基于高斯-牛頓迭代的三星時差定位融合算法

徐英杰，郭福成

（國防科技大學(xué)電子科學(xué)學(xué)院，湖南長沙410000）

0 引言

三星時差定位系統(tǒng)通過三個衛(wèi)星構(gòu)成編隊接收輻射源信號到達各顆衛(wèi)星的時間差，結(jié)合輻射源在地球表面這一先驗知識即可求出其位置[1]。它在電磁目標(biāo)監(jiān)視、海上救援搜索等方面具有重要的應(yīng)用價值。

對于地球上的一個靜止輻射源目標(biāo)，衛(wèi)星編隊可能會多次接收到其輻射的信號，在過頂期間對輻射源進行多次觀測，有效利用多次觀測的數(shù)據(jù)進行融合定位可以提高定位精度并節(jié)省增加衛(wèi)星數(shù)量的成本。Zhang 等人[2]提出了一種僅基于TDOA 測量和不同階段結(jié)果的數(shù)據(jù)融合模型，該模型由Chan 算法[3]計算得出，實驗表明當(dāng)輻射源估計被非視線誤差和不同的測量誤差干擾時，其定位精度優(yōu)于Chan 算法。呂明等人[4]針對傳統(tǒng)時差定位會出現(xiàn)定位模糊的問題，提出了應(yīng)用獨立測量數(shù)據(jù)融合的加權(quán)最小二乘算法，將多個觀測副站測量的獨立輻射源位置信息進行融合，充分利用了各個觀測副站提供的冗余量測信息，實驗證明其算法可提高整個定位系統(tǒng)的定位精度。許丞梁[5]將到達時間差和到達頻率差（FDOA）、到達角（AOA）、高程等多個量測融合來進行輻射源的定位，實驗表明這些冗余參數(shù)可以提高對輻射源的定位精度，擴大高精度定位的范圍。

對于低軌衛(wèi)星而言，衛(wèi)星在不同時刻下的定位精度是不同的，在工程應(yīng)用中經(jīng)常將整軌數(shù)據(jù)的所有定位點進行合批處理來提高定位精度。目前常用到的位置合批處理方法有選取主星星下點離輻射源最近時的定位結(jié)果；所有單次定位結(jié)果的直接平均和所有單次定位結(jié)果的加權(quán)平均。然而這些方法從理論上來講都不是最優(yōu)的，選取主星星下點離輻射源最近時的定位結(jié)果沒有用到整軌的星歷點數(shù)據(jù)；直接平均的結(jié)果沒有考慮到衛(wèi)星在不同時刻下的定位精度差異；加權(quán)平均方法所用到的加權(quán)矩陣是單次定位得到的結(jié)果，理論上不是最優(yōu)估計。為此本文提出一種將多次觀測的時差數(shù)據(jù)與高程信息融合的三星時差定位算法，在使用相同數(shù)據(jù)的條件下，獲得比現(xiàn)有位置合批處理方法更高的定位精度。

1 定位數(shù)學(xué)模型

使用三顆衛(wèi)星對地球上的輻射源目標(biāo)uo=[ x,y,z]T分別在N 個不同觀測時刻下進行時差和高程融合定位。衛(wèi)星位置會受到隨機誤差的影響，設(shè)n時刻時的三星位置為si,n=+Δsi,n(i=1,2,3;n=1,2,…,N)，其 中= []T是 衛(wèi) 星i 真 實 但未知的位置，Δsi,n是相應(yīng)的隨機誤差。由于三星在N個不同時刻下對輻射源目標(biāo)進行了觀測，令s=[]T表示不同時刻下的衛(wèi)星位置，衛(wèi)星位置誤差為Δs=s-so，其中so=[]T，定義Δs 為零均值，協(xié)方差矩陣為Qs的高斯隨機向量。

以衛(wèi)星1 作為參考衛(wèi)星進行觀測，則三星在n 時刻下觀測的衛(wèi)星i(i=2,3)與1 之間的TDOA 定義為di1,n，即：

式中，c 為已知的信號傳播速度，ri1,n=cdi1,n是此時刻下兩星間的到達距離差（range-difference-of-arrival，RDOA）為此時刻下真實的RDOA,ωi1,n/c 為此時刻的TDOA 測量噪聲為此時刻輻射源目標(biāo)uo與衛(wèi)星1 之間的真實距離為此時刻輻射源與衛(wèi)星i之間的真實距離，為：

為便于計算，將獲得的TDOA 與c 相乘得到距離差測量，即n 時刻下觀測的距離差量測為mt,n=[r21,n,r31,n]T，其 測 量 誤 差 為Δmt,n=mt,n-，其 中= []T，定義Δmt,n為零均值，協(xié)方差矩陣為Qt,n的高斯隨機向量。則N 次觀測下的距離差量測表達為mt= []T=+Δmt，是距離差觀測的真值，假設(shè)不同時刻之間的觀測相互獨立，則Δmt是均值為零，協(xié)方差為Qt=diag{Qt,1,…,Qt,n,…,Qt,N}的高斯隨機向量。本文將輻射源高程信息也融合進觀測方程，其表示為mh=+Δmh，其中mh= (R+Δh)2，R 為地球半徑和輻射源真實高程之和，高程誤差Δh 為零均值，方差為Qh的高斯隨機變量。已知正球面模型下的地球方程為：

忽略二階誤差項，則Δmh=2RΔh 為零均值，方差為4R2Qh的高斯隨機變量。因此其距離差和高程信息融合的量測表達為m= [,mh]T=mo+Δm，mo為觀測的真值，假設(shè)時差觀測和高程觀測相互獨立，則Δm 是均值為零，協(xié)方差為的高斯隨機向量，本文假設(shè)衛(wèi)星位置誤差Δs 和觀測誤差Δm 相互獨立。

2 位置合批的融合算法

2.1 CRLB

融合算法的CRLB 為：

具體推導(dǎo)詳見文獻[6]，這里不再贅述。

2.2 現(xiàn)有的位置合批處理

目前工程上廣泛應(yīng)用的合批處理方法主要有三種：一是取主星星下點距離輻射源位置最近時的定位結(jié)果。原理為取N 個不同時刻的單次定位結(jié)果，將n時刻的單次定位結(jié)果設(shè)為u?n(n=1,2,…,N )，將n 時刻下的主星星下點到輻射源的距離設(shè)為dn(n=1,2,…,N )，則主星星下點距離輻射源位置最近時的定位結(jié)果表達式為：

二是取N 個不同時刻的單次定位結(jié)果直接平均,其表達式為：

三是取N 個不同時刻的單次定位結(jié)果進行加權(quán)平均，其表達式為：

式中，Wn為n 時刻的定位誤差協(xié)方差矩陣，n=1,2,…,N。由于單次定位時輻射源真實位置未知，無法計算每次的定位誤差協(xié)方差矩陣，因此可以根據(jù)單次定位估計的結(jié)果,來求得CRLB 近似作為輻射源定位誤差協(xié)方差矩陣Wn來代入計算，其CRLB 計算原理同本文2.1 部分，只不過用代替輻射源真實位置uo，用帶誤差的衛(wèi)星位置s 代替真實衛(wèi)星位置so。

2.3 時差定位融合算法

由于輻射源和衛(wèi)星位置都是未知的，因此需要聯(lián)合估計uo和so，為簡化這一問題，文獻[7]給出了一種僅需估計uo的加權(quán)最小二乘算法，其表達式為：

加權(quán)矩陣W =Qm+DoQsDoT，其中Do的形式與?mo/?so相同，只不過要用帶誤差的衛(wèi)星位置s 代替真實衛(wèi)星位置so。根據(jù)文獻[8]可知，求解非線性最小二乘問題可采用Gauss-Newton 迭代，假設(shè)第k 次迭代輻射源的位置估計為，則第k+1 次迭代的結(jié)果為：

迭代初值可選取N 個觀測時刻中的任一時刻得到的單次定位結(jié)果，其單次定位求解可參考文獻[9]。

以上求解都是建立在正球面模型下，當(dāng)輻射源位于高緯度時，采用正球面會有較大的誤差，因此可以通過球面迭代得到WGS-84 橢球模型下的結(jié)果。計算步驟如下：

1) 根據(jù)正球面模型下的定位方法得到輻射源的位置估計，并轉(zhuǎn)換為經(jīng)緯高大地坐標(biāo)，從而得到輻射源的緯度初始值；

2)利用公式(12)更新當(dāng)?shù)氐厍虬霃絩adius

式中,a=6 378 137 m 為地球半長軸，e 為第一偏心率，e2=0.006 694 379 990 13，B 為輻射源的緯度；

3) 重復(fù) 前2 步，直到|radiusi-radiusi-1| ＜ε（ε 表示一個足夠小的值）。

3 仿真分析

本節(jié)通過實驗仿真驗證上述理論。假設(shè)輻射源位置的經(jīng)度和緯度為117.8°W 和19.6°N，輻射源位于海平面，高程為零。用于實驗的衛(wèi)星星歷點數(shù)據(jù)基于STK 軟件生成，三星的軌道高度設(shè)為1 100 km，軌道傾角為63.4°，星間距為50 ～110 km，軌道歷元時刻從2020 年8 月29 日4 時 開始，將 采樣間 隔設(shè)置為1 s，整軌取960 個星歷點數(shù)據(jù)作為樣本。

令單次觀測的時差誤差協(xié)方差陣Qt,n為：

式中，δt表示TDOA 噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差，δh表示高程誤差，c=3×108m/s， 由 此 可 得 Qm=diag{Qt,1,…,Qt,n,…,Qt,N,4R2Qh}為2N +1 維 方 陣。衛(wèi) 星 位 置 誤 差 協(xié) 方 差 陣 Qs為 Qs=diag{Qs,1,…,Qs,n,…,Qs,N}，其中Qs,n為：

式中，δs為衛(wèi)星位置噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差，I 為9×9 的單位矩陣。

令δt=0.2 μs，δs=50 m，δh=200 m，利用采樣所得到的星歷點數(shù)據(jù)進行定位。在計算本文所提算法時，選擇采樣數(shù)據(jù)中的第一個星歷點數(shù)據(jù)進行單次定位來作為迭代初值，其余三種位置合批處理均使用采樣所得星歷點數(shù)據(jù)進行融合定位。為方便表示，稱主星星下點距離輻射源位置最近時的定位結(jié)果為方法1；位置直接平均結(jié)果為方法2；位置加權(quán)平均結(jié)果為方法3。

接著通過計算定位誤差的均方根誤差（RMSE）來比較本文提出的算法和工程上常用的合批處理方法之間的性能。這里融合次數(shù)N 分別取5、30、60、120、240、320、480 和960 次，即對得到的960 個星歷樣本每間隔960/N s 進行一次采樣，用采樣所得星歷點數(shù)據(jù)進行融合定位，比較不同融合次數(shù)下各種合批方法定位精度，實驗結(jié)果如圖1 所示。

通過實驗結(jié)果可以得出，在相同條件下，本文算法的性能最好，其均方根誤差達到了CRLB，方法3 的性能其次，隨著融合次數(shù)的增加，方法2 的性能逐漸優(yōu)于方法1，這與理論上的分析一致。本文算法是利用原始時差量測，通過非線性最小二乘估計得到輻射源位置的最優(yōu)估計。綜上所述，本文提出的算法定位精度要優(yōu)于現(xiàn)有的各種位置合批處理方法。

圖1 各種方法的定位精度對比

4 結(jié)束語

本文提出了一種在衛(wèi)星位置不確定的情況下，三星基于多次觀測的時差和高程信息融合定位算法，并與目前工程上現(xiàn)有的位置合批處理方法進行了比較，實驗仿真證明，本文提出的算法定位精度優(yōu)于現(xiàn)有的位置合批處理方法。