采用混合算法優化的四桿機構動力學穩定性研究*

郭永鳳

（陜西國防工業職業技術學院 西安 710300）

1 引言

四桿機構能夠實現轉動、擺動和空間復雜運動［1］。具有以下優點：1）結構簡單；2）承載能力強；3）接觸部分方便潤滑；4）磨損較小等。因此，廣泛應用于儀表、機器人及汽車等許多領域。但是，四桿機構也有缺點，比如：四桿機構做往復運動時，慣性力較大，難以保持平衡，會產生較大的沖擊，通常只能用于低速場合。四桿機構還可以演化成曲柄搖桿機構、雙曲柄機構、雙搖桿機構及多連桿機構等［2］。隨著四桿機構幾何參數的優化，對四桿機構運動精度的要求也在逐步升高。因此，研究四桿機構的穩定性對于提高定位精度具有重要意義。

當前，研究者從不同角度對四桿機構展開了研究。例如：文獻［3］研究了平面四桿機構運動軌跡產生的誤差，采用歐幾里得距離誤差構造目標函數，定義四桿機構橫向和縱向誤差函數，給出四桿機構運動約束條件。采用Matlab 軟件對四桿機構運動輸出誤差進行仿真，從而降低了四桿機構輸出橫向和縱向誤差。文獻［4］研究平面四桿機構驅動性能問題，采用數值分析得到最小傳動角，四桿機構三維模型采用參數化設計方法，在ADAMS 軟件中進行裝配和運動仿真，得到四桿機構運動角度、角速度及角加速度變化曲線，為四桿機構設計制造提高理論依據。文獻［5］研究平面四桿機構軌跡和速度問題，建立誤差和速度最小化目標函數，采用差分進化算法優化設計變量，通過仿真驗證軌跡誤差和速度的穩定性，為進一步提高四桿機構運動的穩定性提供參考。以前研究的四桿機構沒有綜合考慮輸出力和運動速度，致使四桿機構輸出速度和沖擊力較大。對此，本文以四桿機構為研究對象，推導出四桿機構連桿橫坐標和縱坐標方程式。采用B 樣條曲線，確定四桿機構連桿尺寸外形輪廓，構造多目標優化函數。采用混合算法優化四桿機構目標函數，通過Matlab 軟件對優化結果進行仿真，并且與優化前進行比較和分析，為提高四桿機構運動精度提供參考價值。

2 四桿機構設計

2.1 四桿機構平面簡圖

本文研究的是四桿機構平面簡圖，如圖1 所示。四桿機構輸出沖擊力方程式［6］為

式中：F1代表機架支點O1和連桿1 之間相互作用力；F3代表機架支點O3和連桿3 之間相互作用力；l0代表機架支點O1到機架支點O4的距離。

在圖1 中，l1、l2、l3代表連桿1、連桿2、連桿3 的長度；C1、C2、C3代表連桿1、連桿2、連桿3 的質心；θ1、θ2、θ3代表連桿1、連桿2、連桿3 與質心位置夾角；d1、d2、d3代表連桿1、連桿2、連桿3 質心到支點距離。

2.2 四桿機構外形輪廓設計

四桿機構外形輪廓尺寸采用B 樣條曲線設計，其方程式［7］為

式中：Pi代表樣條曲線變化調整點；K代表樣條曲線階數；Ni，k（λ）代表樣條曲線分段組合函數；λ代表調整參數。

圖1 四桿機構平面模型

在四桿機構第i段上某點，其平面方程式為

式中：（xi-1，yi-1）代表點Pi-1二維坐標；（xi，yi）代表點Pi二維坐標；（xi+1，yi+1）代表點Pi+1二維坐標；α1=-λ3+3λ2i-3λi2+i3；α2=3λ3+λ2（3-9i）+λ（9i2-6i-3）-3i3+3i2+3i+1；α3=-3λ3+λ2（9i-6）+λ（-9i2+12i）+3i3-6i2+4；α4=λ3+λ2（-3i+3）+λ（3i2-6i+3）-i3+3i2-3i+4。

采用B 樣條線確定四桿機構連桿外形變化趨勢，其面積和質心平面方程式為

xi（λ）和yi（λ）求導后，其方程式為

式中：β1=-3λ2+6λi-3i2；β2=9λ2+2λ（3-9i）+9i2-6i-3；β3=-9λ2+2λ（-6+9i）-9i2+12i；β4=3λ2+2λ（3-9i）+3i2-6i+3。

采用閉合B 樣條曲線構造四桿機構連桿形狀，連桿質量計算公式為

式中：A 代表連桿面積；t 代表連桿厚度；ρ代表連桿材料密度。

3 四桿機構優化設計

3.1 參數設計變量

采用矩陣方式表達四桿機構設計變量，其表達式為

式中：mij代表任意連桿i 任意點j 的質量；lij代表表任意連桿i 任意點j 長度；θij代表表任意連桿i 任意點j的轉動角度。

3.2 目標函數

四桿機構外形設計尺寸優化后，盡可能降低四桿機構輸出力和速度，其優化目標函數如下所示：

式中：ω1代表沖擊力變化調整系數；F 代表沖擊力；ω2代表速度變化調整系數；v代表運動速度。

四桿質量、尺寸變化設計范圍為

3.3 混合算法

粒子群算法是近代發展起來的迭代搜索算法，粒子通過不斷更新速度和位置來尋找最優值，更新方程式［8～9］為

式中：vik代表粒子i 搜索更新k 次后的速度；ω代表慣性權重值；c1和c2代表學習因子；r1和r2代表隨機變化系數；Pi代表個體極值；G 代表群體極值；Xik代表粒子i更新k次后的位置。

慣性權重值會影響到全局搜索能力和局部搜索能力，為了更好地發揮粒子群搜索到全局最優值能力，慣性權重值修改方式如下［8］：

式中：ω0代表粒子權重初始值；ω1代表粒子權重最終值；n代表當前迭代次數；N代表迭代最大次數。

為了更好地搜索到全局最優解，對粒子群算法添加遺傳算法的交叉和變異操作，其操作方式如下：

遺傳算法交叉操作方程式［10］為

式中：Ami和Ani代表任意兩個初始個體；Ami+1和Ani+1代表交叉后新的個體；r代表區間［0，1］之間的隨機數。

遺傳算法變異操作方程式［10］為

式中：Amin、Amax代表粒子個體最小值和最大值；a 代表可調參數；t 代表當前迭代次數；T 代表迭代最大次數。

4 仿真與分析

本文采用混合算法優化四桿機構幾何參數，混合算法初始參數設置為：種群數量設置為50，迭代最大次數為300，慣性權重初始值和最終值分別為ω0=0.95、ω1=0.5，學習因子為c1=c2=2.0，隨機數為r1=r2=1.0，交叉概率為0.02，變異概率為0.75。四桿機構幾何參數優化前、后如表1所示。

表1 四桿機構優化前、后幾何參數

優化后的四桿機構連桿外形輪廓如圖2 所示，優化前的四桿機構連桿外形輪廓如圖3。采用Mat?lab軟件對優化前、后的四桿機構進行仿真，輸出的沖擊力曲線如圖4所示，運動速度曲線如圖5所示。

圖2 四桿機構形狀（優化后）

對比圖4 可知：優化前，四桿機構輸出最大沖擊力為17.9N；優化后，四桿機構輸出最大沖擊力為9.1N。對比圖5 可知：優化前，四桿機構輸出的最大速度233mm/s，波動幅度較大；優化后，四桿機構連桿輸出的最大速度為208mm/s，波動幅度較小。因此，采用混合算法優化四桿機構幾何參數，能夠延長其使用壽命，降低噪聲污染。

圖3 四桿機構形狀（優化前）

圖4 沖擊力仿真結果

圖5 運動速度仿真結果

5 結語

本文采用混合算法優化四桿機構目標函數，并對優化后的參數進行仿真驗證，主要結論如下：

1）優化后的四桿機構，其連桿質量較大，在運動過程中，致使連桿輸出沖擊力較小，能夠延長連桿的使用壽命。

2）優化后的四桿機構，其連桿的輸出速度變化較小，產生的波動幅度較小，運動更加平穩。

3）混合算法結合了遺傳算法和粒子群算法的各自優點，能夠避免產生局部最優解，優化效果更佳。