把握本質　釋疑解惑

陳俊

生活中有很多軸對稱圖形，我們也能從中感受到“對稱美”。本章的重點就是利用軸對稱探索線段的垂直平分線，角的平分線以及等腰三角形、等邊三角形的有關性質和判定;難點是理解線段垂直平分線，角平分線以及等腰三角形、等邊三角形相關性質和判定產生的過程。我們只有把握好其本質，才能有效地抓住重點，破解難點。

一、軸對稱性質的應用

例1

如圖1，點P是△ACB外的一點，點D、E分別是△ACB兩邊上的點，點P關于CA的對稱點P₁恰好落在線段E1）上，點P關于CB的對稱點P₂落在E1）的延長線上，若PE=2.5，PD=3，ED=4，則線段P₁P₂的長為______。

【解析】利用軸對稱圖形的性質得出PE=P₁E，PD=P₂D，進而利用DE=4，得出P₁D的長為1.5，即可得出P₁P₂的長為4.5。

【點評】解本題的本質在于掌握軸對稱的性質，挖掘其隱藏條件，即PE=P₁E，PD=P₂D。

二、線段垂直平分線性質的應用

例2如圖2，在△ABC中，PM、QN分別垂直平分AB和AC，BC=6cm，∠BAC=100°。求△APQ的周長與∠PAQ的度數。

【解析】根據線段的垂直平分線的性質得到PA=PB，QA=QC，則AAPQ的周長可轉化為PB+PQ+QC，即BC的長，為6cm;易知A_PAB=∠B，∠QAC=A_C，∠B+∠C=80°，則∠PAQ=∠BAC-（∠PAB+∠QAC）=100°-（∠B+∠C）=20°。

【點評】本題的本質在于掌握線段垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等。注意：這里的距離指的是點與點之間的距離，也就是兩點之間線段的長良。我們在使用該性質時必須保證兩個前提條件：一是垂直于這條線段，二是平分這條線段。

三、角平分線性質的應用

例3如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延長線交于點E，若點P使得△PAB與△PCD的面積相等，則滿足此條件的點P有多少個？

【解析】因為AB=CD，若使△PAB與△PCD的面積相等，則點P到AB和CD的距離相等。所以作∠E的平分線，除點E，這樣的點P有無數個。

【點評】角平分線的性質是角平分線上的點到角兩邊的距離相等。本題的本質在于逆用角平分線的性質：到角兩邊的距離相等的點在角平分線所在的直線上。牢記：角平分線的性質是證明線段相等的一個比較簡單的方法;當遇到有關角平分線的問題時，通常過角平分線上的點向角的兩邊作垂線，構造相等的線段。

四、等腰三角形的性質和判定應用

例4如圖4，已知AB=AC=BD，則∠1與∠2的關系是（ ）。

A.3∠1-∠2=180° B.2∠1+∠2=180°

C.∠1+3∠2=180° D.∠1=2∠2

【解析】由AB=AC，設∠B=x°，則/C=x°。由AB=BD得，∠1=∠BAD=90°-1/2x，根據外角性質，可得∠2=∠1-∠C=90°-3/2x°。通過觀察兩式，可得3∠1-∠2=180°，故選A。

【點評】解本題的本質在于掌握等腰三角形的“等邊對等角”性質，即等腰三角形的兩底角相等。提醒：用字母表示角的度數，從而“以解代證”，可以使解題過程清晰明了。

例5如圖5，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G為EF的中點。求證：AG⊥EF。

【解析】只要證明AF=AE，利用等腰三角形的“三線合一”的性質即可解決問題。證明過程留給同學們自行探索。

【點評】解本題的本質在于熟練掌握等腰三角形的“三線合一”性質以及“等角對等邊”的應用。等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合。

五、等邊三角形的判定與性質的應用

例6 如圖6，點P、M、N分別在等邊AABC的各邊上，且MP⊥AB于點P，MN⊥BC于點M，PN⊥AC于點N。（1）求證：△PMN是等邊三角形;（2）若AB=12cm，求CM的長。

【解析】（1）根據等邊三角形的性質得出∠A=∠B=∠C，又因為∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，則∠PMB=∠MNC=∠APN。根據平角的定義，即可得出∠NPM=∠PMN=∠MNP，所以△PMN是等邊三角形;（2）易證△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA=BM=CN，PB=MC=AN，從而求得BM+PB=AB=12cm。根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，得出2PB=BM，即可求得PB的長，進而得出CM的長。

【點評】解本題的本質在于掌握等邊三角形的性質和判定。等邊三角形的性質是：等邊三角形是軸對稱圖形，并且具有3條對稱軸;等邊三角形是等腰三角形，具有等腰三角形所有性質;等邊三角形的每個角都等于60°。等邊三角形的判定：三邊相等的三角形是等邊三角形;三個角都相等的三角形是等邊三角形;有兩個角是60°的三角形是等邊三角形;有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

同學們，理解問題的本質，充分挖掘題目中的隱藏條件，就找到了解題關鍵。相信你們在今后的學習中，一定會透過問題表象看到問題本質，從而達到釋疑解惑的目的。