“數(shù)形結合”探秘絕對值

張文珠

著名數(shù)學家華羅庚先生曾經說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休。”對絕對值的探究過程，“數(shù)軸”充當了橋梁的作用。絕對值借助數(shù)軸來表達，充分體現(xiàn)了數(shù)學中“數(shù)形結合”的思想精髓。接下來，讓我們開始一場絕對值的探秘之旅。

一、整裝待發(fā)——理解絕對值的幾何意義

數(shù)軸上表示一個數(shù)的點與原點的距離，叫做這個數(shù)的絕對值。

“數(shù)a的絕對值”記作| a |，幾何意義為數(shù)軸上表示數(shù)a 的點與原點的距離。

例1 如圖1，| -3|的幾何意義為數(shù)軸上表示-3的點與原點的距離。

二、腳踏實地——探秘任務一：兩數(shù)差的絕對值

“兩數(shù)差的絕對值”記作| a - b（| a、b是常數(shù)），幾何意義為數(shù)軸上表示數(shù)a 和數(shù)b 的兩個點之間的距離。

例2 如圖2，| 5 - 2|表示5與2的差的絕對值，實際上可以理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應的兩點之間的距離;由計算可得| 5 - 2|=3;由數(shù)軸可得5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應的兩點之間的距離是3，所以| 5 - 2|=3。

如圖3，| 5 + 2|即| 5 -（-2）|，表示5與-2的差的絕對值，實際上可以理解為5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應的兩點之間的距離。由計算可得| 5 + 2|=7;由數(shù)軸可得5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應的兩點之間的距離是7，所以| 5 + 2|=7。

經驗升級：用數(shù)學語言表示“兩數(shù)差的絕對值”，兩數(shù)之間要用運算符號“-”號連接，若遇到兩數(shù)之間用“+”號連接，需要轉化為“-”號。

三、登高望遠——探秘任務二：兩距離之和的最小值

“兩距離之和”記作| x - a |+| x - b（| x是未知數(shù)，a、b 是常數(shù)），可以理解為數(shù)軸上表示x 的點（動點）分別與表示a、b 的點（定點）之間的距離之和。

例3 求| x + 1|+| x - 5|的最小值。

【解析】原式寫成兩數(shù)差的絕對值為| x -（-1）|+| x - 5|，可以理解為數(shù)軸上表示x的點（動點）分別與表示-1、5的點（定點）之間的距離之和。因為x 的不確定性，可以利用數(shù)軸畫出表示-1、5的兩個定點，然后分類討論如下：

1. 表示數(shù)x 的點在表示-1的點左側，兩距離長如圖4所示：

2. 表示數(shù)x 的點在表示-1和5的兩點之間（包括兩點），兩距離長如圖5所示：

3. 表示數(shù)x 的點在表示5的點右側，兩距離長如圖6所示：

由圖可知，當數(shù)軸上表示數(shù)x 的點位于表示數(shù)-1 和5（包括-1 和5）兩點之間時，| x + 1|+| x - 5|取得最小值，最小值就是表示數(shù)-1和5兩點之間的距離（| -1）- 5|=6（見“探秘任務一”所得結論）。所以| x + 1| +| x - 5|的最小值是6。

經驗升級：求兩距離之和的最小值，首先將原式寫成兩數(shù)差的絕對值;其次理解式子的幾何意義，借助數(shù)軸畫出定點;最后利用數(shù)形結合對動點的不同位置分類討論，得出最短距離和即為所求最小值。

四、手摘星辰——探秘任務三：多個距離之和最小值

“多個距離之和”記作| x - a1 |+ | x - a2 |+…+| x - a | n（x 是未知數(shù)，a1、a2、……、an是常數(shù)），可以理解為數(shù)軸上表示x 的點（動點）分別與表示a1、a2、……、an的點（定點）之間的距離之和。

例4 求| x - 1| +| x + 2| +| x - 3|的最小值。

【解析】原式寫成兩數(shù)差的絕對值為| x - 1| +| x -（-2）| +| x - 3|，可以理解為數(shù)軸上表示x 的點（動點）分別與表示1、-2、3的點（定點）之間的距離之和。如圖7，因為x 的不確定性，可以利用數(shù)軸畫出表示1、-2、3的三個定點，然后分類討論，可得：當x=1 時，| x - 1|+| x + 2|+| x - 3|的最小值是5。

例5 求| x - 1| + | x + 2| + | x - 3| +| x + 4|的最小值。

【解析】數(shù)形結合分類討論后，如圖8從數(shù)軸上可以看出最小值就是表示數(shù)-2和1兩點之間的距離與表示數(shù)-4和3兩點之間的距離之和，記作| -2 - 1| +| -4 - 3|=10。所以，當x在-2與1之間（包括-2和1）時，| x - 1| +| x + 2|+| x - 3|+| x + 4|的最小值是10。

經驗升級：若數(shù)軸上有奇數(shù)個定點，則當動點在最中間的定點時，原式有最小值，再借助數(shù)軸求出最小值;若數(shù)軸上有偶數(shù)個定點，則當動點在最中間兩個定點之間（包括這兩點）時，原式有最小值，再借助數(shù)軸求出最小值。