基于子空間擬合的塊稀疏貝葉斯學習DOA 估計

哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001

波達方向(direction of arrival，DOA)估計是陣列信號處理的重要課題之一，在天線、通信和雷達等領域有著廣泛的應用[1?2]。近幾十年來，人們先后提出了多種DOA 估計方法，包括波束形成、基于子空間的算法和最大似然(maximum likelihood，ML)估計等。其中子空間類算法[3?5]有著優秀的超分辨能力，作為代表的MUSIC 方法是傳統DOA估計技術中最成功的方法，然而子空間類算法需要大量的快拍才能獲得高分辨的性能，且當信號由于多路徑傳播而高度相關或相干時，這些方法可能無法工作。加權子空間擬合(weighted subspace fitting,WSF)是一種參數化的DOA 估計方法，該方法原理簡單且具有較高的估計精度，因此受到了廣泛的關注[6?7]。

近年來，空間的稀疏性引起了人們對信號處理的興趣，極大地促進了稀疏表示方法在DOA 估計[8?10]中的應用，這些方法，都展現出了許多優秀的特性，如提高了信號的分辨率、對噪聲的魯棒性等，其中，稀疏貝葉斯學習[11?15]是最流行的稀疏恢復方法之一。出色的DOA 估計性能取決于一個假設，即真正的信號位于預定義的離散空間網格上，然而，實際信號的到達角與其最臨近的網格點之間總是存在間隔，即網格失配問題，如果減小離散網格的間距，會帶來計算量的大幅增加，而增大離散網格的間距，則算法的估計性能也會因此而變差。為了減小網格失配帶來的建模誤差，研究者們提出了一些改進的方法來處理離網的DOA 估計[16?19]，文獻[16]采用一階泰勒模型對真實DOA 進行了線性逼近，提出了一種離網SBL 方法，有效地解決了網格失配的問題，獲得了更優的估計性能。文獻[17]利用樣本協方差矩陣，進一步提出了一種改進的離網SBL 方法來減小噪聲方差的影響。文獻[18]通過使用相鄰的2 個網格點，提出了一種線性插值方法對真實DOA線性逼近，這些線性逼近方法確實可以減小離網間隙引起的建模誤差，但不能完全消除，如果使用較粗的離散網格，在實際應用中仍然會有較大的建模誤差。為此，文獻[19]提出了一種基于動態網格的求根SBL 算法，該算法在計算復雜度和估計精度之間取得了平衡，即使采用粗網格，也能獲得較好的估計性能，對網格間距具有較好的魯棒性，但是在低信噪比等條件下估計有效性不足。

1 子空間擬合模型

假設K個遠場窄帶信號以角度θ=[θ1,θ2,···,θK]T入射到M元均勻天線陣列上，入射信號的波長為 λ，相鄰天線間距離為d=λ/2，那么在t時刻天線陣列的輸出可以寫成：

X(t)=A(θ)S(t)+N(t),t=1,2,···,L

式中：N(t)=[n1(t),n2(t),···,nM(t)]T是均值為零的加性平穩高斯白噪聲；S(t)=[s1(t),s2(t),···,sK(t)]T為入射信號，并假設入射信號與噪聲相互獨立；入射角θ定義為信號與陣列法線的夾角；L表示快拍數；A(θ)=∈CM×K為陣列的流型矩陣；表示陣列的方向矢量。則陣列接收數據的協方差矩陣定義為

對矩陣RX進行特征分解可以得到：

式中：μ1≥μ2≥···＞μK+1=···=μM為RX的特征值；由特征向量構成的矩陣Us和Un分別定義為信號子空間和噪聲子空間。理想情況下，信號子空間Us與陣列流型矩陣A具有相同的張成子空間，即存在一個列滿秩矩陣T使得

Us=AT

然而實際中，由于有限的采樣數及噪聲的存在，陣列流型張成的子空間與信號子空間并不完全相同，為了解決這個問題，經典WSF 算法[4]通過構造一個擬合關系，使得兩者在最小二乘意義下擬合得最好，即

式中W為權矩陣。當W=時為最優權，則信號的加權子空間與陣列流型之間的線性關系為

式中：Y=UsW1/2；等價噪聲矩陣E近似服從均值為0 的高斯分布。

2 子空間擬合塊稀疏貝葉斯算法

2.1 稀疏模型

為了將式(1)納入稀疏貝葉斯學習框架求解，首先需要構造稀疏模型。將空間以角度為單位等間隔劃分成N份，假設離散網格的間隔足夠小，則能保證所有入射信號都落在這N個離散角度上，每一個離散角度都對應一個空間信號(n=1,2,···,N)，便構造了一個稀疏度為K的信號矢量，然后計算離散網格點對應的導向矢量，即可得到稀疏化后的陣列流型矩陣，則稀疏表示下的信號模型為

式中：y=vec(YT)；D=Φ?IK；s=且n=vec(ET)。根據的統計假設，s的先驗分布為p(s|γ,B)=CN(0,Σ0)，其中Σ0=Γ?B；Γ=diag(γ)；γ=[γ1,γ,···,γ]T。2N

在實際情況下，入射信號都位于網格點上是不現實的，真實DOA 與空間離散網格點之間的間隔不可避免地會導致較大估計誤差，針對此網格失配問題，本文將在后面內容提出一種多項式求根方法解決建模誤差，將采樣網格點作為動態參數，然后通過迭代更新離散網格。

2.2 塊稀疏貝葉斯學習

由稀疏模型式(3)可知s的 后驗概率密度分布可以表示為

值得注意的是，學習規則式(4)、(5)的維數很高，算法速度不快。文獻[14]指出可以通過合理地近似降低學習規則的維度，即利用MSBL 算法來簡化上述規則，其中MSBL 算法為

式中 η是正數。式(10)的正則化形式保證了B是正定的。

2.3 網格更新

在本節中，針對網格失配問題帶來的建模誤差，將離散網格點作為動態參數，然后通過多項式求根來更新離散網格。設空間離散角為動態參數。根據EM(expectation maximization)算法，首先對式(5)中的似然函數進行數學期望運算，忽略獨立常數項即可得到目標函數：

令式(12)的導數為0，可以得到：

式中：αi、、εij分別表示 Φ的第i列、矩陣以及的第(i,j)個元素，且。

則式(15)可以寫成如下多項式形式：

需要注意的是，在每次迭代過程中，并不需要更新所有的離散網格點，選擇更新 γ中與K個較大極值點對應的網格點即可保證算法的性能，這將大大提高算法的運算效率。

2.4 算法步驟

綜上所述，基于子空間擬合和塊稀疏貝葉斯學習的離網DOA 估計算法步驟如下：

1)對陣列接收數據的協方差矩陣特征分解，構造信號的加權子空間Y；

2)初始化參數 γ、B、λ以及，設定收斂條件；

3)迭代；

b)利用式(9)、(10)、(11)、(17)更新γ、B、λ及；

c)若||γi+1?γi||2/||γi||2＜τ成立或達到最大迭代次數，則退出迭代；反之，則重復步驟a)、b)，其中τ為收斂判決門限。

4)根據 γ中極值點的位置，即可得到相應信號的DOA 估計。

3 仿真實驗與性能分析

為了驗證所提出算法的有效性，在本節中，進行了一些仿真實驗來驗證所提方法的性能，將所提出的算法與OGSBI(off-grid sparse bayesian inference)算法以及rootSBL(root sparse bayesian learning)算法進行了比較。仿真實驗中，天線陣列設定為8 元均勻線陣，迭代次數最大值設定為1 000 次，誤差判決門限設置為τ=10?3，蒙特卡洛實驗次數設置為500 次。

3.1 均方根誤差

實驗1 設置快拍數為100，離散網格的間隔為2°，仿真實驗比較了3 種算法的均方根誤差隨信噪比變化的結果；實驗2 設置信噪比為0 dB，離散網格的間隔為2°，仿真實驗比較了在不同快拍數下3 種算法的均方根誤差。

圖1 表明，當信噪比提高時，3 種算法的均方根誤差均有所減小，其中相比較rootSBL 算法，在較低信噪比下OGSBI 算法的估計精度更高，而當信噪比較高時，rootSBL 算法的均方根誤差能收斂到更小的值，相比較這2 種算法，本文所提出的算法在不同信噪比條件下均具有更高的估計精度。由圖2 可以看出，當快拍數逐漸增大時，3 種算法的均方根誤差均不斷降低，相比較2 種對比算法，本文所提出的算法由于采用了子空間擬合，因此隨著快拍數的增加，均方根誤差能收斂到更小的值，具有更高的估計精度。

圖1 不同信噪比下算法對比結果

圖2 不同快拍數下算法對比結果

3.2 離散網格間隔

設置采樣數為100，仿真實驗3 比較了在不同網格間隔下3 種算法的均方根誤差。由圖3 可以看出，隨著網格間隔增大，OGSBI 算法均方根誤差增大較為明顯，而rootSBL 算法及本文提出的算法均方根誤差變化較小。由于OGSBI 算法中采用了線性逼近方法，因此當使用粗網格時會導致較大的建模誤差，從而帶來較大的均方根誤差，而本文提出的算法將粗網格中的采樣點作為可調參數，可以很好地減小網格失配帶來的誤差，具有較強的魯棒性。

圖3 不同網格間隔下算法對比結果

3.3 空間分辨率

設置信噪比為10 dB，采樣數為100，離散網格的間隔為2°，空間2 入射信號的角度間隔分別為4°～10°，仿真實驗4 比較了3 種算法在不同角度間隔下的均方根誤差。圖4 表明，當空間2 角度間隔較近時，OGSBI 算法及rootSBL 算法均具有較大的均方根誤差，當角度間隔逐漸增大，3 種算法的均方根誤差均有所減小并趨于穩定，相比較這兩種算法，本文所提出的算法在不同角度間隔的條件下均具有更小的均方根誤差，具有更好的空間分辨率。

圖4 不同角度間隔下算法對比結果

4 結論

1)本文將加權子空間擬合引入塊稀疏貝葉斯學習，提出了一種新的離網DOA 估計方法。

2)針對建模帶來的網格失配問題，將離散網格中的采樣點作為動態可調參數，然后對網格進行迭代更新來消除建模誤差。

3)通過實驗仿真分析，相對于傳統稀疏貝葉斯算法，本文算法在相同條件下能很好地改善離格誤差，具有更高的DOA 估計精度和空間分辨率，因而在實際應用中具有更高的可靠性。

為了提高算法的實時性，將本文算法應用于實數域是下一步的研究工作。