基于球孔擴張理論的軟黏土中載體樁樁端擠密加固效應

周航，劉漢龍，丁選明，王繼忠

(1.重慶大學 土木工程學院；山地城鎮建設與新技術教育部重點實驗室，重慶 400045；2.北京波森特巖土工程有限公司，北京 102218)

載體樁是近年來發明并得到廣泛應用的一種新樁型，該技術通過夯擊能量以填料作為介質，擠密加固樁端周圍土體，形成樁端擴大載體，從而大大提高單樁豎向承載力[1]。

載體樁的施工工藝(如圖1)可以概括為：利用柱錘夯擊成孔；將護筒壓入地基；分批向孔內投入水泥砂拌合物填充料反復夯實擠密，并通過三擊貫入度進行密實度控制，當三擊貫入度滿足設計要求后,形成載體；根據需要可放置鋼筋籠；灌注混凝土或放置預應力管樁而形成樁體樁[1]。從載體樁施工工藝來看，載體樁具有以下優點：通過柱錘夯實填料和樁端土體，提高樁端周圍土體的密實度和強度；樁端由水泥砂拌合物、擠密土體、影響土體形成剛度漸變的復合載體，這種變剛度的設計方式，使得載體的剛度從上往下逐漸減小，從而更加有利于樁體將豎向荷載傳遞到深部地基土；綠色施工，不需要采用大量泥漿護壁，同時施工不出土，保護了建筑環境；采用三擊貫入度來控制載體施工質量，有利于保證載體能有效提供承載力[1]。

圖1 載體樁施工過程Fig.1 Construction process of carrier pile

載體樁技術的核心在于側限約束下的土體密實形成載體。該技術的研究對象是土體密實理論，也就是研究樁身端以下一定范圍內擠密土體和影響土體的物理力學性質的變化。在設計中合理考慮擠密效應至關重要，如果高估了擠密效應，將會給工程帶來安全隱患，反之，如果過低估計了載體的作用，將會造成工程造價大大提高。因此，如何從理論角度精確計算樁端擠密效應，成為制約載體樁推廣和發展的一個主要因素。目前，關于載體樁的研究主要停留在試驗階段，在理論方面的研究相對較少。王建安等[2]開展了載體樁在粉質黏土中的現場試驗研究，對比了普通灌注樁和載體樁復合地基的豎向承載特性，結果表明，載體樁復合地基造價經濟，同時能夠提高豎向承載力。于長杰[3]開展了軟黏土中載體樁沉降控制研究，對比分析了有樁帽和無樁帽載體樁復合地基的沉降控制效果。周斌[4]探討了載體樁復合地基在高速鐵路地基中對地基沉降變形控制的效果。羅浩[5]開展了載體樁復合地基在高速鐵路地基中的現場試驗以及施工工藝的研究。李建強等[6]開展了載體樁復合地基數值模擬研究，探討了荷載、褥墊層、樁長、樁徑、載體直徑等因素對載體樁復合地基承載特性的影響，然而，該研究并未考慮樁端擠密效應的影響。張培成等[7]開展了飽和軟土地基載體樁現場試驗研究，證明載體樁能夠完成大承載力的要求，并可以在地基中深部有相對硬層的場地中取代預應力管樁。仇凱斌等[8]開展了載體樁承載性狀的有限元分析，通過現場取樣和模型試驗確定夯擴擠密區范圍，利用線性插值確定擠密區土體的力學參數，獲得了能夠考慮擠密效應的載體樁承載特性，然而，該方法僅僅是從經驗性的角度來考慮擠密效應，并未提出一種較為嚴格和準確的理論分析方法。

擴孔理論作為巖土力學中一種簡單有效的力學模型[9-19]，廣泛用于解決巖土工程中如：圓錐貫入試驗、旁壓試驗、扁鏟側脹試驗、沉樁擠土效應、樁端承載力、隧道開挖、鉆井失穩、壓力注漿等問題。該模型數學求解接單，模型物理概念清楚，較為實用。筆者采用球孔擴張力學模型來模擬柱錘夯擴填料過程中的擠密效應，軟黏土采用修正劍橋模型的本構關系來模擬，建立球孔擴張偏微分控制方程組，通過相似變換的求解技術將偏微分方程轉化為常微分方程組，利用MATLAB中ODE45數值求解技術獲得常微分方程組的數值解。基于數值解，探討球孔擴張過程中孔周土體的擠密范圍和擠密區土體力學性質的變化，從理論角度揭示載體樁載體成形過程中的加固機理，為建立載體樁豎向承載力計算方法提供理論基礎。

1 載體樁載體擴孔成形力學模型

如圖2(a)所示，載體樁樁端夯擴填料的過程中，將會在端部形成一個類似球體的結構，該球體擠擴周圍的土體，從而在樁端附近形成一個擠密區。這個過程與球孔擴張理論模型較為相似，因此，采用如圖2(b)所示的球孔擴張理論模型來模擬夯擴填料擠土的過程。在夯擴前，球孔的初始半徑a0=0，隨著夯擴的加劇，球孔從0不斷擴張，最終擴張為半徑為a的一個球體。球孔擴張理論模型是無限大土體中的力學模型，而實際問題中擠土主要在樁端以下部分，因此，球孔擴張區域為圖 2(a)中樁端以下(虛線以下)部分。假定樁端的球體通過樁端左右兩個角點，球體的半徑為a，因此，該球體(虛線以下的部分，非完整球體)的體積可以表示為

(1)

式中：r0為樁體的半徑。

球體的體積Vs可以根據實際的填料體積來確定，因此，通過式(1)，可以確定球體擴張后的半徑a。式(1)是關于半徑a的隱函數，無法求得閉合解析解，因此，可以利用MATLAB計算出球體體積Vs和球體半徑的關系，為了方便，可以將式(1)進行歸一化，得到

(2)

(3)

圖3 載體樁球體半徑與體積的關系Fig.3 Relation between the radius of the sphere of carrier pile and the volume

如果已知填料的體積用量，便可以通過式(3)計算出載體擴大頭球體的半徑，從而利用圖2(b)所示的球孔擴張理論來計算擠密效應。

圖2(b)給出了球孔擴張理論模型，初始的球孔半徑為a0(對于本文問題a0=0)，位于無限大的土體中，在無窮遠處受到的初始均勻應力場應力為σh0。初始圓孔在均勻內壓σa的作用下擴張到半徑為a的圓孔。孔洞周圍的土體服從修正劍橋模型。隨著球孔內壓的不斷增大，孔周圍土體要發生屈服，孔洞附近土體進入塑性狀態，而離孔洞比較遠的地方土體處于彈性狀態，繼續擴張會使得孔周土體進入臨界狀態。這樣，在孔洞周圍會形成3塊區域：孔洞附近的臨界狀態區和塑性區以及遠離孔洞的彈性區。此外，推導解析解基于兩個基本假設：擴孔過程，孔周土體假定是完全排水的，因為在柱錘夯擴的過程中，土中的水要被排出，土體被擠密；土體彈性關系服從各向同性的胡克定律，塑性關系服從修正劍橋模型。

2 球孔擴張基本控制方程及求解

2.1 臨界狀態區和塑性區

1)平衡方程

根據Collins等[19]的研究，平均應力p′和偏應力q可以寫成

(4)

q=(σ′r-σ′θ)

(5)

式中：σ′r，σ′θ為球坐標下的徑向和環向有效應力分量。對于球孔擴張問題另外一個應力分量σ′φ=σ′θ。因此，采用應力分量p′和q表達的應力平衡方程可以寫成

(6)

式中:uw為土體的孔隙水壓。

2)本構方程

采用Collins等[19]的方法來定義兩個應變分量

εp=εr+2εθ

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：ur為土體的徑向位移；r為土顆粒的徑向坐標。

(11)

土顆粒的徑向和環向應變量可以表示為

(12)

(13)

將式(12)和式(13)帶入到式(7)和式(8)中，可以得到

(14)

(15)

進一步地，彈性本構關系可以寫成

(16)

根據Wood[20]的研究，劍橋模型彈塑性的本構關系為

將式(17)中的兩個應變分量采用式(14)和式(15)中的表達式代替，可以得到

(18)

(19)

其中：

(20)

(21)

Bp=Aq

(22)

(23)

3)一致性條件

此外，屈服面需要滿足如下的一致性條件

(24)

f=q2-[M2p′(p′c-p′)]

(25)

(26)

(27)

(28)

其中：pc′表示卡各向同性壓縮下的屈服壓力。

4)連續性條件

在球孔擴張過程中，土體需要滿足質量守恒條件

(29)

其中：υ為體積比。

5)排水條件

由于采用了完全排水的條件，也即在擴孔過程中土體孔隙水壓保持不變，因此有

(30)

上面5個條件即構成了球孔擴張的控制方程組，采用相似變換技術求解該方程組。采用如下變換方式

(31)

(32)

式中：c為彈塑性邊界的擴張速度；t為時間。將上述兩個變換方程帶入到前面5個條件構成的方程組中，可以得到方程組

(33)

為了求解方程式(33)，需要給出初始條件和邊界條件，可以利用孔洞和彈塑性邊界處的信息來確定。

在彈塑性邊界處

η=1

(34)

(35)

(36)

(37)

υ(η=1)=υ0

(38)

(39)

(40)

在孔口處

(41)

結合控制方程和上述邊界條件編寫Matlab微分方程組數值求解程序，可以獲得臨界狀態區和塑性區的半解析解。

2.2 彈性區

在彈性區，本構關系服從胡克定律，因此有

(42)

(43)

同時，在彈性區域，應力需要滿足平衡方程，將平衡方程寫成關于σr和σθ的形式

(44)

將式(42)和式(43)代入式(44)，可以得到

(45)

采用如下的變換

(46)

式(45)可以簡化為常微分方程

(47)

式(47)存在閉合解析解

(48)

式中：A和B為常數，當η→時，必須衰減為0，因此，常數B必須為0。式(48)可以簡化為

(49)

此外

(50)

因此，球坐標下的應力分量便可以通過式(42)和式(43)獲得

(51)

(52)

(53)

式中：η≥1。

3 球孔擴張引起的土體擠密效應討論

載體樁夯擴過程中土體被擠密，土體的強度和剪切模量會發生變化。根據修正劍橋模型，土體的強度和剪切模量可以表示為

(54)

G=[3(1-2v′)υp′]/[2(1+v′)κ]

(55)

對于排水孔擴張問題，土體的體積比υ=1+e隨著擴孔的過程發生變化，此外，土體的平均有效應力p′也發生變化，這兩個參數的變化導致了土體強度和剪切模量的變化。而在擴孔過程中，其余的本構參數κ、λ、M、ν′、R可以認為保持一個常量，不發生變化。因此，可以定義

(56)

(57)

式中：δ表示球孔擴張后土體強度和初始土體強度之比；su0表示土體的初始強度；?表示球孔擴張后土體剪切模量和初始土體剪切模量之比；G0表示土體的初始剪切模量。

4 參數分析

圖4和圖5分別給出了不同M條件下球孔擴張后孔周土體強度和剪切模量變化系數隨著孔周徑向距離的變化規律。M的取值范圍從0.5到2，其余參數如圖4、圖5所示。可以看出，隨著M的不斷增大，孔周附近(r/a<2)的土體強度和剪切模量系數不斷增加，擠密效應不斷增強。然而，當徑向距離r/a> 2時，隨著M的不斷增大，土體強度和剛度系數不斷減小，擠密效應不斷減弱。在2 1時，土體的強度和剪切模量系數隨著徑向距離的增加，出現先減小后增加的現象。

圖4 不同M條件下強度變化系數隨著徑向距離的變化Fig.4 Variation of strength coefficient with the radial distance for different M

圖5 不同M條件下剪切模量變化系數隨著徑向距離的變化Fig.5 Variation of shear modulus coefficient with the radial distance for different M

圖6和圖7分別給出了不同超固結比R條件下球孔擴張后孔周土體強度和剪切模量變化系數隨著孔周徑向距離的變化規律。R的取值范圍從1到10，涵蓋了正常固結土，輕微超固結土和重度超固結土，其余參數如圖6、圖7所示。可以看出，隨著R的不斷增大，孔周的土體強度和剪切模量系數不斷增加，擠密效應不斷增強，而且在M取值為1的條件下，孔周土體的強度和剪切模量沒有出現軟化的現象。對于重度超固結土，球孔擴張后土體強度可以提高7倍左右，剪切模量可以提高6.5倍左右。此外，土體超固結比R較大時，土體強度和剪切模量系數隨著徑向距離的變化率會出現先減小，再增加的轉折現象。而對于正常固結土或輕微超固結土，變化率隨著徑向距離的增加基本逐漸減小。

圖6 不同R條件下強度變化系數隨著徑向距離的變化Fig.6 Variation of strength coefficient with the radial distance for different R

圖7 不同R條件下剪切模量變化系數隨著徑向距離的變化Fig.7 Variation of shear modulus coefficient with the radial distance for different R

圖8和圖9給出了不同λ條件下強度和剛度變化系數隨著徑向距離的變化規律。λ的取值范圍從0.05到0.25，反映了土體不同的可壓縮特性。可以發現，隨著λ的不斷增加，孔周的土體強度和剪切模量系數不斷減小，擠密效應不斷減弱。說明土體可壓縮性越小，土體強度和剛度的提高就越大。此外，不同λ條件下，球孔擴張后土體的強度和剪切模量也并未出現軟化現象。

圖8 不同λ條件下強度變化系數隨著徑向距離的變化Fig.8 Variation of strength coefficient with the radial distance for different λ

圖9 不同λ條件下剪切模量變化系數隨著徑向距離的變化Fig.9 Variation of shear modulus coefficient with the radial distance for different λ

圖10和圖11給出了不同κ條件下強度和剛度變化系數隨著徑向距離的變化規律。κ的取值范圍從0.01到0.05，反映了土體不同的回彈特性。可以發現，隨著κ的不斷增加，孔周的土體強度和剪切模量系數輕微增加，說明參數κ對孔周的土體強度和剪切模量系數的影響很小。另外，在3

圖12和圖13給出了不同泊松比ν′條件下強度和剛度變化系數隨著徑向距離的變化規律。泊松比ν′的取值范圍從0.15到0.49。可以看出，泊松比ν′對孔周的土體強度和剪切模量系數的影響也很小，隨著泊松比ν′的增加，土體強度和剪切模量系數只是略微減小。在3

圖10 不同κ條件下強度變化系數隨著徑向距離的變化Fig.10 Variation of strength coefficient with the radial distance for different κ

圖11 不同κ條件下剪切模量變化系數隨著徑向距離的變化Fig.11 Variation of shear modulus coefficient with the radial distance for different κ

圖12 不同ν′條件下強度變化系數隨著徑向距離的變化Fig.12 Variation of strength coefficient with the radialdistance for different v′

圖14給出了不同本構參數條件下擠密擾動區半徑大小的變化規律。可以看出，隨著參數M從0.5增加到2，擠密擾動區的半徑從5倍的球孔半徑減小到4.2倍的球孔半徑。對于超固結比R，當土體屬于正常固結土(R=1)或者輕微超固結土(R<1.5)時，擠密區的半徑隨著超固結比的不斷增加，迅速減小；當超固結比1.50.4時，擠密區的半徑急劇減小。

圖13 不同v′條件下剪切模量變化系數隨著徑向距離的變化Fig.13 Variation of shear modulus coefficient with the radial distance for different v′

圖14 擠密區半徑隨著不同參數的變化規律Fig.14 Variation of the radius of the compaction zone with different parameters

5 結論

探討了軟黏土中載體樁樁端擠密效應，建立了基于球孔擴張的載體樁樁端夯擴擠密力學模型，分析了樁端擠密效應，可以得到如下的結論：

1)給出了載體樁樁端夯擴填料體積用量與球孔擴張理論模型中球孔半徑關系的閉合解析表達式。

2)利用相似變換技術求解球孔擴張偏微分控制方程，獲得了修正劍橋模型中球孔擴張力學響應的數值解。

3)采用球孔擴張前后土體強度比和剪切模量比兩個物理力學指標來定量分析載體樁樁端夯擴擠密后土體力學性質變化，獲得了土體強度比和剪切模量比隨著土體參數的變化規律。采用塑性區半徑來分析擠密擾動區的大小，獲得了擠密擾動區的大小隨著土體參數的變化關系。

4)提出了考慮載體樁樁端擠密效應的理論計算方法，該方法可以較為準確地計算載體樁夯擴過程中周圍土體強度和剪切模量的變化以及擠密擾動區的大小，可為建立考慮載體樁樁端擠密效應的承載力計算方法提供理論基礎。