課本題 變式題 中考題

文 姚雅萍

近幾年的各地中考試題，選材貼近生活，背景越來越新，而且考題都立足教材例題、習題。下面我們從一道教材的習題出發，逐步走進2020年中考題。

【課本原題】（蘇科版數學教材九年級上冊第123 頁習題第3 題）要從甲、乙兩名運動員中選出一名參加校際100 米比賽，對這兩名運動員進行了10次測試，成績如下（單位：s）。

______________________12.9 12.8______________________12.8________________________12.9________________________13.0______________________12.9______________________12.9______________________13.1______________________12.9______________________12.8________________________甲 乙______12.8_____________________12.9 12.9_____________________12.7______________________13.2______________________13.1_____________________12.8_____________________13.0_____________________12.7_____________________12.9_____________________

根據測試成績，你認為選派哪一名運動員參賽更好些？為什么？

【解題思路】

我推薦乙參加校際100 米比賽，理由如下：兩人100 米比賽10 次測試的平均成績相等，說明甲、乙兩人實力相當；但乙的10 次測試成績的方差比甲小，說明乙發揮較為穩定，所以我推薦乙參加比賽。

【點評】本題根據提供的成績，計算甲、乙兩名運動員的平均成績和方差后作出選擇。方差的大小能反映一組數據的波動大小，一般而言，一組數據的方差越小，這組數據就越穩定，因此本題可以用樣本方差的大小來衡量甲、乙兩名選手百米比賽成績的穩定性，從而決定選誰參賽。當然也可以從其他方面考量，如：我推薦甲參加校際100 米比賽，理由是兩人100 米比賽10 次測試的平均成績相等，說明甲、乙兩人實力相當；但甲10次測試中有兩次成績是12.7 秒，而乙的最好成績是12.8秒，這說明甲更具有黑馬潛質，如果狀態好，發揮好，能沖擊更好的名次（如破紀錄），所以我推薦甲參加比賽。

【小結】本題考查平均數、方差的計算和理解。方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定。

【變式題】某校要從甲、乙兩名跳遠運動員中挑選一人參加一項校際比賽。在最近的10次選拔賽中，這兩個人的跳遠成績（單位：cm）如圖所示：

根據圖中信息，解答下列問題：

（1）分別求甲、乙兩名運動員成績的極差；

（2）求甲運動員成績的中位數、眾數；

（3）這兩名運動員的成績各有什么特點？

【分析】從折線統計圖中直接獲取甲、乙兩名運動員成績（單位：cm）。

_________________________613 618_________________________580_________________________574_________________________618_________________________593 585_________________________590_________________________598_________________________624________________________甲 乙______588_____________________597 608_____________________600______________________597_____________________610_____________________604 600_____________________614_____________________600______________________

（1）求極差的方法是用一組數據中的最大值減去最小值；

（2）根據中位數、眾數的概念即可求出；

（3）答案不唯一，符合題意即可。

解：（1）甲、乙兩名運動員成績的極差分別為26cm、50cm。

（2）將這組數據按從小到大排列，由于有 10 個數，第 5、6 位都是 600，則中位數為600；因為600 出現的次數最多，則該組數據的眾數為600。

（3）答案不唯一，如：甲的成績比較穩定，波動小；乙的成績不穩定，波動較大。

【點評】此題從折線統計圖中不但可以得到甲、乙兩名運動員最近10次選拔賽的跳遠成績，而且可以看出訓練對各人的影響效果。分析時我們要從平均數、中位數、眾數、極差等多方面綜合分析。

【中考題一】（2020·湖北黃岡）甲、乙、丙、丁四位同學五次數學測驗成績統計如下表所示，如果從這四位同學中，選出一位同學參加數學競賽，那么應選（ ）去。

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

_____________________________方差___________________________50__________________________42__________________________50__________________________42甲________乙________丙________丁平均分____________85______________90______________90______________85______________

【解題思路】本題由表格提供信息，考查數據的集中程度和波動大小。從表格數據可以看出：乙、丙兩名同學的平均成績高于甲、丁兩名同學的平均成績，且乙同學的方差又小于丙同學的方差，說明乙同學的成績好且穩定，因此選乙同學去參加數學競賽。故選B。

【中考題二】（2020·湖北咸寧）如圖是甲、乙兩名射擊運動員某節訓練課的5 次射擊成績的折線統計圖，下列判斷正確的是（ ）。

A.乙的最好成績比甲高

B.乙的成績的平均數比甲小

C.乙的成績的中位數比甲小

D.乙的成績比甲穩定

【解題思路】本題從折線圖中獲取數據信息，考查平均數、中位數、方差。甲運動員的成績為6、7、10、8、9，乙運動員的成績為8、9、8、7、8。甲的最好成績為10環，乙的最好成績為9 環，A 選項錯誤；甲的成績平均數為（6+7+10+8+9）÷5=8，乙的成績的平均數為（8+9+8+7+8）÷5=8，成績的平均數相等，故B選項錯誤；甲的成績的中位數為8，乙的成績的中位數為8，也是一樣，故C 選項錯誤；甲的成績的方差乙的成績的方差所以乙的成績比甲穩定，D選項正確。

【中考題三】（2020·浙江溫州）A、B 兩家酒店規模相當，去年下半年的月盈利折線統計圖如圖所示。

（1）要評價這兩家酒店7—12 月的月盈利的平均水平，你選擇什么統計量？求出這個統計量。

（2）已知A、B 兩家酒店7—12 月的月盈利的方差分別為1.073（平方萬元）、0.54（平方萬元）。根據所給的方差和你在（1）中所求的統計量，結合折線統計圖，你認為去年下半年哪家酒店經營狀況較好？請簡述理由。

A、B兩酒店7—12月盈利折線統計圖

【分析】首先從折線統計圖中直接獲取兩家酒店7—12月的月盈利情況。（1）要評價兩家酒店月盈利的平均水平，選取兩家酒店月盈利的平均值，用求平均數的方法求解即可求得答案；（2）盈利的方差反映酒店的經營業績，A 酒店的經營狀況較好。

【解題思路】（1）選擇兩家酒店月盈利的平均數。

（2）我認為去年下半年A 酒店經營狀況較好。理由：A 酒店盈利的方差為1.073，B 酒店盈利的方差為0.54，雖然從方差的大小來看，A 酒店盈利不穩定，但A 酒店盈利的平均數為2.5，B 酒店盈利的平均數為2.3。A酒店總盈利高于B酒店總盈利；而且從折線統計圖中兩家酒店的盈利走勢來看，A 酒店的盈利越來越高，發展趨勢良好。因此A酒店的經營狀況較好。