形狀記憶合金數值模型的不確定性分析

李金朋，陳城，侯和濤

(1.山東大學 a.土建與水利學院；b.山東省綠色建筑智能建造工程技術研究中心;c.山東省工業技術研究院 工業化建筑智能建造協同創新中心，濟南 250061;2.舊金山州立大學 工程學院，舊金山 94132)

筆者提出對模型參數進行概率建模的方法，基于SMA棒材的實驗數據，采用改進的Graesser和Cozzarelli模型與MCMC算法的組合來分析模型本身固有的不確定性，將模型參數視為隨機變量，采用Metropolis-Hastings算法來生成樣本參數集，揭示了參數的概率特性和參數之間的潛在相關性，并從模型參數的角度研究了SMA模型中固有的不確定性及其對材料能量耗散能力預測值的影響。

1 SMA的數值模型與材性試驗

1.1 改進的Graesser & Cozzarelli 模型

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式中：σ為一維應力；β為一維背應力；ε為一維的應變；E為材料的彈性模量；Y為材料的屈服應力；參數n控制SMA由彈性階段向塑性階段過渡時滯回曲線的“尖銳”程度，取值范圍設計為任意正奇數；參數α控制塑性階段滯回曲線斜率，由α=Ey/(E-Ey)得到，其中Ey為屈服后的彈性模量；fT是控制滯回曲線類型和大小的參數，當fT=0時，模型代表純馬氏體狀態下的SMA，當fT>0時，模型可模擬SMA的“超彈性”行為；a是控制卸載過程中材料彈性恢復量的參數；c是控制卸載過程中應力平臺段斜率的參數；(·)表示對時間的一階導數；u(x)和erf(x)分別為單位階躍函數和誤差函數，數學表達式為

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但是，該模型無法模擬SMA由奧氏體相向馬氏體相轉化完成后出現的“硬化”現象，即材料的彈性模量突然增大，稱為SMA的馬氏體硬化特性。為了描述這一特性，Qian等[10]提出了改進的Graesser & Cozzarelli模型，其數學表達式為

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改進后，相較于式(1)，式(4)中參數n的取值范圍變為任意正實數，更方便該參數的不確定性分析。另外，新引入的fM和m為控制馬氏體硬化階段曲線的參數；εMf為SMA轉化為全馬氏體時的應變；sgn(x)為符號函數，數學表達式為

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相較于式(2)，式(5)添加了描述馬氏體硬化的表達式。在SMA進入馬氏體硬化階段前，這部分值為0，此時式(5)與式(2)完全相同。

1.2 SMA棒材的循環拉伸試驗

表1 SMA試件原材料的化學成分Table 1 Chemical composition of the testing SMA bar

圖1 SMA循環拉伸試驗Fig.1 Cyclic tests of SMA bar

將熱處理后的試件進行循環拉伸試驗，其加載制度如圖2(a)所示。圖2(b)為循環拉伸試驗得到的滯回曲線，其數據用于后續的不確定性分析。在進行不確定性分析之前，基于峰值應變為0.08的兩條滯回曲線，采用PSO方法得到使模型具備良好擬合效果的參數值作為初始參數組，有助于提高馬爾可夫鏈蒙特卡洛(MCMC)模擬時馬爾可夫鏈的收斂速度。由PSO方法得到的初始參數具體數值如表2所示。從圖2(b)可以看到，PSO優化方法得到的參數雖然使得模型具有良好的擬合效果，但模擬結果與試驗數據仍舊存在偏差，因此，有必要研究模型中存在的固有不確定性。

圖2 加載制度和試驗及優化模型模擬結果示意圖Fig.2 Loading protocol and comparison between experiment results and PSO methods

表2 基于循環拉伸試驗數據的PSO優化參數值Table 2 Model parameter values from cyclic tests of SMA bars using PSO method

2 MCMC不確定性分析

2.1 MCMC方法

2.1.1 DRAM方法 采用MCMC方法中兩個重要方法的結合，即延遲拒絕法(DR法，Delaying Rejection)和自適應采樣(AM法，Adaptive Metropolis Samplers)，簡稱為DRAM方法[13-14]。DR法通過適當調整標準Metropolis-Hastings(MH)算法中馬爾可夫鏈每一步中的提議分布來提高MCMC算子的效率。AM法則是基于馬爾可夫鏈的歷史來調整提議分布。當提議分布的方差非常小時，標準MH算法傾向于以小步長“遍歷”目標分布，而無法有效地探索狀態空間，且樣本點分布偏移樣本空間中心，產生偏差。Haario等[14]的研究證明了AM方法能夠解決“探索范圍未覆蓋整個樣本空間”的問題，DR方法能夠解決“樣本集中位置偏移樣本空間中心”的問題，而DR和AM的組合，即DRAM方法可以同時解決這兩個問題。

2.1.2 似然函數 似然函數定義為給定的一組參數值下，模型模擬結果與實驗數據一致的概率，也可以將其視為模型預測和實驗測量之間的誤差概率。ss函數是似然函數的一部分，用于描述歸一化后的誤差[15]。似然函數及ss函數公式為

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式中：Lj為第j步的似然函數值；ssj為第j步的歸一化誤差值；n為實驗數據的數據點個數；σ2為設定的容許誤差，用以限制ss的大小；F*(ti)為在時間點ti的實驗測量結果；fj(ti)為第j步時在時間點ti的模型輸出結果。

DRAM模擬方法的具體流程如圖3所示，采用MATLAB編程并模擬。模擬次數(Nsimu)設置為2×106次，為了研究合理范圍內的不確定性，容許誤差σ2設為0.022。

圖3 DRAM模擬方法的流程示意圖Fig.3 Flow chart of simulation process

2.1.3 參數的先驗概率 在模擬開始之前，首先要建立參數的先驗概率，包括參數的范圍及其在該范圍內的分布。研究表明，先驗分布并不是MCMC模擬得到參數所收斂的后驗分布的決定性因素，而是影響收斂速度的關鍵因素[16]。因此，模擬中僅根據數學或物理要求對參數的范圍進行合理規定，不指定其分布方式。參數的先驗概率設置如表3所示。

表3 參數的先驗概率設置Table 3 Prior of model parameters

2.2 MCMC分析結果

2.2.1 模型參數 基于峰值應變為8%的加載循環試驗數據得到的參數不確定性分析結果如表4、圖4所示。表4列出了10個參數的概率特性，包括均值、方差和偏度。圖4為所有參數的頻率分布直方圖，圖4中大多數參數的頻率分布呈現出單峰結構，表明對參數采樣的馬爾可夫鏈收斂服從該參數

表4 參數分布的均值、標準差和偏度Table 4 Moments of model parameters

圖4 參數頻率分布直方圖Fig.4 Histogram of model parameters

的后驗概率分布。圖4顯示，除了參數E、參數Y和參數εMf外，其余參數后驗分布的均值均大于PSO優化方法得到的初始參數值。這意味著PSO的優化結果是否最優有待商榷，原因可能在于其算法中粒子游走出現某一方向的偏差而錯失最優路徑。此外，絕大部分參數的分布峰值位置與初始值基本吻合，表明優化方法得到的參數值通常具有普遍性；然而，參數c的分布中，峰值出現的位置距離初始值有較大偏差，表明PSO優化方案應用在SMA模型中可能具有片面性以及偏差性，即優化方法提供的參數值可能并不是該參數最普遍采用的值。這表明SMA具有本身固有的不確定性，利用MCMC方法研究SMA不確定性是必要的。

圖5顯示了參數α、εMf、m和fM之間的成對相關性。兩個參數的相關性越強，則對應橢圓的離心率越大；橢圓長軸方向為左下至右上時表示參數之間存在正相關關系，反之呈負相關關系。由圖5可見，參數m和α、a和c、m和fM兩兩之間存在較強正相關性；fT和α之間存在較強負相關性；fT和a、c和fM等之間不存在線性相關性或相關性較弱。參數之間的相關性可以為數學模型的研究提供參考。

圖5 參數相關性示意圖Fig.5 Correlation between the simulated parameters

2.2.2 能量耗散 為了更好地說明不確定性研究的必要性，研究通過模型參數的概率分布建立材料耗能能力的概率特征，其概率密度示意圖如圖6(a)所示。與實驗數據得到的結果相比，在累積概率密度為15%時，材料的能量耗散能力相對誤差高達20%；累積概率密度為85%時，相對誤差為10%。圖6(b)顯示了對應能量耗散的累積概率密度值分別為0.15、0.5、0.64和0.85時模型的擬合效果。結果顯示，此時模型具有非常好的擬合效果，但沒有PSO優化結果好。這表明更新模型參數不會消除或補償模型模擬的偏差，但會將偏差控制在可接受的范圍內。

圖6 基于能量耗散能力預測的不確定性分析結果示意圖Fig.6 The results based on the energy dissipation analysis

能量耗散通常通過等效粘性阻尼(EVD)ξeq來衡量，ξeq是一個與尺寸無關的指數，表示為

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式中：WD為每個加載周期SMA的能量耗散值；WE為相應線性系統的應變能。EVD在很大程度上取決于滯回環的形狀，較大的滯回環會得到較大的EVD值，滯回曲線越飽滿，EVD值越大。由圖7可知，隨著峰值應變的增加，EVD略微增加，當峰值應變達到8%時，EVD略有下降。這表明當加載峰值應變達到近6%時，材料達到其最佳能量耗散能力。這一結論對基于SMA的地震控制裝置的設計具有借鑒意義。

圖7 基于不同應變峰值的EVD不確定性分析結果示意圖Fig.7 Uncertainty analysis of EVD for different peak-strain

3 結論

1)基于形狀記憶合金棒材循環拉伸試驗數據的DRAM算法采樣得到的馬爾可夫鏈體現出模型參數的概率特性。樣本的分布特征(均值、方差等)體現出優化方法可能存在偏差，部分參數之間存在線性相關性，在進行數值模型研究時應予以重視。

2)數值模型的不確定性也體現在模型的耗能預測上，在累積概率密度為15%時，材料的能量耗散能力相對誤差高達20%；累積概率密度為85%時，相對誤差為10%。加載應變峰值對材料的耗能性能有明顯影響，等效粘滯阻尼分布顯示，加載峰值應變為6%時，材料耗能性能較其他對比組更好。