錯中尋因 變廢為寶

文 周連官

在“數據的集中趨勢和離散程度”這一章，我們學習了平均數、中位數、眾數、極差、方差的概念，利用好它們可以幫助我們更加有效地認識、利用數據。但在實際應用中，同學們會產生各種錯誤。對待這些錯誤，我們要分析原因，有效糾正，變廢為寶，提升能力。

易錯點1：基本概念掌握不到位

例1小紅連續5天的體溫數據如下（單位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3。關于這組數據，下列說法正確的是（ ）。

A.中位數是36.5℃

B.眾數是36.2℃

C.平均數是36.4℃

D.極差是0.3℃

【錯解】A、C、D。

【錯解原因】錯選A是對中位數的概念理解不到位，沒有把數據按要求重新排列，誤認為最中間的數就是中位數；錯選C 是計算出錯，這組數據的平均數=36.36；錯選D 是對極差的概念理解不到位，誤認為是第1個數據減去最后一個數據。

【分析】把這組數據按由小到大的順序排列：36.2，36.2，36.3，36.5，36.6，它的中位數是36.3。由于眾數是一組數據中出現次數最多的數，由此可看出這組數據中的眾數是36.2。極差是一組數據中最大值與最小值的差（極差=最大值-最小值）。根據極差的意義，這組數據中的極差=36.6-36.2=0.4。因此本題選B。

【點評】解決此類問題的關鍵在于正確理解知識點的本質，在平時的學習過程中，經歷知識的發生、發展過程，明白其前世、今生及未來，切實掌握每一個知識點的來龍去脈，才能確保靈活運用零失誤。

易錯點2：審題走馬觀花

例2 甲、乙、丙、丁4支儀仗隊隊員身高的平均數及方差如下表所示：

方差0.9 1.6 1.1 0.6甲乙丙丁平均數（cm）177 178 178 179

身高更為整齊的儀仗隊是（ ）。

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

【錯解】C。

【錯解原因】錯解的想法是：由于甲、乙、丙、丁4 支儀仗隊隊員身高的平均數是178，而乙、丙2 支儀仗隊隊員身高的平均數正好是178，所以在乙、丙2支儀仗隊中比較方差，方差小，身高更整齊。由于丙儀仗隊的方差小于乙儀仗隊的方差，所以丙儀仗隊的身高更整齊。

【分析】錯解的根源在于讀題不夠細心，細讀后我們能發現：題目的問題是哪支儀仗隊的身高更為整齊。平均數反映一組數據的集中趨勢；方差描述一組數據的離散程度，用來衡量這組數據的波動大小。根據題目的問題，關注的重點應該是方差，方差越小，儀仗隊的身高越整齊。4 支儀仗隊中，丁儀仗隊的方差最小，所以丁儀仗隊身高更整齊。

【點評】解題首先得審題。本題考查的是一組數據的離散程度，而不是數據的集中趨勢，我們不能憑自己的解題經驗匆忙作答，否則會忙中出錯，快卻不準。

易錯點3：忽視實際問題的背景

例3 某校為選拔一名百米賽跑運動員參加市中學生運動會并沖擊冠軍，積極組織訓練和6 次預選賽，其中甲、乙兩名運動員較為突出，他們在6 次預選賽中的成績（單位：s）記錄如下表所示：

12.3________________________12.1_________________________12.1 12.0_________________________11.8_________________________11.7__預選賽第一次_____第二次_____第三次______第四次_____第五次______第六次_____甲________乙____12.0 12.0______________12.2______________11.8 12.1______________11.9______________

學校決定依據他們的成績進行選拔，那么被選中的運動員是_______。

【錯解】甲。

【錯解原因】錯解是這樣想的：

【分析】在平均成績相同的情況下，把方差小作為評判成績好的標準，看似無懈可擊，其實是對方差概念的誤解。方差是反映一組數據波動大小、偏離平均數趨勢的一個特征數，至于波動大好還是波動小好，還要看這組數據所反映的實際問題，如預測未來幾年我國的經濟形勢，是希望波動小、每年基本持平，還是希望每年保持較高的增長率，答案是顯而易見的。本題是選拔優秀運動員參加比賽，希望能獲獎，因此平均數、方差都要參考，但更重要的還是看他的發展潛力、比賽時的競技狀態。我們從6 次預選賽中的成績記錄看，甲的成績在12 秒上下波動，基本上穩定；但乙的成績卻在穩步提升，一次比一次好，極具發展潛力，而且最好的成績也超過甲的最好成績，因此應該選拔乙運動員去參賽。

【點評】解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，特別是遇到實際問題時要考慮實際問題的意義。