一種根據ADMM 改進的圖像去噪方法

哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001

圖像作為人們獲取知識的主要載體，已經得到了一定的發展。但是，在圖像去噪[1?2]這方面仍然有著需要改進的地方，圖像去噪重構精度不夠、時間開銷比較大[3]等都需要進一步研究與學習。所以，本文主要針對這2 個方面進行研究，通過結合壓縮感知[4?6]和交替方向乘子法（alternating direction method of multipliers,ADMM）[7?9]的相關知識，以期找到一個更好的解決方法，從而可以達到更好的圖像去噪效果。

1 一種基于熵函數的重構算法

本節主要針對lp問題[10?14]的改進。該問題廣泛應用于信號處理、自適應濾波、系統識別等眾多領域，其表達式為

顯然，式(1)中的函數F(x)是非光滑函數，本文采用極大熵函數進行求解，假設：

又因為存在以下關系：

所以，對比式(2)、(3)可以知道，非線性lp的求解問題可以轉化為關于參數q的最優化問題：

式中：0＜p＜1;q→∞。

式(4)中函數F(x,q)是關于x的可微函數，而且和二次連續可微函數fi(x)相比，擁有同階光滑性。

鑒于實驗仿真的考慮，現將熵函數進行變形：

則該熵函數的偏導為

基于上述理論，可以得到基于熵函數的重構算法，算法模型為

所以，基于一種熵函數的重構算法（reconstruction algorithm based on maximum entropy algorithm,MEA-RA）的求解步驟如下所示：

輸入壓縮后的信號y，觀測矩陣 Φ、λ、p。

輸出重構目標信號x。

初始化x(0)=ΦT(ΦΦT)?1y，，β=10?6。Υ

1)循環：t=1,2,···,Υ。

a)通過求解式(5)來更新x(t)，得到x(t+1)：

c)判斷是否滿足迭代終止條件：|x(t+1)?x(t)|＜ξ或者β=βΥ，其中 ξ是一個很小的正常數，Υ是使迭代滿足終止條件的最小值。若滿足，結束循環；若不滿足，返回1)；

2)得到稀疏目標信號的解：x=x(t+1)。

為了更好地體現重構效果，本文將上述方法與其他相關算法進行對比，來充分說明本文所提算法的優越性。評價的標準是峰值信噪比(peak signal to noise ratio,PSNR)、結構相似性(structural Similarity，SSIM)和所需時間t。具體分析與討論下面將會介紹。

首先，本節與MEA-RA 算法對比的是基于Lq最小化的穩定稀疏逼近（stable sparse approximation based on Lq minimization,StSALq）算法[15]、復合三角函數零空間重加權近似l0范數(composite trigonometric function null-space reweighted approximatel0-norm，CTNRAL0)[16]、LP正則化最小二乘算法(lpregularized least squares algorithm，lp-RLS)[17]、近似消息傳遞算法(approximate message passing,AMP)[18]。本節以256×256的Peppers 圖像作為實驗對象(如圖1 所示)，并且在不同壓縮比的情況下，對這些算法進行仿真分析。實驗中，取壓縮比(compression ratio,CR)分別為0.4、0.5、0.6，添加的噪聲是均值為零、方差為0.01 的高斯噪聲。

圖1 Peppers 原圖

去除噪聲恢復后的效果圖如圖2～4 所示，從圖2～4 中可以看出，當CR 大于0.5 時，所有算法都可以很好地恢復出原始的圖片，尤其是MEA-RA算法的效果最好，但是其他4 種算法恢復的圖像仍然會有一些小的噪點。在CR 等于0.4 的時候，效果更加明顯。尤其是StSALq 算法，去除噪聲后恢復的圖像出現了一些線狀的噪聲，而且邊緣地方恢復的效果也不是很好。而MEA-RA 算法仍然可以恢復出很好的效果，并且沒有明顯的噪聲。這些分析都是從主觀上進行的，下面將從客觀數據上對其進行更充分的說明。

圖2 壓縮比CR=0.4，5 種重構算法的恢復效果

圖3 壓縮比CR=0.5，5 種重構算法的恢復效果

圖4 壓縮比CR=0.6，5 種重構算法的恢復效果

其次，本文將從PSNR 和SSIM 2 方面進行考慮，如表1 所示。MEA-RA 算法在PSNR 方面，值是最大的，而且比其他最好的算法在數值上提升了至少1 dB 以上，說明恢復的效果也是最好的。在SSIM方面，該算法也是最接近1 的，也就說明本文所提算法恢復后的圖像和原圖像基本上是一致的。另外4 種算法，相對來說沒有那么理想，尤其是在壓縮比比較低的時候，StSALq 算法恢復的PSNR值只有21.811 dB、CTNRAL0 算法只有24.989 dB，lp-RLS 算法為26.343 dB。所以，綜合來看，MEARA 算法具有相對其他4 種算法最好的效果。

表1 不同算法在不同CR 時恢復的圖像的PSNR、SSIM 值

最后，從運算所需時間上進行分析，如表2 所示。MEA-RA 算法的運行時間是相對最短的，其他幾種算法的時間都比較長，尤其是StSALq 算法、CTNRAL0 算法和lp-RLS 算法，這3 種算法的運行時間過長，在當前的實際環境中很難使用。另外，從不同壓縮比所用的時間來看，每種算法所受的影響都不同，但總體趨勢，即相對時間的多少是不變的。所以，比較來看，MEA-RA 算法是相對最優的。但是在時間上仍然有很大的改進空間。

表2 不同算法在CR 不同時去噪恢復所需要的時間 s

綜上所述，在對比的幾種算法中，MEA-RA 算法的PSNR 和SSIM 值最高，在PSNR 值上至少提升了1 dB，并且運行時間也是最短的，是這幾種算法中最好的。但是仍然存在需要改進的地方，下節會對其進行進一步分析，在時間上進行進一步優化。

2 基于ADMM 改進的去噪方法

由第1 節可以知道，在比較的幾種重構算法中，MEA-RA 算法的重構效果最好，并且時間也是相對比較少的。為了實現更快更好的去噪重構效果，本文將該算法與ADMM 算法[19?20]進行結合，提出了一種更快而且圖像去噪重構效果更好的算法。

1）設計運營架構，即從政府、企業以及行業三方著手，調查其涉及的相關業務，在構建運營架構之后協調三方的關系，在確保其具有良好的交互關系后，便可以按照相互協作、管理和投資等關系進行城市運營活動；

所提算法是一種基于ADMM 改進的重構算法。主要是將MEA-RA 算法和ADMM 算法進行結合，利用ADMM 算法實現MEA-RA，所以提出一種速度更快的新算法——基于ADMM 改進的MEA-RA 算法（improved MEA-RA algorithm based on ADMM,MEA-RA-ADMM）。

該算法的具體實現步驟如下：

輸入壓縮后的信號y、Φ、λ、p、q。

輸出重構目標信號x。

初始化x(0)=ΦT(ΦΦT)?1y，v(0)=x(0)，u(0)=0，β0=/log2，β==β0，βΥ=10?6。

1)外部循環：t=1,2,···,Υ。

a)內部循環：k=0,1,···,iter，iter 為迭代次數；

u(k+1)=u(k)?(x(k+1)?v(k+1))

b)將a)得到的結果賦值給x(t)，然后通過求解式(6)來更新x(t)，得到x(t+1)：

d)判斷是否滿足迭代終止條件：|x(t+1)?x(t)|＜ξ或者β=βΥ，其中ξ是一個很小的正常數。若滿足，結束循環；若不滿足，返回1)；

2)得到稀疏目標信號的解：x=x(t+1)。

2.1 參數的選擇

本文由于涉及到lp范數，在實際的實驗中將對p進行精確取值，為了實驗可以達到最好的效果，下面將對不同的p值進行實驗，并計算不同p的取值情況下歸一化均方誤差（normalized mean square error,NMSE）的數值。NMSE 值越小說明圖像去除噪聲后恢復效果越好。在這里，將二者的曲線繪制成二維曲線圖，如圖5 所示。從圖5 中可以知道，在p的取值為0.1～0.8 時，NMSE 逐漸減少，從0.8～1 呈現逐漸增大的趨勢，在p的取值為0.8 時取得最小值。這也說明在p為0.8 時，本文算法取得最好的效果。所以，在接下來的實驗中設置常數p=0.8。

圖5 范數 p 對算法的影響

本算法首先調節熵函數替換lp范數，之后為了達到更好的去噪效果，引入正則化機制，即添加正則化常數。同樣為了達到更好的效果，本文對不同的 λ值進行取值，并比較不同 λ值情況下NMSE 的變化情況，從而可以更好地把控參數對本文算法的影響。通過實驗，并將結果繪制成如圖6 所示的二維曲線圖。從實驗中可以知道，在λ取值為10?8～10?2時，曲線比較平穩；在 λ取值大于10?2時，曲線出現逐漸增長的趨勢，即NMSE 的值逐漸變大。基于這種情況，本文取 λ=10?5。在接下來的實驗中設置 λ為10?5。

圖6 參數 λ對算法的影響

2.2 實驗仿真分析

本文以下面2 幅圖像作為實驗對象，如圖7 所示。主要考慮高斯噪聲對信號的影響。與MEA-RAADMM 對比的算法選擇MEA-RA 和基于ADMM的BM3D 算法2 種。選擇的一個依據是改進之前，通過實驗可以知道這種改進方式是否有用、是否可以提升算法的性能；選擇的另一個依據是該算法是典型的算法，BM3D 是去噪效果很好的一種去噪算法，將其應用到ADMM，更有一定的說服力。所以，選擇了這2 種算法。接下來，將添加不同噪聲強度的高斯信號，并且在不同壓縮比下分別對這3 種算法進行對比，并分析實驗的結果。

圖7 Lenna 和Parrots 原圖

首先以Lenna 圖為目標圖，如圖8～11 所示為3 種算法在壓縮比為0.6、添加噪聲強度分別為0.07、0.09、0.10、0.20 等4 種情況下去噪的恢復效果圖以及殘差圖。從圖8～11 中可以看出，MEARA-ADMM 性能最好，恢復的圖像最接近原始圖像。而其他2 種算法都存在一些噪聲，尤其是帽子和頭發部分。另外，隨著噪聲的增加，去除噪聲后恢復的效果也在逐漸變差，但是MEA-RAADMM 仍然可以恢復很好的效果。

圖8 噪聲強度為0.07、壓縮比為0.6，3 種算法的去噪恢復圖以及殘差圖

圖9 噪聲強度為0.09、壓縮比為0.6，3 種算法的去噪恢復圖以及殘差圖

圖10 噪聲強度為0.10、壓縮比為0.6，3 種算法的去噪恢復圖以及殘差圖

圖11 噪聲強度為0.20、壓縮比為0.6，3 種算法的去噪恢復圖以及殘差圖

圖8～11 中上方的圖為3 種算法的去噪恢復圖，下方的圖為殘差圖。上面僅僅是主觀評價，為了使結果更具有說服力，本文從殘差值、峰值信噪比(PSNR)、歸一化均方誤差(NMSE)和時間上分別進行比較，其中NMSE 和SSIM 均是對原圖與恢復效果圖誤差的評估。

首先，從殘差上進行分析和比較3 種重構算法去除噪聲后的恢復效果。如圖8～11 和表3 所示，本文所提算法是三者中殘差最小的，從殘差圖中基本看不到噪點。另外2 種算法噪點相對比較多，也可以說明本文所提算法是最優的。

其次，從PSNR 和NMSE 2 方面進行分析和對比。從表3、4 可以知道，本文所提算法MEA-RAADMM 的PSNR 是最大的，并且NMSE 是最小的。從數值上看，本文所提算法在PSNR 上比單純的MEA-RA 算法提升了1.3 dB，比基于ADMM的BM3D 算法提升更多；在NMSE 上比單純的MEA算法降低了10%。所以本文所提MEA-RA-ADMM是一種恢復效果很好的重構算法。

表3 3 種算法在不同壓縮比(CR)、不同噪聲強度(q)下的殘差值

表4 3 種算法在不同壓縮比(CR)、不同噪聲強度(q)下的PSNR、NMSE

最后，從時間上進行比較。Lenna 圖和Parrots 圖在不同壓縮比、不同噪聲強度下的運行時間如表5所示。相對MEA-RA 算法，本文所提MEA-RAADMM 算法在噪聲強度小于0.2 時運行時間會有提升，這說明結合ADMM 算法具有減少時間消耗的作用。雖然相對于ADMM 算法，時間消耗大一些，但是若達到相同的去噪效果，時間也是最低的。而且在之前的分析可以看出，相對于MEARA 算法，本文算法不但在PSNR 上有一定的提升，而且也縮短了時間上的開銷，進一步提升了該算法的圖像去噪重構的效果。

表5 3 種算法在不同壓縮比(CR)、不同噪聲強度(q)下的運行時間t

3 結論

本文針對圖像去噪的恢復效果較差以及恢復時間較長的問題，提出了解決方法。

1)首先根據熵函數提出了一種新的重構算法，即基于熵函數的重構算法——MEA-RA 算法。

2)然后進行實驗對比，對比的算法也都是與此相關的一些算法，經過仿真結果可以知道MEARA 算法具有很好的性能，而且時間復雜度相對也比較低。

3)為了進一步降低時間開銷，本文將MEA-RA算法與ADMM 算法進行結合，提出了一種新的基于ADMM 的圖像去噪算法——MEA-RA-ADMM算法。

4)對新提算法進行仿真分析，結果說明MEARA-ADMM 是一個很好的算法，在PSNR 值上有至少1 dB的提升，而且在時間上，當噪聲強度小于0.2 的時候，也得到了一定的提升。本文所提算法具有一定的工程實踐價值。