基于薛定諤方程的光纖傳輸過程

于 澗, 劉 玲, 連俊芳

(1.沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034; 2.北華航天工業學院 文理學院, 河北 廊坊 065000; 3.懷仁十一中, 山西 懷仁 038399)

0 引 言

非線性偏微分方程[1]作為數學模型在很多領域中都起著重要作用。作為描述波包在非線性介質中傳播的方程-非線性薛定諤方程,在非線性物理方程學中具有重要地位。光纖幾乎都是非均勻的,在實際應用中其損耗一般是不能達到理想化的,于是采用非線性薛定諤方程[2]描述其對應的傳輸過程。上述方程已具有其對應解法,如相似變換法[3]、Hirota方法[4]等。又因為光脈沖傳播較為復雜,且長距離傳播和其他客觀原因所引起的損耗是不能忽視的, 于是建立變系數耦合非線性薛定諤方程[5]模型。高維耦合非線性薛定諤方程[6-9]的解可以解釋相對較豐富的物理現象。所以將(1+1)-變系數耦合非線性薛定諤方程拓展到(2+1)-維變系數耦合非線性方程。

1 孤子解

應用(2+1)-維變系數耦合非線性薛定諤系統描述帶有偏振效應的二維漸變折射率非線性波導放大器內一束光的傳輸過程:

構造變換:

這里的g和h是關于x,y,t的復函數,f是實函數。

其中Dx,Dy和Dz是雙線性算子,f(x,y,t)是變量x,y與t的可微函數。

當μ(t)=β(t)γ2(t)-γ′(t),令χ(t)=aβ(t),a為常數,方程(3)和方程(4)的雙線性形式如下所示:

基于式(5)和式(6),方程組(1)和方程組(2)的孤子解可由以下展開式得到:

式中:ε是參量;gi和hi(i=1,3,5,…)是x,y和t的復函數;fj(j=2,4,6,…)是x,y和t的實函數。把式(7)和式(8)代入雙線性形式(5)和式(6)中,令ε的同冪次項系數為零,當N=1時,式(5)和式(6)可截斷至

g=εg1=εAeθ,h=εh1=εBeθ,f=1+ε2f2=1+ε2Ceθ+θ*,

可以得到

當N=1時,取ε=1,從而可得(2+1)-維變系數耦合非線性薛定諤方程(1)和方程(2)的單孤子解為

2 孤子的傳輸特性

2.1 畸形波

根據(2+1)-維變系數耦合非線性薛定諤方程(1)和方程(2)的解(12)、(13),選取如下所示參量得到畸形波[14-15]解。

圖1 畸形波解u1的演化圖像(y=0;x=0)

2.2 單孤子的傳輸特性

圖2顯示了當k1=1,k2=2,A=B=1且β(t)=χ(t)=1時γ(t)=0,即衍射效應和非線性效應都為常數,增益(損耗)系數為零,在x-t,y-t平面上單孤子以亮孤子的形式傳輸,且方向、寬度和振幅均保持不變,孤子可以穩定的傳輸信息。

圖2 單孤子解u1的演化圖像(y=0;x=0)

3 總結與展望

基于一類薛定諤方程的孤子解和畸形波解定量分析傳輸特性和衍射效應等因素在光束傳輸過程中對光纖傳輸的影響,并列舉了不同參數下畸形波解和孤子解的演化過程。根據上述對比,結合實際需求可選取合適的參數使損耗降到最小。