SPRC340S 金屬在不同應(yīng)變率下的本構(gòu)模型評估

尚宏春，武鵬飛，婁燕山

（西安交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，西安 710049）

隨著機(jī)械設(shè)備向著高速化、強(qiáng)韌化方向發(fā)展，人們對材料性能的要求也不斷提高，材料的應(yīng)用領(lǐng)域日趨廣泛，使用條件也逐漸趨于極端化，例如切削、噴丸等高速制造領(lǐng)域、汽車經(jīng)受高速碰撞過程、高速彈丸和彈片的變形等[1—8]。為了確保高速變形下有限元分析的可靠性，必須準(zhǔn)確了解材料在各種應(yīng)變率下的力學(xué)特性。材料的屈服應(yīng)力、強(qiáng)度和硬化行為容易受到應(yīng)變率的影響，這被認(rèn)為是材料的固有特性。當(dāng)金屬材料在動態(tài)載荷下變形時(shí)，慣性效應(yīng)和應(yīng)力波傳播導(dǎo)致不同材料對應(yīng)變率的敏感程度有著顯著的變化。材料的動態(tài)行為是其本身的固有特性，所以仍沒有哪個(gè)本構(gòu)模型能夠準(zhǔn)確描述不同類型的材料應(yīng)變率效應(yīng)。有限元模擬結(jié)果精確與否，往往取決于模擬過程中是否采用了一個(gè)精確的、能夠反映材料在動態(tài)載荷下力學(xué)行為的本構(gòu)模型。許多研究人員提出了各種本構(gòu)模型，以有效表示各種金屬材料的應(yīng)變率硬化特性[9—10]，因此，選擇能夠描述材料應(yīng)變率硬化特性的最佳模型，以便得到可靠的有限元模擬結(jié)果，正確指導(dǎo)金屬構(gòu)件的設(shè)計(jì)和優(yōu)化。

文中通過準(zhǔn)靜態(tài)試驗(yàn)和高速拉伸試驗(yàn)測試，獲得SPRC340S 金屬材料在不同應(yīng)變率下的真應(yīng)力-真塑性應(yīng)變曲線，并研究了6 種經(jīng)典本構(gòu)模型對于該金屬材料應(yīng)變率敏感性描述的準(zhǔn)確性及適用性。通過對比本構(gòu)模型的預(yù)測結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果以及均方根誤差，得到最適用于SPRC340S 金屬材料的應(yīng)變率硬化模型。

1 應(yīng)變率硬化模型回顧

多種硬化模型被提出來以描述應(yīng)變、應(yīng)變率和溫度對金屬材料硬化特性的影響。在近幾十年，人們或提出或改進(jìn)了許多本構(gòu)模型，并用這些模型來描述塑性流動行為對狀態(tài)變量的依賴性。對于最初的本構(gòu)模型，通常是針對特定材料而提出的，或多或少存在一定的局限性。隨著其他研究者不斷對最初本構(gòu)模型進(jìn)行改進(jìn)，模型才得以進(jìn)一步完善。根據(jù)其建模特點(diǎn)，本構(gòu)模型可被分為兩類：唯象型本構(gòu)模型和物理型本構(gòu)模型。唯象型本構(gòu)模型是一類對材料硬化行為進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)性定義的本構(gòu)方程，其主要特點(diǎn)是本構(gòu)模型參數(shù)較少，因而易于在數(shù)值仿真中應(yīng)用，例如Johnson-Cook（JC）模型、Modified Khan-Huang（Mod KH）模型、Modified Johnson-Cook（Mod JC）模型、Lim-Huh（LH）模型等。物理型本構(gòu)模型能夠反應(yīng)材料的宏觀狀態(tài)變量及微結(jié)構(gòu)演化特性，幾乎所有的物理型本構(gòu)模型在建模時(shí)都引入了熱力學(xué)理論、熱激活位錯(cuò)運(yùn)動理論以及滑移動力學(xué)理論，例如Zerilli-Armstrong（ZA）模型，這些本構(gòu)模型將按提出的時(shí)間先后順序逐一介紹。

1.1 Johnson-Cook 模型

Johnson 和Cook 在1983 年[11]提出了一種應(yīng)變率硬化模型，該模型能夠表示應(yīng)變、應(yīng)變速率和溫度對金屬屈服應(yīng)力的影響，如式（1）所示：

式中：ε表示等效塑性應(yīng)變；表示無量綱塑性應(yīng)變率；T，Tr和Tm分別表示熱力學(xué)溫度、參考溫度和金屬熔化溫度；A，B，n，C和m分別是模型的5 個(gè)常數(shù)；表達(dá)式的第一個(gè)括號表示在室溫和參考應(yīng)變率下應(yīng)力對于應(yīng)變的函數(shù)關(guān)系；表達(dá)式的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)分別表達(dá)了應(yīng)變率和溫度對應(yīng)力的影響。由于JC 模型具有參數(shù)較少、形式簡單的優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)仿真模擬程序中，但是模型仍然存在以下幾個(gè)缺點(diǎn)：①模型第二個(gè)括號的應(yīng)變率硬化項(xiàng)表示為應(yīng)變率對數(shù)的線性函數(shù)，導(dǎo)致模型的屈服應(yīng)力只能隨應(yīng)變率的對數(shù)線性增加，但是對于多數(shù)金屬材料，其應(yīng)變率效應(yīng)并不是簡單的線性關(guān)系可以描述的；② 該模型沒有表達(dá)應(yīng)變率和應(yīng)變的耦合關(guān)系，只是簡單通過應(yīng)變項(xiàng)與應(yīng)變率項(xiàng)相乘來表示應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系隨應(yīng)變率的變化，隨著應(yīng)變率的增加，應(yīng)力-應(yīng)變曲線的斜率增大或者減小是晶體結(jié)構(gòu)的固有屬性[12]，然而，在該模型中，由于模型的性質(zhì)，應(yīng)力-應(yīng)變曲線的斜率隨著應(yīng)變率項(xiàng)的增大而成比例增加。

1.2 Zerilli-Armstrong 模型

基于位錯(cuò)機(jī)制，Zerilli 和Armstrong 在1987 年[13]提出了一個(gè)應(yīng)變率本構(gòu)關(guān)系，來分別描述了體心立方結(jié)構(gòu)（BCC）和面心立方結(jié)構(gòu)（FCC）金屬的應(yīng)變率強(qiáng)化行為：

式中：C0，C1，C2，C3，C4，C5是材料常數(shù)，C0被定義為。ZA 模型針對BCC 和FCC 晶體結(jié)構(gòu)材料的硬化特性，提出了兩種不同的表達(dá)形式。對于FCC 結(jié)構(gòu)材料的本構(gòu)方程，考慮的主要因素是屈服應(yīng)力的溫度軟化和應(yīng)變速率硬化相關(guān)性隨應(yīng)變的增加而增大。對于BCC 結(jié)構(gòu)材料的本構(gòu)方程，應(yīng)變硬化項(xiàng)與應(yīng)變速率和溫度無關(guān)。在兩個(gè)不同的ZA 模型的表達(dá)式中，可以觀察到每個(gè)模型的缺點(diǎn)。對于FCC 結(jié)構(gòu)材料的本構(gòu)方程，C0與應(yīng)變率和溫度無關(guān)，即屈服應(yīng)力不隨應(yīng)變率和溫度的變化而變化。對于BCC 結(jié)構(gòu)材料的本構(gòu)方程，應(yīng)變硬化因子沒有耦合應(yīng)變速率硬化和溫度軟化效應(yīng)，所以BCC 模型沒有顯示出隨應(yīng)變率和溫度的變化而發(fā)生的硬化特性。

1.3 Modified Khan-Huang 模型

式（3）的Khan-Huang 模型由Khan 和Huang 在1992 年[14]提出，用來描述由應(yīng)變率引起的硬化變化，其中

第一個(gè)括號中的應(yīng)變硬化項(xiàng)由應(yīng)變和應(yīng)變率的耦合函數(shù)描述。描述應(yīng)變硬化行為的參數(shù)B由應(yīng)變率的函數(shù)表示，而在JC 模型中的參數(shù)B被視為常數(shù)。該表達(dá)式可以克服JC 模型的缺點(diǎn)，應(yīng)變硬化參數(shù)B可以隨著應(yīng)變率的增加而減小。對于JC 模型，應(yīng)變硬化項(xiàng)沒有考慮應(yīng)變率的變化，但在該模型中可以通過參數(shù)n1來控制。Khan-Huang 模型的應(yīng)變率強(qiáng)化項(xiàng)表示為，該項(xiàng)可以轉(zhuǎn)換為，它以應(yīng)變率的指數(shù)表示材料的應(yīng)變率硬化行為，但一般的金屬材料與應(yīng)變率的對數(shù)呈指數(shù)關(guān)系。Song 和Huh 在2007 年[15]通過修改Khan-Huang 模型中的應(yīng)變速率硬化項(xiàng)，在式（4）中提出了改進(jìn)的 Khan-Huang 模型，其中，第一個(gè)括號中的應(yīng)變硬化項(xiàng)與Khan-Huang 模型中的相同，第二個(gè)括號中的應(yīng)變率硬化項(xiàng)與改進(jìn)的JC 模型中的相同。改進(jìn)的模型結(jié)合了兩個(gè)模型的優(yōu)勢，對材料的加工硬化效應(yīng)有了更為準(zhǔn)確的描述。

1.4 Modified Johnson-Cook 模型

Kang 等在1999 年[16]通過修改JC 模型的應(yīng)變率硬化項(xiàng)，改進(jìn)了傳統(tǒng)的JC 模型。JC 模型中的應(yīng)變率強(qiáng)化項(xiàng)的線性表達(dá)式被指數(shù)表達(dá)式替代，如式（5）所示：

1.5 Lim-Huh 模型

Huh 等在2014 年[17]總結(jié)了4340 鋼、OFHC 銅和Ti6Al4V 合金在不同應(yīng)變率下的試驗(yàn)結(jié)果，并比較和驗(yàn)證了不同類型的應(yīng)變率硬化模型。盡管改進(jìn)的Khan-Huang 模型可以描述實(shí)際的應(yīng)變率強(qiáng)化，即隨著應(yīng)變率的增加而降低，但是，該模型表明，隨著對數(shù)應(yīng)變率的增加，應(yīng)變是一個(gè)線性減小的函數(shù)。由于線性表達(dá)式，應(yīng)變硬化的表達(dá)式仍然存在一些限制。為了準(zhǔn)確表示應(yīng)變硬化行為隨著應(yīng)變率對數(shù)的增加而產(chǎn)生的變化，提出了LH 模型。盡管LH 模型具有出色的擬合結(jié)果，但是隨著應(yīng)變率的增加，屈服應(yīng)力會減少或保持恒定，而且該模型在高溫下的硬化行為存在一些缺點(diǎn)。為了表現(xiàn)出高溫下的熱軟化作用，Piao 等[18—19]在LH 模型中增加了涉及應(yīng)變率的熱軟化項(xiàng)，見式（6）：

2 單向拉伸試驗(yàn)

文中所用SPRC340S 材料的應(yīng)變率硬化特性是通過準(zhǔn)靜態(tài)單向拉伸試驗(yàn)和高速拉伸試驗(yàn)獲得的。使用 INSTRON 萬能試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行了準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)變率（0.003～0.1 s?1）的單軸拉伸試驗(yàn)。使用高速拉伸試驗(yàn)系統(tǒng)獲得材料在高應(yīng)變率下的硬化特性（1～500 s?1）。通過試驗(yàn)測得的力-位移關(guān)系，取最大力或頸縮之前的力-位移曲線，計(jì)算材料在不同應(yīng)變率下的硬化行為。文中所測得的SPRC340S 在不同應(yīng)變速率（0.003～500 s?1）下的真應(yīng)力-真塑性應(yīng)變曲線如圖1 所示，可以發(fā)現(xiàn)該材料屈服應(yīng)力隨應(yīng)變率的增大而變大，是正應(yīng)變率效應(yīng)材料。

3 結(jié)果與討論

通過優(yōu)化算法，標(biāo)定了文中所研究的6 類應(yīng)變率強(qiáng)化模型。標(biāo)定后的參數(shù)如表1 所示。標(biāo)定后的硬化模型預(yù)測了材料在不同應(yīng)變率下的硬化特性，并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對比，如圖1 所示。通過拉伸試驗(yàn)測得的SPRC340S 硬化曲線和每個(gè)模型的預(yù)測結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，JC 模型和BCC 型ZA 模型由于屈服應(yīng)力表達(dá)不當(dāng)，其硬化特性出現(xiàn)了明顯的偏差。FCC 型ZA 模型的預(yù)測結(jié)果，隨著應(yīng)變率的增加，硬化行為也會增加，但是，該模型的擬合結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果依然存在較大誤差，因?yàn)樵撃Ｐ筒荒苊枋銮?yīng)力隨應(yīng)變率的變化而變化。修正后的JC 模型也顯示出較大偏差，因?yàn)槟Ｐ椭械那?yīng)力變化是由參考應(yīng)變率為0.001 s?1時(shí)屈服應(yīng)力的等比例擴(kuò)大或縮小獲得的。修正后的Khan-Huang 模型和LH 模型都表現(xiàn)出很好的擬合效果，因?yàn)樗鼈兡軌驕?zhǔn)確地?cái)M合屈服應(yīng)力相對于應(yīng)變率和應(yīng)變的變化。

文中通過均方根誤差對各個(gè)模型的標(biāo)定結(jié)果做了定量分析，結(jié)果如圖2 所示，可以發(fā)現(xiàn)誤差最大的模型為ZA（FCC）模型，預(yù)測誤差達(dá)到1.1682。該模型預(yù)測誤差最大的主要原因是：SPRC340S 為BCC 結(jié)構(gòu)。JC 模型預(yù)測的誤差值為0.5056，與ZA（FCC）相比較，誤差值只有前者的一半。這些模型中預(yù)測精度最高的模型為LH 模型，誤差只有0.0024，因此，LH 模型最適用于表征SPRC340S 金屬應(yīng)變率強(qiáng)化特性。

表1 應(yīng)變率強(qiáng)化模型標(biāo)定參數(shù)Tab.1 Calibration parameters of strain rate hardening model

圖1 使用分步標(biāo)定法擬合SPRC340S 合金在不同應(yīng)變速率下真應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.1 True stress-strain curve of SPRC340S alloy fitted by stepwise calibration at different strain rates

圖2 不同模型標(biāo)定結(jié)果的誤差對比Fig.2 Comparison on calibration result error of different models

4 結(jié)語

從SPRC340S 金屬材料的動態(tài)行為的角度出發(fā)，比較分析了6 種應(yīng)變率硬化模型的特性，并評估了應(yīng)變率強(qiáng)化模型的適用性。通過對比擬合誤差，發(fā)現(xiàn)Lim-Huh 模型是最適合描述SPRC340S 應(yīng)變率強(qiáng)化特性的模型。Johnson-Cook 模型和 FCC 型 Zerilli-Armstrong 模型在屈服應(yīng)力和硬化特性的表征上存在重大缺陷。修改后的Johnson-Cook 模型的硬化結(jié)果也不準(zhǔn)確。BCC 型Zerilli-Armstrong 模型僅限于其硬化特性不會隨應(yīng)變率變化的材料。