由于在脂肪組織中，胰島素缺乏還有對抗激素的升高，使得激素敏感性脂肪酶活化，儲存的甘油三酯被分解為游離脂肪酸和甘油，肝臟在代謝游離脂肪酸時可以不氧化出酮體，并且高滲和脫水本身也會抑制脂肪的分解，使得游離脂肪酸不會過多的進入肝臟，這也是高血糖高滲狀態與糖尿病酮癥酸中毒的機制的不同之處。

1.2 國內研究情況

2007 年，針對2 型糖尿病的防治，國內臨床采用世界衛生組織1999 年和2003 年的標準，關于糖尿病的治療方法，國內已經提出了藥物療法、飲食療法和運動療法三種方法，2013 年，有專家在中醫的基礎上，建立了糖尿病中醫“三早”綜合防治體系，但是對1 型糖尿病的診斷標準的研究相對較少。

目前國內的研究嚴謹性不高，研究方法單一，糖尿病性質研究主題多聚焦于糖尿病人的自我管理，心態狀態，健康教育及需求等方面。但依然存在著研究對象不均衡，研究主題狹窄及角度單一的問題。

1.3 國外研究情況

2011 年，美國糖尿病學會對妊娠期糖尿病的診斷提出了新標準：對于尚未知曉是否患有糖尿病的孕婦，在妊娠24～28 周采用75g 葡萄糖耐量試驗。近年來，美國科學家們在小鼠和大鼠實驗中阻止了2 型糖尿病形成，取得了有一定的進展。此外，霧化胰島素吸入治療糖尿病在國外研究也有一定的進展。

2 模型的建立

2.1 模型假設

（1）鑒于葡萄糖是細胞組織的主要能量來源，但都有最佳的血糖濃度，假設當超過這個濃度時，將導致生病、甚至死亡。

（2）認為生理激素和其它新陳代謝是血糖含量自我調節的主要因素。

（3）假設葡萄糖只有在胰島素的作用下才能進行大量的生化反應，從而降低血糖濃度。

（4）定義G 為血糖濃度，H 為內分泌激素濃度。

鑒于上述假設，血糖濃度的變化依賴于體內原有血糖濃度和內分泌激素濃度，把這種函數關系定義為F1（G，H），血糖濃度還與外加葡萄糖有關，記為J（t），又因為內分泌激素濃度的變化則依賴于體內血糖濃度和內分泌激素濃度，這種函數關系定義為F2（G，H）。

2.2 數據假設

（1）當沒有外界攝入時，人體內有一個血糖濃度和內分泌激素濃度的平衡狀態分別是G0、H0。

（2）僅僅考慮血糖濃度G 和以胰島素為代表的內分泌激素濃度H 的相互作用。

（3）只考慮在平衡狀態G0、H0附近的小偏差。

2.3 模型建立

設G（t）、H（t）分別表示t 時刻血糖與激素的濃度，則有可得增加率的平衡：

其中F1（G，H），F2（G，H）分別表示血糖濃度的變化和激素濃度的變化與G，H 的函數關系式，J（t）為t 時葡萄糖的外界攝入量。

存在G0，H0，有F1（G0，H0）=0 和F2（G0，H0）=0。令g（t）=G（t）=G（t）-G0，h（t）=H（t）-H0，則g（t），h（t）充分小，且有

將F1，F2在（G0，H0）附近展開并略去高階無窮小，帶人上式整理可得

取t=0 為外部輸入的G 完全被吸收的時刻，則有J（t）≡0，t>0 且g（0）=J（0）消去方程組中的變量h（t），可以得到

最后有G（t）=G0+Ae-αtcos（ωt-δ）是一條G0為平衡態的阻尼振蕩曲線，與血糖曲線形狀相近，其中參數G0，A，α，ω0，δ的最佳值可根據最小二乘原則，通過回歸分析的方法確定。由于測量G 時的微小誤差可能使α 值產生很大的誤差，而參數ω0- 系統的自然頻率，對于測量G 時的實驗誤差不太敏感，故可把ω0的值作為解釋葡萄糖耐量試驗的基本準則。

2.4 模型分析

（1）直接觀測得到G0的值。

（2）可以取四個不同時刻（如ti=0.5，1，2，3）的血糖觀測值，并求解非線性方程組得到四個參數A，α，ω0，δ 的值。

2.5 診斷指標

3 模型的應用

糖尿病作為代謝性內分泌系統疾病，可導致人體蛋白質、糖、脂肪、水等處于異常狀態。高血糖高滲狀態作為一種嚴重的糖尿病急性并發癥之一，其臨床特征：嚴重的高血糖、脫水、酮癥酸中毒，導致患者意識障礙、甚至昏迷。運用上述模型可以用來求解血糖濃度與最佳濃度的偏差，診斷人體是否患有高血糖高滲狀態。因此，建立的數學模型與應用的方法，對進一步調節血糖、診斷高血糖滲透狀態具有一定的參考價值。

4 結論

通過建立的數學模型，將建立的微分模型運用到實際問題中去，把實際問題通過數學公式展示出來，經過科學分析處理得到定量的結果，為實際醫學問題提供了理論依據，從而可以避免由于主觀因素造成的誤診誤治，進一步提高臨床診斷和醫學研究的準確性。本項目還充分的考慮了多種因素對血糖濃度的影響，更加說明了該數學模型是合理的，為臨床診斷提供一定的參考價值。