案例教學(xué)法在計(jì)算機(jī)專業(yè)數(shù)學(xué)課中的應(yīng)用

趙爾敦，張茂元

（華中師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，湖北 武漢 430079）

0 引言

理工科研究生側(cè)重于工程應(yīng)用與實(shí)踐，研究生階段的教學(xué)時(shí)間短，數(shù)學(xué)類課程不宜采用本科的教學(xué)模式，分多課程、多學(xué)期完成。因此，在研一階段開設(shè)矩陣分析與統(tǒng)計(jì)理論課程，綜合講授研究生階段所需數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，是一個(gè)有效的方式，但在有限的課時(shí)內(nèi)采用傳統(tǒng)的講授和課程作業(yè)等方式，顯然難以奏效，這就需要采取新的教學(xué)模式。

基于案例模式的教學(xué)方法已經(jīng)有大量的研究，在本科生專業(yè)課中得到廣泛運(yùn)用[1-3]，隨著研究生規(guī)模擴(kuò)大，在研究生的專業(yè)課程建設(shè)中也逐步采用了案例教學(xué)方法。基于研究生與本科生學(xué)校目標(biāo)的不同，文獻(xiàn)[4]和[5]探索了研究生教學(xué)中的一些問題和特點(diǎn)，文獻(xiàn)[6]和[7]則分別基于科研成果或科研問題探索了基于案例教學(xué)的運(yùn)用方式。但對(duì)于研究生數(shù)學(xué)學(xué)位課，其基礎(chǔ)性和理論性都很強(qiáng)，如何加強(qiáng)理論基礎(chǔ)的同時(shí)，采用案例教學(xué)模式，助力學(xué)生盡快走向?qū)嶋H科研，則是一個(gè)值得研究的新問題。

1 案例教學(xué)模式的內(nèi)容

1.1 案例驅(qū)動(dòng)教學(xué)模式的特點(diǎn)

本文根據(jù)理工科研究生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的特殊要求，改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，進(jìn)行教學(xué)新方法的探索和研究，本文采用的案例驅(qū)動(dòng)教學(xué)模式主要特點(diǎn)有：

（1）采用綜合性工程案例作為教學(xué)主要內(nèi)容。由工程項(xiàng)目的需求引導(dǎo)出相關(guān)知識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生在工程問題的求解中，加深對(duì)知識(shí)的理解，克服灌輸式教學(xué)方式的枯燥乏味，使教學(xué)效果更顯著。

（2）基于案例實(shí)踐的教學(xué)方式。將多個(gè)理論知識(shí)點(diǎn)貫穿在綜合的工程問題中進(jìn)行教學(xué)，不再以某個(gè)單一的理論知識(shí)點(diǎn)為單元進(jìn)行講授，讓知識(shí)以相互聯(lián)系的應(yīng)用方式呈現(xiàn)在學(xué)生面前，從而讓學(xué)生在解決問題的實(shí)踐過程中發(fā)現(xiàn)和掌握知識(shí)，提高教學(xué)效果。

（3）本模式將充分體現(xiàn)學(xué)以致用，用以促學(xué)的觀念，并加以實(shí)踐運(yùn)用。

1.2 案例驅(qū)動(dòng)教學(xué)的具體內(nèi)容

本模式通過當(dāng)今科技新領(lǐng)域的實(shí)用工程案例，選擇教學(xué)內(nèi)容和資源，并引導(dǎo)整個(gè)教學(xué)過程。

（1）探索研究生數(shù)學(xué)課工程案例驅(qū)動(dòng)的教學(xué)新方法。從理論上分析工程案例驅(qū)動(dòng)教學(xué)方法的可行性及存在的問題，研究如何在數(shù)學(xué)課中采用案例驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法，制訂工程案例驅(qū)動(dòng)教學(xué)的教學(xué)流程。

（2）研究綜合的、特色明顯的、能體現(xiàn)綜合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的工程案例，并建設(shè)相關(guān)案例資源。在目前熱門或領(lǐng)先的專業(yè)領(lǐng)域，抽取出能綜合體現(xiàn)若干數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的實(shí)際工程問題，構(gòu)建出求解整個(gè)工程問題的詳細(xì)過程，展示所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容及運(yùn)用方式。

（3）探索工程案例教學(xué)的實(shí)踐方法。根據(jù)工程案例驅(qū)動(dòng)教學(xué)方法，利用建設(shè)的案例資源，在實(shí)際教學(xué)中進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐、積累經(jīng)驗(yàn)、評(píng)估效果、總結(jié)效果，得出可供參考的結(jié)論。

（4）建設(shè)較為完整的案例驅(qū)動(dòng)教學(xué)教案、教學(xué)資源。

2 需要解決的若干問題

1）工程案例驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方式和方法。

案例驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法，將不再以單個(gè)知識(shí)點(diǎn)為單位逐一展開，而采用在各知識(shí)點(diǎn)的簡(jiǎn)單介紹之后，直接引入工程案例，在工程案例的解決過程中，探求所需要掌握的知識(shí)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生尋求和學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)，從而將所學(xué)知識(shí)和工程案例有機(jī)地融合起來，達(dá)到理論與實(shí)踐相結(jié)合的學(xué)習(xí)目的。這是一種全新的模式，學(xué)生的學(xué)習(xí)環(huán)境和方式與傳統(tǒng)方式很不一樣，教師如何進(jìn)行組織和引導(dǎo)，采用何種形式，如分組還是獨(dú)立完成學(xué)習(xí)和作業(yè)，都是需要研究和解決的問題。

2）理論知識(shí)點(diǎn)的概括與整理。

案例驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法，重點(diǎn)是如何概括和整理知識(shí)，選擇合適的案例進(jìn)行高效的教學(xué)。根據(jù)課程內(nèi)容要求和學(xué)時(shí)安排，如何將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分割、組織成案例，案例需要重點(diǎn)展示哪些知識(shí)點(diǎn)等，是設(shè)計(jì)一個(gè)好的案例必須考慮的問題。因此，在案例選擇之前必須充分概括和整理教學(xué)知識(shí)點(diǎn)。

3）典型工程案例選擇和建設(shè)。

案例驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法，重點(diǎn)是案例的選擇和建設(shè)。好的案例能兼顧工程應(yīng)用背景，同時(shí)能夠?qū)⒅R(shí)點(diǎn)綜合概括。確定工程案例選擇的一般方法和原則，選擇出典型的工程案例，是需要具體解決的重要問題。

4）工程案例驅(qū)動(dòng)教學(xué)的實(shí)踐過程與方法。

如何在教學(xué)實(shí)踐中具體實(shí)踐案例驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方式，以達(dá)到較好的教學(xué)效果，是實(shí)施案例驅(qū)動(dòng)教學(xué)需要解決的一個(gè)主要問題。方法和案例資源能否有效，重要的是在實(shí)踐中得到檢驗(yàn)。

3 教學(xué)內(nèi)容的組織——以矩陣分析與統(tǒng)計(jì)理論課程為例

我們以矩陣分析與統(tǒng)計(jì)理論課程為例，根據(jù)課程內(nèi)容，選擇大數(shù)據(jù)領(lǐng)域、網(wǎng)絡(luò)信息領(lǐng)域、機(jī)器視覺等領(lǐng)域的科研問題作為案例。

3.1 課程理論的精煉、提升與疏導(dǎo)

由于課程課時(shí)有限而內(nèi)容較多，應(yīng)在課本知識(shí)的基礎(chǔ)上，對(duì)課程結(jié)構(gòu)的組織思路進(jìn)行梳理，對(duì)主要理論內(nèi)容進(jìn)行提升和精煉，有選擇性地進(jìn)行教學(xué)，同時(shí)結(jié)合本領(lǐng)域科研發(fā)展方向的概念、算法等講授。案例教學(xué)法主要著眼于實(shí)踐，因此需在概念理解上進(jìn)行提升。

1）矩陣分析部分內(nèi)容的提升與疏導(dǎo)。

以矩陣分析中的線性空間內(nèi)容為例，可以將向量和線性空間的概念高度抽象；從本科高等數(shù)學(xué)中的“二維向量空間”概念推廣到一般“廣義的向量空間”概念，強(qiáng)調(diào)向量的高度抽象化的理解。指出向量不限于某種具體形式，可以是任何抽象的對(duì)象，如函數(shù)、自己定義任何對(duì)象等，而線性空間是滿足一定條件的向量集合等。

對(duì)于不好理解的概念，則采用理論到具體的方式舉例，加深理解，如空間、子空間、子空間的和、直和等概念，學(xué)生不好理解，在課堂上采用學(xué)生熟知的幾何直線、平面、超平面等具體化空間進(jìn)行子空間、和空間、直和、正交補(bǔ)等概念和運(yùn)算的講授，形象具體。

2）數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分內(nèi)容的提升與疏導(dǎo)。

以本部分的主要概念進(jìn)行梳理，強(qiáng)調(diào)統(tǒng)計(jì)理論的總體目標(biāo)是從樣本推斷出總體性質(zhì)這一基本點(diǎn)，同時(shí)對(duì)本科階段學(xué)習(xí)的隨機(jī)變量、參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等概念和理論進(jìn)行理解上的提升。

例如概率、隨機(jī)變量的概念可以從測(cè)度論的理論高度上進(jìn)行闡述，講述概率測(cè)度、概率空間等概念，而隨機(jī)變量實(shí)質(zhì)上則是某個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果空間上的一種映射等。

再如極大似然估計(jì)方法的實(shí)質(zhì)，在理論上可以重新定義和理解：設(shè)樣本為一多元隨機(jī)向量，則似然函數(shù)即為多元隨機(jī)向量的密度函數(shù)，樣本隨機(jī)向量在密度函數(shù)最大處即是極值上概率強(qiáng)度最大。用這種觀點(diǎn)進(jìn)行解釋和定義，不僅容易理解，更將學(xué)生引導(dǎo)到多元統(tǒng)計(jì)分析的思維方式，進(jìn)行了一種概念和理論的提升。另外，用隨機(jī)向量的概念來理解，既是矩陣分析知識(shí)的抽象和應(yīng)用，又加強(qiáng)了對(duì)日后科研工作中會(huì)遇到的一些數(shù)學(xué)概念的理解。

又如假設(shè)檢驗(yàn)的概念，重點(diǎn)講述假設(shè)檢驗(yàn)的實(shí)質(zhì)，即用機(jī)器學(xué)習(xí)中的分類觀點(diǎn)進(jìn)行解釋：對(duì)于假設(shè)檢驗(yàn)中的拒絕域概念，給出一個(gè)新視角：假設(shè)檢驗(yàn)→拒絕域→分類問題。這樣不僅能從理論高度重新認(rèn)識(shí)假設(shè)檢驗(yàn)問題的實(shí)質(zhì)，又能將知識(shí)點(diǎn)引入學(xué)生們感興趣的、目前熱門的機(jī)器學(xué)習(xí)等科研方向上來，從而加強(qiáng)案例教學(xué)模式的效果。

3.2 案例的選擇

案例的選擇一般應(yīng)緊密結(jié)合教材核心內(nèi)容和當(dāng)前最新科研方向，做到既能契合重點(diǎn)部分的內(nèi)容，同時(shí)兼顧教學(xué)前后的內(nèi)容。

如對(duì)線性空間、坐標(biāo)變換的內(nèi)容，可以選擇機(jī)器視覺中的應(yīng)用案例：工業(yè)相機(jī)的校準(zhǔn)問題。該問題可以通過這樣的概念轉(zhuǎn)換過程進(jìn)行引導(dǎo)：相機(jī)的成像原理→相機(jī)坐標(biāo)、世界坐標(biāo)→剛體變換、平移變換→仿射變換、透視變換→成像畸變、校準(zhǔn)算法等。

又如對(duì)內(nèi)積、距離等概念，可以從大數(shù)據(jù)中的特征選擇、特征向量、向量相似度等工程背景中去定義和選擇案例。在基向量的講授中，則可引入徑向基函數(shù)及其應(yīng)用的案例等。

再如對(duì)矩陣范數(shù)、矩陣微分內(nèi)容，則可以選擇目前廣泛關(guān)注的支持向量機(jī)、卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，優(yōu)化問題中的案例，從而引出梯度下降搜索算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程、常見二次型的優(yōu)化模型的求解等內(nèi)容。

在統(tǒng)計(jì)理論中，則可以選擇機(jī)器學(xué)習(xí)中最常用的一些算法和應(yīng)用作為案例：如多元回歸、邏輯回歸的具體應(yīng)用等，距離判別、聚類等的應(yīng)用；主成分分析在人臉識(shí)別中的應(yīng)用等案例。

4 教學(xué)過程和考核方式

4.1 教學(xué)過程

本模式教學(xué)過程和方法較為靈活，可以采用多種不同的方式、在不同的環(huán)境下教學(xué)。一般應(yīng)包括理論講授過程、課后作業(yè)過程、自學(xué)與討論過程、案例實(shí)踐過程等幾個(gè)環(huán)節(jié)，采用以下教學(xué)流程進(jìn)行：概述→概念講授→案例的數(shù)學(xué)模型→理論知識(shí)學(xué)習(xí)→知識(shí)應(yīng)用與實(shí)踐→文獻(xiàn)閱讀與創(chuàng)新。

（1）概述：講述理論內(nèi)容的知識(shí)背景，應(yīng)用領(lǐng)域和應(yīng)用方式，通過案例引出科技問題，并引導(dǎo)出所需本課程的概念、知識(shí)點(diǎn)。

（2）概念講授方式：通過類比的方式，重點(diǎn)闡述概念的理解，比如矩陣向量的范數(shù)、矩陣和向量的極限，可以類比到數(shù)的絕對(duì)值、數(shù)列的極限等概念，力求學(xué)生對(duì)概念有較深入的理解。

（3）案例的數(shù)學(xué)模型：通過知識(shí)的介紹，引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)提出的科研案例問題，利用數(shù)學(xué)理論建立數(shù)學(xué)模型。

（4）理論知識(shí)學(xué)習(xí)：針對(duì)提出的案例問題和確立的數(shù)學(xué)模型，選擇性學(xué)習(xí)課本知識(shí)；學(xué)習(xí)方法是，教師初步講解理論知識(shí)，重點(diǎn)鼓勵(lì)通過學(xué)生自學(xué)、討論、課后作業(yè)的方式完成定理的證明和例題的閱讀，節(jié)約有限的課堂時(shí)間。

（5）知識(shí)應(yīng)用與實(shí)踐：通過理論知識(shí)的學(xué)習(xí)，利用科學(xué)計(jì)算軟件求解出所建立的數(shù)學(xué)模型，這部分可通過課外或?qū)嵺`課完成；可以分成兩部分來實(shí)現(xiàn)，第一部分，要求學(xué)生在理論作業(yè)完成過程中充分學(xué)習(xí)和運(yùn)用Matlab 等科學(xué)計(jì)算軟件；第二部分，則要求學(xué)生在工程案例實(shí)踐中，對(duì)數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)算法，采用Matlab 等計(jì)算軟件進(jìn)行工程案例的實(shí)踐計(jì)算。

（6）文獻(xiàn)閱讀與創(chuàng)新：應(yīng)用所學(xué)概念，查閱相關(guān)的英文文獻(xiàn)，結(jié)合自己的研究方向，利用本課程的知識(shí)進(jìn)行文獻(xiàn)閱讀，指導(dǎo)學(xué)生建立科研問題的數(shù)學(xué)模型，并加以計(jì)算實(shí)踐。

4.2 考核過程

考核過程可以分為平時(shí)和期終兩個(gè)階段，平時(shí)以考勤、課堂討論、理論作業(yè)、案例實(shí)踐作為考核方式，期終考試則可以采用理論考試和文獻(xiàn)閱讀兩部分組成，既考查平時(shí)的學(xué)習(xí)情況，又考查學(xué)生理論學(xué)習(xí)和實(shí)際科研能力。

5 實(shí)施的效果

本教學(xué)模式在本院進(jìn)行的教學(xué)實(shí)踐中，初步達(dá)到了以下效果。

（1）學(xué)生對(duì)課程體系的認(rèn)識(shí)、課程的應(yīng)用上有較好的理解，認(rèn)識(shí)到該課程的重要性和實(shí)用性。

（2）學(xué)生的理論水平有所提高，在較高層次上來理解課程概念與內(nèi)容，有助于學(xué)生在文獻(xiàn)閱讀、新知識(shí)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用上，提高信心，提高分析和解決問題的能力。

（3）學(xué)生的目標(biāo)有所變化，不再是為做題而做題，而是以解決科研問題為目標(biāo)進(jìn)行學(xué)習(xí)，逐步實(shí)現(xiàn)科研實(shí)踐與理論學(xué)習(xí)相結(jié)合，如很多學(xué)生與教師交流時(shí)，討論的不再單純是課程知識(shí)，而是自身科研工作中具體問題。

（4）在講授過程中，逐步不再以課本為藍(lán)本，而是從教師的自身理解和科研體會(huì)中，對(duì)課程內(nèi)容進(jìn)行新的構(gòu)思，逐步完善基于案例驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法。

（5）設(shè)計(jì)了案例驅(qū)動(dòng)教學(xué)的課程標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)范的教學(xué)流程，逐步完成綜合矩陣分析、應(yīng)用統(tǒng)計(jì)課程的工程案例資源建設(shè)和教學(xué)課件的制作。

6 結(jié)語

針對(duì)計(jì)算機(jī)專業(yè)這類實(shí)踐性比較強(qiáng)的理工科專業(yè)，在數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)課中采用基于案例的教學(xué)模式，看似不務(wù)正業(yè)，實(shí)則能大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而改善教學(xué)效果。但是一種新的模式的教學(xué)，往往存在許多亟待解決的問題，如教材知識(shí)的提煉、實(shí)踐案例的選擇、教學(xué)方式和進(jìn)程的安排等，則需要更長時(shí)間的探索和研究。