立足基礎鞏固 強化能力提升
———平面向量的教學要點

◇ 甘肅 楊春萍

平面向量在高考中既有直接考查的題型,也有間接考查的題型.直接考查是以向量基礎知識為視角,題目難度不大,以中低檔難度為主;間接考查主要考查向量與其他知識的交會,以及利用向量工具解題.因此向量的教學中要落實好如下幾方面內容.

1 夯實基礎知識

平面向量中所涉及的基礎知識包括向量的概念、向量的模、向量的運算、向量基本定理等,教學中要強化各知識點之間的關系及其推廣.從近年高考題來看,向量命題基本都圍繞這些基礎知識展開.

例1已知非零向量a,b滿足|a|＝2|b|,且(a－b)⊥b,則a與b的夾角為________.

解析

方法1根據題目條件(a－b)⊥b可構造如圖1所示直角三角形,又因為|a|＝2|b|,所以a與b的夾角為60°.

方法2本題也可采用常規解法,由(a－b)⊥b知(a－b)b＝0,即所以a與b的夾角為60°.

圖1

點評

本題考查了向量的基本運算、利用數量積求夾角,兩種方法難度雖然都不大,但方法1通過構造圖形更顯直觀簡捷,小題小算.

2 掌握基本技能

平面向量與其他知識的交會是高考命題的常見形式.基本技能體現在問題求解中要解開向量外衣,挖掘問題的本質.

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例2(2018年全國卷Ⅰ)平面向量a,b,e,其中a是非零向量,e是單位向量,且a與e的夾角為60°,b滿足b2－4be＋3＝0,則|a－b|的最小值是( ).

解析

方法1由b2－4be＋3＝0得(b－e)(b－3e)＝0,即(b－e)⊥(b－3e).

圖2

構造圖形,如圖2所示,設a在射線OM上所所以CB⊥EB,即點B在以CE為直徑、D為圓心的圓上,過點D作射線OM的垂線,垂足為A,且交圓D于點B′,所以當點B位于B′時,|a－b|＝|AB′|最小.

在Rt△OAD中,∠AOD＝60°,|OD|＝2,所以.

方法2由b2－4be＋3＝0,可得b2－4be＋4e2＋3＝4e2,即(b－2e)2＝1,則可據此構造圓.此法與方法1形異質同,過程略.

點評

本題以向量為背景考查了直線和圓的位置關系,解題的關鍵是構造圓.在平面向量問題中,若出現模為定值或直角等信息,均可構造圓來輔助解題.這也是高考對考生基本技能的考查.

3 明確基本思想

高考對平面向量中基本思想的考查包括“數形結合思想”與“化歸轉化思想”.主要體現在“數”化“形”、“形”化“數”、“未知”化“已知”等.

例3在矩形ABCD中,AB＝2,BC＝1,點E為BC的中點,點F在線段DC上.若且點P在直線AC上,則.

解析

方法1如圖3,由向量加法的運算關系得設所以

圖3

因為點P在直線AC上,設.

方法2以D為坐標原點,建立如圖4所示平面直角坐標系,則D(0,0),A(0,1),B(2,1),C(2,0),設F(λ,0),則

點評

方法1中矩形各邊所表示的向量為已知向量,通過引入參數λ,μ將未知向量用已知向量表示,再利用向量相等關系,求出參數的值.方法2利用坐標運算及向量共線的條件,引入參數,表示出動點坐標,再結合已知條件求參數的值或范圍.

4 落實基本應用

高考中向量的應用主要體現在利用向量工具、輔助解答其他問題,如解析幾何問題中的平行、垂直、共線、夾角等問題均可借助向量的坐標運算進行求解.

例4已知兩點A(－1,0),B(1,0),若直線xy＋a＝0上存在點P滿足AP⊥BP,則實數a滿足的取值范圍是________.

解析

方法1由AP⊥BP知點P在以AB為直徑的圓上,圓的方程為x2＋y2＝1,則問題轉化為圓與直線x－y＋a＝0有交點,即解得,故a的取值范圍是[

方法2__由AP⊥BP,得.設P(m,m＋a),則a),由2m2＋2ma＋a2－1＝0.由Δ＝4a2－8(a2－1)≥0,解得所以a的取值范圍是.

點評

方法1由線的垂直關系得到圓的性質,從而構造圓,利用直線與圓的位置關系求解.方法2利用坐標法表示出兩向量數量積為0的方程,該方程是以點P的橫坐標為變量,由方程有解,即判別式大于或等于0,求解結論.體現了向量的工具作用.