考慮稠度時變作用冪律型漿液的隧道管片壁后注漿柱形擴散研究

楊劍 檀俊坤 劉日彤 張細寶 彭祖民

（1.中鐵南方投資集團有限公司，廣東深圳 518000；2.中南大學土木工程學院，長沙 410075；3.中鐵五局集團電務城通工程有限責任公司，長沙 410006）

盾構法施工因具有安全系數高、施工效率快、對周邊環境影響小等一系列優點，在硬巖隧道中得到廣泛應用。盾體外徑大于隧道管片拼裝成型外徑，因此在盾尾脫離管片后，管片與硬巖巖體之間會形成一個圓筒狀間隙。為穩定隧道管片位置、保證工程質量通常在管片與巖體之間填充顆粒類填充物（如豆礫石），然后向填充物內注入水泥漿液，控制地層應力釋放和變形。在盾構管片壁后注漿過程中，水泥漿液會對管片產生壓力，當總壓力上升到一定水平會引起隧道管片上浮、管片開裂、錯臺等。因此對管片壁后注漿引起的管片壓力及漿液擴散半徑等展開研究顯得尤為重要。

Bezuijen等［1］通過實時監測壁后注漿壓力，指出注漿壓力在空間上呈上部小、下部大分布，隨著時間的推移，漿液的擴散與壓力均減小，直至與地下水壓力接近。袁小會等［2］采用現場與室內試驗對賓漢流體流變性及在盾尾注漿時注漿壓力分布進行了研究，發現管片壓力受漿液時變性影響嚴重。Koyama［3］通過大型注漿模型試驗發現，注漿壓力過大會導致密實土體擠裂破壞，注漿壓力太小土體空隙又很難被完全填充。Kasper 等［4］通過數值模擬得出，盾構管片壁后注漿壓力對上部土體及管片的變形起到決定性作用。

水泥漿液稠度隨時間推移而增大。目前大多數分析忽略了水泥漿液稠度的時變性，導致漿液擴散半徑、管片壓力等參數的計算值明顯比實際值大，不僅難以保證注漿效果，而且可能為工程埋下隱患。基于此，本文考慮注漿過程中水泥漿液稠度隨時空變化建立冪律型漿液擴散模型，對壁后充填豆礫石的硬巖隧道漿液擴散規律及管片壓力進行理論推導，并結合工程實例對漿液壓力的時變情況進行分析。

1 冪律型漿液柱形擴散理論推導

1.1 基本假設

①漿液和被注介質（豆礫石）是不可壓縮、均勻各向同性材料，且豆礫石為剛體，在注漿過程中漿液的滲透性、空隙的尺寸不發生改變；②注漿過程中，注漿速度保持恒定，忽略重力的影響，漿液在豆礫石中以柱面形式擴散；③由于盾構段的開挖半徑遠大于柱體半徑，將管片外壁與盾構開挖內壁均視為平面；④漿液流速較小，流態可視為層流。

1.2 冪律型流體滲流運動方程

冪律型流體滲流流變方程為

式中：τ為剪切應力，Pa；n為流變指數；c為冪律型流體稠度系數，Pa·sn；γ為剪切速率，γ=-dv/dr，v為漿液流速，m/s。

硬巖隧道注漿施工前通常在圍巖與管壁之間填充豆礫石，豆礫石之間的空隙成為漿液流通的主要通道，將上述現象當作毛細管流動現象來描述。假定流體在半徑r0毛細管內運動，從毛細管中截取一段作為流體柱微元段，其長度為dl，半徑r＜r0，兩端承受的壓力為p和p+dp。流體柱微元段表面所承受的剪切應力為τ，剪切應力方向向左，流動方向與之相反。忽略重力作用，根據流體柱微元段受力平衡關系得到

由式（3）可以看出，τ隨γ增大而減小。在管壁處τ最大，管內中心軸處τ最小。

將式（1）代入式（3）可得

由式（4）可知，冪律型流體不同于賓漢流體，賓漢流體在管中存在流動徑向距離界限，只有徑向距離大于距離界限才會發生流動，冪律型流體無論徑向距離大小均處于運動狀態。其具體運動形態如圖1所示。

圖1 冪律型流體在毛細管內流動示意

對式（4）分離積分變量，并代入邊界條件r=r0，v=0時，可得

毛細管內流體速度呈拋物面狀，毛細管在單位時間內流量q0是剪切區（0 ≤r≤r0）流量的總和，即

將式（5）代入式（6）整理可得

毛細管內流體質點平均速度ū為

利用 Dupuit?Forchheimer 關系式［5］，將流體實際質點速度平均值轉化為滲流速度，得到冪律型漿液在被注介質中任意時刻的平均滲流速度為

式中：φ為豆礫石的空隙率，%。

1.3 考慮稠度時變性的冪律型流體柱形擴散

假定注漿過程中注漿速率v0保持不變，注漿孔半徑為l0，則有

式中：q為單位時間注漿量，m3/s；A為任意時刻漿液在注漿區域擴散的表面積，m2。

由柱形擴散理論模型可知，在任意時刻漿液在注漿區域擴散的表面積A為

式中：h為漿體擴散高度，h等于盾尾管片與圍巖之間的間隙，m；l為任意時刻漿液的擴散半徑，m。

由式（9）、式（10）及式（11）整理可得

在注漿速率恒定的情況下，壁后注漿過程中不同位置漿液質點滲透擴散時間不同，因此各質點的稠度系數可以轉化為空間位置的函數。 漿液在豆礫石中擴散的量與注漿量相等。根據質量守恒定律，并忽略l0的大小可得

由此，可以建立注漿速率恒定時漿液稠度增長時間t與l的關系式

將式（12）等號兩邊積分，可得管片壁后漿液滲透擴散范圍內任意一點處的漿液壓力

式中：p0為注漿壓力。

為了便于積分，采用泰勒公式對式（14）進行二次多項式展開，代入稠度系數時變方程c（t）=c0et，可得

式中：c0為初始稠度系數；A，B，C均為擬合系數。

將式（16）代入式（15）并積分，可得

由式（17）可知：注漿壓力不變時，p與l具有一一對應關系。

注漿壓力差Δp=pw-p0，pw為注漿孔附近地下水壓力，假定pw=0，可得

管片壁后漿液對管片的作用力Fg為

式 中 ：λ1，λ2，λ3，λ4均 為 系 數λ2= 2πMA/(7-n)，λ3= 2πMB/(5-n)，λ4= 2πMC′/(3-n)；lt為漿液最大擴散半徑。

2 算例分析

以深圳市城市軌道交通6號線二期工程民樂停車場出入線隧道為工程依托，選用粒徑5～10 mm的豆礫石作為填充材料。經室內試驗測定，豆礫石孔隙率φ=47%，滲透系數k=0.089 4 m/s。為保證漿液具有長期穩定性、流動性及適當初凝時間，選用P·O 42.5 普通硅酸鹽水泥，水灰比0.5～0.7 的水泥漿液作為冪律型流體。注漿孔半徑l0=1.36 cm，盾尾間隙h=150 mm。注漿過程中，保持單位時間注漿量q=10 L/min。結合文獻［1］的試驗結果，采用二次多項式擬合得到不同水灰比下泥漿稠度系數時變方程，見表1。

表1 不同水灰比下泥漿稠度系數時變方程

考慮水泥漿液稠度時空分布，假定pw=0。將各種水灰比水泥的流變參數及二次多項式擬合稠度系數時變方程代入式（15）—式（19）計算可得漿液在p0作用下最大擴散半徑lt、管片壁后漿液壓力空間分布和壁后漿液對管片的作用力Fg。

2.1 漿液最大擴散半徑

圖2 lt隨Δp變化曲線

lt隨Δp變化曲線見圖 2。可知：注漿壓力差Δp相同，水灰比（W/C）越大漿液稠度越低，流動性越好，lt也越大。隨Δp增加，lt逐漸增長，且增長速率隨水灰比的增大而增大。水灰比為 0.5 時，lt與Δp成正比，Δp由0.10 MPa增至0.55 MPa時，lt由0.08 m 增至0.372 m，增長近 3.65 倍。水灰比為 0.6，Δp由 0.10 MPa 增至0.55 MPa時，lt由0.177 m增至0.757 m，增長3.28倍，增長速率逐漸減小。水灰比為0.7，Δp由0.10 MPa 增至0.55 MPa時，lt由0.397 m增至1.173 m，增長1.95倍，增長速率逐漸減小并趨于穩定。

在施工過程中，為了減小對原有環境及管片的破壞，同時確保注漿質量，通常要求壁后注漿壓力控制在0.5 MPa 以內，且漿液的最大擴散半徑應達到管片環寬的1/2以上。通過上述分析可知，水灰比為0.5的水泥漿液流動性較差、擴散半徑較小，不適用于隧道管片壁后注漿。水灰比為0.6的水泥漿液可用于管片（環寬1.2 m）的壁后注漿，但注漿壓力得控制在0.40 MPa 以上。對于水灰比為0.7 的水泥漿液，環寬1.2 m 時注漿壓力不應小于0.20 MPa，環寬1.5 m 時注漿壓力不應小于0.25 MPa。

2.2 管片壁后漿液壓力分布

注漿壓力p0取0.1，0.5 MPa，水灰比分別為0.6，0.7，考慮水泥漿液稠度時變性，計算可得管片壁后水泥漿液壓力分布，見圖3。

圖3 管片壁后水泥漿液壓力分布

由圖3 可知：對于水灰比0.6 的水泥漿液，p0為0.1，0.5 MPa 時，壁后水泥漿液壓力呈圓錐狀分布。對于水灰比0.7的水泥漿液，p0為0.1 MPa時壁后漿液壓力亦呈圓錐狀分布，但p0為0.5 MPa 時漿液壓力的消散梯度隨著漿液擴散半徑的增加顯著提高。

2.3 壁后水泥漿液對管片的作用力

圖4 不同水灰比下Fg隨p0變化曲線

p0取 0.10～0.55 MPa，水灰比分別取 0.5，0.6，0.7，計算可得Fg，見圖 4。可知：水灰比不變，Fg隨p0增大而增大。水灰比為0.7，p0由0.10 MPa 提高至0.55 MPa 時，Fg由 17.55 kN 增至 1 187.49 kN，且增長速率隨p0增加而持續增大。保持p0不變，水泥漿液的水灰比增加，稠度減小，流動性增強，擴散半徑增大，水泥漿液對管片產生的作用力也增大。

3 結論

1）考慮冪律型流體稠度時空變化，在注漿速率不變的情況下建立管片壁后注漿柱形擴散理論模型，推導了管片壁后漿液壓力空間分布方程及管片受力公式。

2）注漿壓力不變，水泥漿液最大擴散半徑隨水灰比增加而不斷增大。漿液水灰比為0.5的水泥漿液流動性較差，擴散半徑較小，不適用于TBM 隧道管片壁后注漿；水灰比為0.6，0.7 的水泥漿液可用于管片壁后注漿，但須控制注漿壓力達到相應要求。

3）水灰比不變，擴散半徑和管片壁后漿液壓力均隨注漿壓力增加而增大。注漿壓力不變，擴散半徑和漿液對管片的作用力均隨漿液水灰比的增加而增大。